《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第九章-第2讲-排列与组合

第2讲排列与组合1．排列与排列数公式(1)排列与排列数eq\x(\a\al(从n个不同元,素中取出,m（m≤n）个元素))eq\o(→,\s\up7(依据确定的挨次),\s\do5(排成一列))eq\x(\a\al(排,列))eq\o(→,\s\up7(全部不同),\s\do5(排列的个数))eq\x(排列数)(2)排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)．(3)排列数的性质①Aeq\o\al(n,n)＝n！；②0！＝1．2．组合与组合数公式(1)组合与组合数eq\x(\a\al(从n个不同元,素中取出,m（m≤n）个元素))eq\o(→,\s\up7(合成一组))eq\x(\a\al(组,合))eq\o(→,\s\up7(全部不同),\s\do5(组合的个数))eq\x(组合数)(2)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！).(3)组合数的性质①Ceq\o\al(0,n)＝1；②Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))；③Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)．[做一做]1．某校一班级有5个班，二班级有7个班，三班级有4个班，分班级进行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行竞赛的场数是()A．Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,4) B．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(2,4)C．Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,7)＋Aeq\o\al(2,4) D．Ceq\o\al(2,16)答案：A2．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A．8 B．24C．48 D．120答案：C1．辨明两个易误点(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与挨次有关，排列问题与挨次有关，组合问题与挨次无关．(2)计算Aeq\o\al(m,n)时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．2．排列与组合问题的识别方法识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素挨次有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素挨次无关[做一做]3．(2022·高考大纲全国卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种 B．70种C．75种 D．150种解析：选C.由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,5)＝75(种)．4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必需相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种．(用数字作答)解析：将2件必需相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(种)不同的展出方案．答案：24eq\a\vs4\al(考点一)__排列应用题__________________________3名男生，4名女生，依据不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[解](1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有Aeq\o\al(5,7)＝2520(种)排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040(种)排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法；女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先支配女生共有Aeq\o\al(4,4)种排法，男生在4个女生隔成的五个空中支配共有Aeq\o\al(3,5)种排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)．(5)先支配甲，从除去排头和排尾的5个位中支配甲，有Aeq\o\al(1,5)＝5(种)排法；再支配其他人，有Aeq\o\al(6,6)＝720(种)排法．所以共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝3600(种)排法．在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必需排在两端．解：(1)先排甲有4种，其余有Aeq\o\al(6,6)种，故共有4·Aeq\o\al(6,6)＝2880(种)排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(种)排法．[规律方法]求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先支配特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时留意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑挨次限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法eq\a\vs4\al(考点二)__组合应用题__________________________要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[解](1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种状况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(5,5)＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解．从12名人中任选5人有Ceq\o\al(5,12)种选法，其中全是男代表的选法有Ceq\o\al(5,7)种．所以“至少有1名女生入选”的选法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝120(种)选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有Ceq\o\al(5,10)种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,10)＝540(种)．在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种状况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＝546(种)．[规律方法]解决组合类问题的方法：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必需格外重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类简洁时，考虑逆向思维，用间接法处理．eq\a\vs4\al(考点三)__排列、组合的综合应用(高频考点)______排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为简洁题或中档题．高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下四个命题角度：(1)支配问题；(2)排列问题；(3)定位问题；(4)选派问题．(1)(2022·高考四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种 B．216种C．240种 D．288种(2)(2021·兰州市、张掖市联合诊断)某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有()A．150种 B．300种C．600种 D．900种(3)(2022·高考北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．[解析](1)第一类：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；其次类：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．(2)若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名老师中选2名，有Ceq\o\al(2,5)×Aeq\o\al(4,4)＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名老师中选4名，共有Ceq\o\al(4,6)×Aeq\o\al(4,4)＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．(3)将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种方法．于是符合题意的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)．[答案](1)B(2)C(3)36[规律方法]解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(1)(2022·高考辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24(2)(2021·东北三校联合模拟)一个五位自然数a1a2a3a4a5，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i＝1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”(如32014，53134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()A．110 B．137C．145 D．146(3)将6名老师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．(4)(2021·保定市调研考试)已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A、B、C为M的非空子集，若∀x∈A、y∈B、z∈C，x＜y＜z恒成立，则称“A—B—C”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有________个．解析：(1)插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可．故排法种数为Aeq\o\al(3,4)＝24.故选D.(2)分四种状况进行争辩：①a3是0，a1和a2有Ceq\o\al(2,5)种排法，a4和a5有Ceq\o\al(2,5)种排法，则五位自然数中“凹数”有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＝100个；②a3是1，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36个；③a3是2，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＝9个；④a3是3，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,2)＝1个．由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．(3)将6名老师分组，分三步完成：第一步，在6名老师中任取1名作为一组，有Ceq\o\al(1,6)种取法；其次步，在余下的5名老师中任取2名作为一组，有Ceq\o\al(2,5)种取法；第三步，余下的3名老师作为一组，有Ceq\o\al(3,3)种取法．依据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种取法．再将这3组老师支配到3所中学，有Aeq\o\al(3,3)＝6种分法．故共有60×6＝360种不同的分法．(4)由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有Ceq\o\al(6,6)种取法，其次步，分成三组，共Ceq\o\al(2,5)种分法，所以共有Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(2,5)个子集串；其次类，从6个元素中取出5个元素，共Ceq\o\al(5,6)种取法，然后将这5个元素分成三组共Ceq\o\al(2,4)种分法，所以共有Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(2,4)个子集串；同理含4个元素的子集串数为Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,3)；含3个元素的子集串数为Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,2).集合M的子集串共Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,2)＝111个．答案：(1)D(2)D(3)360(4)111

方法思想——分类争辩思想求解排列、组合问题(2022·高考重庆卷)某次联欢会要支配3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出挨次，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168[解析]解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类Aeq\o\al(3,3)，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有Aeq\o\al(3,3)·2Aeq\o\al(3,3)＝72.其次类也分两步，先排歌舞类Aeq\o\al(3,3)，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)，故不同的排法有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝48，故共有120种不同排法，故选B.[答案]B[名师点评]对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按大事发生的过程分类．本题在排歌舞类节目后再进行分类，把剩余3个节目插入两个空还是三个空．1.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机预备着舰．假如甲、乙两机必需相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种 B．16种C．24种 D．36种解析：选D.当甲排在边上时，有2Aeq\o\al(3,3)＝12种方法；当甲不排在边上时，有12Aeq\o\al(2,2)＝24种方法，这样一共有12＋24＝36种不同的着舰方法．2．(2022·高考浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券支配给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有Aeq\o\al(4,4)种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有Ceq\o\al(2,3)种分法，再分给4人有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种分法，所以不同获奖状况种数为Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝24＋36＝60.答案：601．数列{an}共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有()A．30个 B．31个C．60个 D．61个解析：选A.在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有Aeq\o\al(2,6)＝30个不同的数列．2．(2021·昆明市第一次摸底)从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有()A．35种 B．70种C．84种 D．140种解析：选B.由题知不同取法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝70种．3．(2021·陕西西安检测)某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是()A．15 B．45C．60 D．75解析：选C.从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，全部的选法种数是Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)＝90.重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(2,5)＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.4．(2021·福建三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中挨次为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A．12种 B．20种C．40种 D．60种解析：选C.(排序确定用除法)五个元素没有限制全排列数为Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序确定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(3,3))×2＝40.5．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为()A．24 B．28C．36 D．48解析：选D.穿红色衣服的人相邻的排法有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而红色、黄色同时相邻的有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝24种．故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有Aeq\o\al(5,5)－2×48＋24＝48种．6．Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝________．解析：由组合数的定义得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n,0≤9－n≤n＋1))，解之得4≤n≤5，∵n∈N*，∴n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5，当n＝5时，原式＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.答案：5或167．(2021·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为平安起见，首尾确定要排两位爸爸，另外，两个小孩确定要排在一起，则这6人的入园挨次排法种数为________．(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；其次步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有Aeq\o\al(3,3)种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24(种)．答案：248．(2021·江苏扬州中学检测)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则该数为“驼峰数”．比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4，5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________．解析：三位“驼峰数”中1在十位的有Aeq\o\al(2,4)个，2在十位的有Aeq\o\al(2,3)个，3在十位上的有Aeq\o\al(2,2)个，所以全部三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.答案：309．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出竞赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为Ceq\o\al(3,6)，再选2名女运动员，方法数为Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(种)方法．(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种状况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(种)．10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有Ceq\o\al(3,4)种状况；其次步，在5个奇数中取4个，有Ceq\o\al(4,5)种状况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有Aeq\o\al(7,7)种状况．所以符合题意的七位数有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝14400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760(个)．1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A．150种 B．180种C．200种 D．280种解析：选A.依题意5个人支配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1，2，2与1，1，3两种，当人数是1，2，2时，有eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝90(种)．当人数是1，1，3时，则有eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝60(种)，因此共有90＋60＝150(种)．2．(2021·浙江温州十校联考)任取三个互不相等的正整数，其和小于100，则由这三个数构成的不同的等差数列共有()A．528个 B．1056个C．1584个 D．4851个解析：选B.先确定等差数列的中间项，再确定第一、三项．设这三个成等差数列的数分别为a，b，c.由题意得a＋b＋c≤100，即3b≤100，得b可以取2，3，…，33，共32个数．第一类，b＝2时，a，c的取值共有2个(a＝1，c＝3和a＝3，c＝1，对应的是两个数列)；其次类，b＝3时，a，c的取值共有4个；…第三十二类，b＝33时，a，c的取值共有64个．依据分类加法计数原理，可得满足题意的数