2022一轮复习(广东专用)文科数学配套习题-第六章-数列-章末检测

第六章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2011·茂名月考)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15 B．30 C．31 D．2．各项均不为零的等差数列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S2010等()A．0 B．2 C．2009 D．43．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．66 B．65 C．61 D．4．(2011·南阳模拟)等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝5．(2010·东北师大附中高三月考)由a1＝1，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)给出的数列{an}的第34项()A.eq\f(34,103) B．100 C.eq\f(1,100) D.eq\f(1,104)6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k等于()A．9 B．8 C．7 D．7．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(2n－1,2n)，其前n项和Sn＝eq\f(321,64)，则项数n等于()A．13 B．10 C．9 D．8．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9．在如图的表格中，假如每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()A．1 B．2 C．3 D．10．(2011·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为疼惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ()A．5年 B．6年 C．7年 D．8年11．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))12．(2010·安徽)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若{an}的前n项和为24，则n＝________.14．(2011·海口调研)在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________.15．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规章分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．16．(2010·哈师大附中高三月考)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11.其中正确的命题是________．(将全部正确的命题序号填在横线上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2011·德州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，S10＝190.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设p，q∈N*，试推断ap·aq是否仍为数列{an}中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求数列{a19．(12分)(2011·武汉月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且向量a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,nan)))的前n项和Tn.20．(12分)(2011·唐山月考)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a为常数，求证：{an}成等比数列；(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝eq\r(2)时，求Sn.21．(12分)(2011·周口月考)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意n∈N*都成立，数列{bn＋1－b(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开头，每年将毁灭这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最终结果精确到整数)答案1．A[由{an}是等差数列知a7＋a9＝2a8＝16，∴a8＝8.又a4＝1，∴a12＝2a8－a42．D[aeq\o\al(2,n)＝an－1＋an＋1＝2an，an≠0，∴an＝2.∴Sn＝2n，S2010＝2×2010＝4020.]3．A[当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋eq\f(81＋15,2)＝2＋64＝66.]4．B[由于{an}是等比数列，所以a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，代入已知式T5＝1，得aeq\o\al(5,3)＝1，所以a3＝1.]5．C[由an＋1＝eq\f(an,3an＋1)知，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，公差为3的等差数列．∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×3＝3n－2.∴an＝eq\f(1,3n－2)，a34＝eq\f(1,3×34－2)＝eq\f(1,100).]6．B[∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，∴5<2k－10<8，得7.5<k<9.∴k＝8.]7．D[∵an＝1－eq\f(1,2n)，∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＝n－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,8)＋…＋\f(1,2n)))＝n－eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝n－1＋eq\f(1,2n).∵Sn＝eq\f(321,64)，∴n－1＋eq\f(1,2n)＝eq\f(321,64)＝5＋eq\f(1,64).∴n＝6.]8．A[设该数列的公差为d，则由a4＋a6＝－6得2a5∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，∴Sn＝－11n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值．]9．B[由表格知，第三列为首项为4，其次项为2的等比数列，∴x＝1.依据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，eq\f(5,2)，故该数列所成等比数列的公比为eq\f(1,2)，∴y＝5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(5,8)，同理z＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8).故x＋y＋z＝2.]10．C[由题意知第一年产量为a1＝eq\f(1,2)×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝eq\f(1,2)n(n＋1)·(2n＋1)－eq\f(1,2)n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，∴1≤n≤5eq\r(2)，∴1≤n≤7.故生产期限最大为7年．]11．D[由已知得2tanB＝tanA＋tanC>0(明显tanB≠0，若tanB<0，由于tanA>0且tanC>0，tanA＋tanC>0，这与tanB<0冲突)，又tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝－eq\f(2tanB,1－tanAtanC)≠0，所以tanAtanC＝3.又∵tanA＋tanC≥2eq\r(tanAtanC)＝2eq\r(3)，∴tanB≥eq\r(3)，∵B∈(0，π)∴B的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).]12．D[由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.又∵{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．]13．624解析an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).∴(eq\r(2)－1)＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝24，∴eq\r(n＋1)＝25，∴n＝624.14．52解析∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.∴S13＝eq\f(13×a1＋a13,2)＝eq\f(13×a5＋a9,2)＝eq\f(13×8,2)＝52.15．34950解析由“第n组有n个数”的规章分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有eq\f(1＋99×99,2)＝4950个，故第100组中的第1个数是34950.16．①②解析由S6>S7得a7<0，由S6>S5得a6>0，由S7>S5得a6＋a7>0.由于d＝a7－a6，∴d<0；S11＝a1＋a2＋…＋a11＝(a1＋a11)＋(a2＋a10)＋…＋a6＝11a6>0，S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a12)＋(a2＋a11)＋…＋(a6＋a7)＝6(a6＋a7)∵a6>0，a7<0，∴{Sn}中S6最大．故正确的命题为①②.17．解(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2d＝8,10a1＋\f(10×9,2)d＝190))，………………(4分)解得a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3.………(6分)(2)apaq＝(4p－3)(4q－3)＝16pq－12(p＋q)＋9＝4[4pq－3(p＋q)＋3]－3，∵4pq－3(p＋q)＋3∈N*，………………(8分)∴ap·aq为数列{an}中的项．……………(10分)18．解∵a3＋a13＝2a8，a3＋a8＋a13∴a8＝4，…………………(2分)则由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a13＝8，,a3a13＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝1，,a13＝7，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝7，,a13＝1.))…………(7分)由a3＝1，a13＝7，可知d＝eq\f(a13－a3,13－3)＝eq\f(7－1,10)＝eq\f(3,5).故an＝a3＋(n－3)·eq\f(3,5)＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)；……………(9分)由a3＝7，a13＝1，可知d＝eq\f(a13－a3,13－3)＝eq\f(1－7,10)＝－eq\f(3,5).故an＝a3＋(n－3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).……………(11分)综上可得，an＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)，或an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).……………(12分)19．(1)证明∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线，∴n(n＋3)－4Sn＝0，∴Sn＝eq\f(nn＋3,4).……………………(3分)∴a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋1,2)，……………………(5分)又a1＝1满足此式，∴an＝eq\f(n＋1,2).………(6分)∴an＋1－an＝eq\f(1,2)为常数，∴数列{an}为首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列．………(7分)(2)解∵eq\f(1,nan)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，…………………(9分)∴Tn＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,2a2)＋…＋eq\f(1,nan).＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).……(12分)20．(1)证明f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，…………(2分)即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.∴eq\f(an,an－1)＝eq\f(a2n＋2,a2n－1＋2)＝eq\f(a2n＋2,a2n)＝a2(n≥2)为定值．………………………(4分)∴{an}为以a2为公比的等比数列．……………………(5分)(2)解bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2.…………(7分)当a＝eq\r(2)时，bn＝(2n＋2)(eq\r(2))2n＋2＝(n＋1)2n＋2.Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，①2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，②①－②，得－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3…………(9分)＝16＋eq\f(241－2n－1,1－2)－(n＋1)·2n＋3＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.∴Sn＝n·2n＋3.……………(12分)21．解(1)已知得a1＋2a2＋22a3＋…＋2n＝8n(n∈N*)，①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n由①－②，得2n－1an＝8.∴an＝24－n.……………………(3分)在①中，令n＝1，得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2.∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6.…………………(5分)∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．…………………(7分)(