《状元之路》2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查52-椭圆

开卷速查(五十二)椭圆A级基础巩固练1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3)D．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4eq\r(3).答案：C2．已知2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\r(3)C.eq\f(\r(2),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(6),2)解析：由于2，m,8构成一个等比数列，所以m2＝2×8＝16，即m＝±4.若m＝4，则圆锥曲线方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，此时为椭圆，其中a2＝4，b2＝2，c2＝4－2＝2，所以a＝2，c＝eq\r(2)，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).若m＝－4，则圆锥曲线方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1，此时为双曲线，其中a2＝2，b2＝4，c2＝4＋2＝6，所以a＝eq\r(2)，c＝eq\r(6)，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),\r(2))＝eq\r(3).所以选C.答案：C3．已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()A．4 B．5C．7 D．8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为eq\f(y2,\r(m－2)2)＋eq\f(x2,\r(10－m)2)＝1，明显m－2＞10－m，即m＞6且(eq\r(m－2))2－(eq\r(10－m))2＝22，解得m＝8.答案：D4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A.eq\f(3,4) B．1C．2 D．4解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C5．已知P为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5 B．7C．13 D．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.答案：B6．椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是__________．解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋eq\r(3)，y)，eq\o(F2P,\s\up6(→))＝(x－eq\r(3)，y)．∵∠F1PF2为钝角，∴eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＜0，即x2－3＋y2＜0，①∵y2＝1－eq\f(x2,4)，代入①得x2－3＋1－eq\f(x2,4)＜0，eq\f(3,4)x2＜2，∴x2＜eq\f(8,3).解得－eq\f(2\r(6),3)＜x＜eq\f(2\r(6),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))7．设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为eq\f(1,2)，则此椭圆的方程为__________．解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,m)，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝18．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,5)＝1(a为定值，且a＞eq\r(5))的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，所以c＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．解析：∵直线y＝eq\r(3)(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.∵|MF1|＝c，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2a－c.∵|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2.∴c2＋(2a－c)2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0.∴e2＋2e－2＝0，解得e＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－110．[2022·课标全国Ⅱ]设F1、F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解析：(1)依据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).B级力气提升练11．[2022·福建]设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆eq\f(x2,10)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．5eq\r(2) B．eq\r(46)＋eq\r(2)C．7＋eq\r(2) D．6eq\r(2)解析：设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝eq\r(2)，点C到椭圆上的点Q(eq\r(10)cosα，sinα)的距离|CQ|＝eq\r(\r(10)cosα2＋sinα－62)＝eq\r(46－9sin2α－12sinα)＝eq\r(50－9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋\f(2,3)))2)≤eq\r(50)＝5eq\r(2)，当且仅当sinα＝－eq\f(2,3)时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5eq\r(2)＋eq\r(2)＝6eq\r(2)，即P，Q两点间的最大距离是6eq\r(2)，故选D.答案：D12．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能解析：由于椭圆的离心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c，因此方程ax2＋bx－c＝0可化为2cx2＋eq\r(3)cx－c＝0，又c≠0，∴2x2＋eq\r(3)x－1＝0，x1＋x2＝－eq\f(\r(3),2)，x1x2＝－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(3,4)＋1＝eq\f(7,4)＜2，即点(x1，x2)在x2＋y2＝2内．答案：A13．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝eq\f(5,8)|AB|，求椭圆的方程．解析：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，由于|PF2|＝|F1F2|，所以eq\r(a－c2＋b2)＝2c.整理得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＝0，解得eq\f(c,a)＝－1(舍)，或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以e＝eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝eq\r(3)(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋4y2＝12c2，,y＝\r(3)x－c.))消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)c.得方程组的解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝－\r(3)c，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(8,5)c，,y2＝\f(3\r(3),5)c.))不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)c，\f(3\r(3),5)c))，B(0，－eq\r(3)c)，所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),5)c＋\r(3)c))2)＝eq\f(16,5)c.于是|MN|＝eq\f(5,8)|AB|＝2c.圆心(－1，eq\r(3))到直线PF2的距离d＝eq\f(|－\r(3)－\r(3)－\r(3)c|,2)＝eq\f(\r(3)|2＋c|,2).由于d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))2＝42，所以eq\f(3,4)(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－eq\f(26,7)(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.14．[2022·天津]设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．解析：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2).所以，椭圆的离心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1.设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x0＋c，y0)，eq\o(