【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2双基限时练2

双基限时练(二)1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率解析由平均变化率的定义知选A.答案A2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为()A．0 B．1C．c D．不存在解析f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(c－c,Δx)＝0.答案A3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x B．2C．2＋Δx D．1解析∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx.∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2＋Δx)＝2.答案B4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx<0 B．Δx>0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.答案D5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米C．物体从开头运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.答案D6．假如质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．解析∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.答案187．设函数f(x)满足eq\o(lim,\s\do14(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝－1，则f′(1)＝________.解析∵eq\o(lim,\s\do14(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝eq\o(lim,\s\do14(x→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝f′(1)＝－1.答案－18．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.答案2Δx＋(Δx)29．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．解∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)＝2a·Δx＋a(Δx)2∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2a＋a·Δx)＝2a＝4.∴a＝2.10．已知函数f(x)＝13－8x＋eq\r(2)x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．解Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[13－8(x0＋Δx)＋eq\r(2)(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋eq\r(2)xeq\o\al(2,0))＝－8Δx＋2eq\r(2)x0Δx＋eq\r(2)(Δx)2.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(－8＋2eq\r(2)x0＋eq\r(2)Δx)＝－8＋2eq\r(2)x0，又∵f′(x0)＝4，∴－8＋2eq\r(2)x0＝4，∴x0＝3eq\r(2).11．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t存在关系s(t)＝10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．(1)求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与eq\f(Δs,Δt)；(2)求t＝20时的速度．解(1)当t＝20，Δt＝0.1时，Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21.05,0.1)＝210.5.(2)由导数的定义知，t＝20时的速度即为v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(10t＋Δt＋5t＋Δt2－10t－5t2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(5Δt2＋10Δt＋10tΔt,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(5Δt＋10＋10t)＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．12．若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)．s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3t－32，0≤t<3.))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度为v0，即求物体在t＝0时瞬时速度．∵物体在t＝0四周的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋30＋Δt－32－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时速度为eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3Δt－18)＝－18(m/s)．即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1四周的平均速度变化为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(29＋31＋Δt－32