【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-攻略八-教材回扣(必修1-1-1-2)

回扣三选修1－1～1－2(文)一、常用规律用语1．四种命题的真假推断方法，你把握住了吗？2．你能写出复合命题“且”“或”“非”，并推断其真假吗？3．怎样推断给定两个命题间的充分、必要、充要条件吗？4．能否写出全称命题(特称命题)的否定并推断真假吗？二、圆锥曲线与方程1．求曲线方程的一般步骤是什么？求曲线的方程与求曲线的轨迹有什么不同？有哪些求轨迹的方法？2．直线与圆锥曲线的位置关系怎样推断？3．解析几何问题求解时，平面几何学问利用了吗？题目中是否已经有了坐标系，是否需要建直角坐标系？4．记得圆锥曲线方程中的a，b，c，p，eq\f(c,a)，eq\f(a2,c)的意义吗？弦长公式记熟了吗？5．离心率的大小与曲线的外形有何关系？(扁平程度，张口大小)等轴双曲线的离心率是多少？6．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要留意：二次项的系数是否为零？判别式Δ≥0的限制．(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在Δ＞0下进行)7．椭圆中，留意焦点、中心、短轴端点，三点连线所组成的直角三角形．8．通径是抛物线的全部焦点弦中最短的弦．9．双曲线的定义易忽视双曲线是平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值等于常数的点组成的曲线．10．如何求双曲线的渐近线方程？假如直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点；假如直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．此时两个方程联立，消元后得到的是一元一次方程．三、导数及其应用1．导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题，具体步骤是什么？2．常见函数的求导公式及和、差、积、商的求导法则你都熟记了吗？3．函数在区间上单调递增与f′(x)≥0并不等价．一般来说，已知函数f(x)的单调增区间，可以得到f′(x)≥0(有等号)；求函数f(x)的单调增区间，解f′(x)＞0(没有等号)和定义域．4．函数在极值点处的导数为0”是否会机敏运用？5．恒成立问题不要忘了“主参换位”及验证等号是否成立．6．解与对数型问题有关的单调性、极值、最值、范围等不要忽视真数大于0?7．导数有关的证明问题一般用构造函数法，你把握住了吗？8．导数的常见问题有三类，其一是与切线有关，对此类问题求解时，要留意两种状况，一是求“在某点处的切线方程”，此时，该点为切点，二是求“过某点处的切线方程”，此时，该点不肯定是切点，求解时，要先设出切点坐标；其二是求函数的极值，对此类问题，求解的步骤要求严格，该写的不写肯定会扣分；其三是求闭区间上函数的最大值与最小值，其求解与求极值的步骤很相像，只是区间有区分而已．本题将这些要求奇妙地结合在一起，求解时必需细心、谨慎．四、统计案例1．能娴熟用最小二乘法求线性回归方程吗？相关系数、相关指数的意义是什么？2．争辩两个分类变量之间关系的方法是什么？如何理解独立性检验中K2值的意义？五、推理与证明1．归纳推理、类比推理、演绎推理各是怎样的推理，你把握了吗？2．特殊留意类比推理中平面几何与立体几何，等差数列与等比数列中进行类比时的类比点及相应的变化．3．证明问题包括哪些证明？特殊不等式证明的基本方法都把握了吗？(比较法、分析法、综合法、反证法)．4．常用放缩技巧：eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＜eq\f(1,n2)＜eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)；eq\r(k＋1)－eq\r(k)＝eq\f(1,\r(k＋1)＋\r(k))＜eq\f(1,2\r(k))＜eq\f(1,\r(k－1)＋\r(k))＝eq\r(k)－eq\r(k－1).5．你会用反证法证明吗，其适用条件是什么？六、数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念把握了吗？假如两个复数不全是实数，那么就不能比较大小．假如两个复数能比较大小，那么这两个复数全是实数．2．你会利用复数相等的条件解题吗？3．复数的几何意义有哪些？你还清楚吗？4．高考中的复数问题主要考查除法运算，其运算法则是什么？一、选择题1．在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数eq\f(2,z)＋z2对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限【解析】由题知，eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，所以复数eq\f(2,z)＋z2对应的点为(1,1)，其位于第一象限．【答案】A2．(2022·宝鸡模拟)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1的否命题为”若“x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0的必要不充分条件”C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2＋x＋1＜0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题【解析】A项，若x2＝1，则x＝1的否命题为：“x2≠1则x≠1”故A不对；B项，x2－5x－6＝0即x＝－1或6，∴x＝－1是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件．故B不对；C项，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2＋x＋1≥0”，故C不对；D项，若x＝y，则sinx＝siny，明显为真命题，其逆否命题也为真命题，正确．【答案】D3．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C．8D．－8【解析】将抛物线的方程化为标准形式：x2＝eq\f(1,a)y，其准线方程是y＝－eq\f(1,4a)＝2，得a＝－eq\f(1,8).故选B.【答案】B4．(2022·济宁模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是()A．假设三角形三内角都不大于60度B．假设三角形三内角都大于60度C．假设三角形三内角至多有一个大于60度D．假设三角形三内角至多有两个大于60度【解析】命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的反设为“三角形三内角都大于60度”．【答案】B5．(2022·东北三城联考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)，以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在其次象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为eq\f(\r(3),3)，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(3)＋1B.eq\r(6)C．2eq\r(3)D.eq\r(2)【解析】设左焦点为F1，依题意kOA＝－eq\r(3)，∴∠AOF＝eq\f(2π,3)，又|AO|＝|OF|＝c，∴|AF|＝eq\r(c2＋c2－2c2·cos\f(2π,3))＝eq\r(3)c.又∠AOF1＝eq\f(π,3)，∴△AF1O为等边三角形，∴|AF1|＝|OF1|＝c，由双曲线的定义知|AF|－|AF1|＝(eq\r(3)－1)c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.故选A.【答案】A三、填空题6．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415………………依据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第3个数是________．【解析】该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最终一个数为eq\f(n－11＋n－1,2)＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)，第n行的第3个数为eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋3(n≥3)．【答案】eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋3(n≥3)7．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．【解析】将点P(2，－5)代入曲线方程得4a＋eq\f(b,2)＝－5，又∵y′＝2ax－eq\f(b,x2)，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－eq\f(7,2)，∴4a－eq\f(b,4)＝－eq\f(7,2)，解得a＝－1，b＝－2.∴a＋b＝(－1)＋(－2)＝－3.【答案】－38．(2022·全国新课标Ⅱ高考)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.【解析】抛物线C：y2＝3x的焦点为F(eq\f(3,4)，0)，所以AB所在的直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\f(3,4))，将y＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\f(3,4))代入y2＝3x，消去y整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(21,2)，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12.【答案】12三、解答题9．(2022·湖北高考)π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝eq\f(lnx,x)的单调区间；(2)求e3,3e，eπ，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数．【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由于f(x)＝eq\f(lnx,x)，所以f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).当f′(x)＞0，即0＜x＜e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0，即x＞e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)由于e＜3＜π，所以eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.于是依据函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π.故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及(1)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，即eq\f(lnπ,π)＜eq\f(ln3,3)＜eq\f(lne,e)；由eq\f(lnπ,π)＜eq\f(ln3,3)，得lnπ3＜ln3π，所以3π>π3.由eq\f(ln3,3)＜eq\f(lne,e)，得ln3e＜lne3，所以3e<e3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e10．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋eq\r(6)＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；(3)在(2)的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的取值范围．【解】(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,\f(\r(6),\r(2))＝b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设PB的方程为：y＝k(x－4)，直线PB与椭圆C联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))∴(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，由Δ＞0得k2＜eq\f(1,4)，∴－eq\f(1,2)＜k＜eq\f(1,2).设B(x1，y1)．E(x2，y2)，A(x1，－y1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(32k2,3＋4k2)，,x1x2＝\f(64k2－12,3＋4k2).))设直线AE的方程为：y＋y1＝eq\f(y2＋y1,x2－x1)(x－x1)，设直线AE与x轴的交点为(x0,0)，则x0＝eq\f(y1x2－x1,y1＋y2)＋x1＝eq\f(x1y2＋x2y1,y1＋y2)又y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，∴x0＝eq\f(2kx1x2－4kx1＋x2,kx1＋x2－8k).把x1＋x2，x1x2代入上式得x0＝1.∴Q(1,0)．∴直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)．(3)当过点Q的直线斜率不存在时，设方程为x＝1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))∴M(1，eq\f(3,2))，N(1