【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第九章-第七节球

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十九)一、选择题1.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是()(A)QUOTE (B)3π (C)4π (D)QUOTE2.(2021·玉溪模拟)四周体A-BCD中,AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5,则四周体外接球的表面积为()(A)33π (B)43π(C)36π (D)18π3.(2021·桂林模拟)在平行四边形ABCD中,QUOTE·QUOTE=0,且2QUOTE+-4=0,沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是()(A)16π(B)8π(C)4π(D)2π4.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是()(A)V1比V2大约多一半(B)V1比V2大约多两倍半(C)V1比V2大约多一倍(D)V1比V2大约多一倍半5.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为()(A)20π(B)25π(C)100π(D)200π6.在北纬60°圈上,有甲、乙两地,它们的纬线圈上的弧长等于QUOTER,R为地球半径,则这两地间的球面距离是()(A)QUOTEπR(B)QUOTEπR(C)QUOTEπR(D)QUOTEπR7.如图,O是半径为1的球的球心,点A,B,C在球面上,OA,OB,OC两两垂直,E,F分别是大圆弧AB,AC的中点,则点E,F在该球面上的球面距离是()(A)QUOTE(B)QUOTE(C)QUOTE(D)QUOTE8.已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为()(A)7π(B)9π(C)11π(D)13π9.(2022·日照模拟)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,已知这个球的表面积是12π,那么这个正方体的体积是()(A)QUOTE(B)4QUOTEπ(C)8(D)2410.(力气挑战题)高为QUOTE的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE二、填空题11.已知正三角形内切圆的半径是高的QUOTE,把这个结论推广到空间正四周体,类似的结论是.12.如图,已知球O的面上四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=QUOTE,则球O的体积等于.13.(2021·云南师大模拟)正三棱锥A-BCD内接于球O,且底面边长为QUOTE,侧棱长为2,则球O的表面积为.14.已知A,B,C,D在同一个球面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB=6,AC=2QUOTE,AD=8,则B,C两点间的球面距离是.三、解答题15.已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为QUOTE的小球?16.(力气挑战题)如图,半径为r的圆环在一个正方形(边长>2r)中任意滚动,则该圆环滚不到的平面区域的面积(即正方形的四个角区域)=边长为2r的正方形面积-半径为r的圆的面积=(4-π)r2.把上述命题拓广到空间,可得怎样的结论?请给出证明.答案解析1.【解析】选D.设球的半径为R,△ABC的外接圆半径r=QUOTE,则S球=4πR2>4πr2=QUOTEπ>5π.2.【解析】选A.分别取AB,CD的中点E,F,连接相应的线段,由条件可知,球心G在EF上,可以证明G为EF中点,DE=QUOTE=QUOTE,DF=2,EF=QUOTE=,所以GF=QUOTE=QUOTE,球半径DG=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以外接球的表面积为4πDG2=4π×QUOTE=33π,选A.3.【解析】选C.折成直二面角后,AC为外接球直径,(2R)2=AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4,R2=1,S=4πR2=4π.4.【思路点拨】先找出球的半径与其内接正方体的棱长之间的关系,表示出V1与V2后再比较大小.【解析】选D.设球的半径为r,正方体的棱长为a,则2r=QUOTEa,又V1=QUOTEπr3,V2=a3,∴V1-V2=QUOTEπ(QUOTE)3-a3=(QUOTEπ-1)a3≈1.7a3,因此V1比V2大约多一倍半.5.【解析】选C.由题意知球的半径R=QUOTE=5,∴外接球的表面积为4πR2=4π·52=100π.6.【解析】选B.如图,点A为60°纬线上的一点,设球心为O,纬线圆心为O1,过A作AE⊥赤道平面,垂足为E,则∠AOE=60°,在Rt△AO1O中,O1A=OAcos60°=QUOTER,∵甲、乙两地纬线圈上的弧长为QUOTER,∴甲、乙两地在纬线圈上的相应的圆心角θ满足θ·QUOTER=QUOTER,∴θ=π,即甲、乙两地在纬线圈的直径端点上,∴甲、乙两地在相应的大圆上的圆心角为QUOTE,∴过甲、乙两地大圆的劣弧长为QUOTEπR.7.【解析】选B.取OA的中点M,并连接EM,FM,则EM=FM=QUOTE,且EM⊥FM,所以EF=1,故三角形OEF为等边三角形,∠EOF=QUOTE,所以点E,F在该球面上的球面距离是QUOTE.8.【解析】选D.如图所示,由圆M的面积为4π,知球心O到圆M的距离OM=2QUOTE,在Rt△OMN中,∠OMN=30°,∴MN=OM·cos30°=3,故圆N的半径为r=QUOTE=QUOTE,∴圆N的面积为S=πr2=13π.9.【解析】选C.设球的半径为R,则4πR2=12π,从而R=QUOTE,所以正方体的体对角线为2QUOTE,故正方体的棱长为2,体积为23=8.10.【思路点拨】依据题意可知球心与四棱锥的顶点在底面同侧,然后利用三角形相像进行计算.【解析】选A.设球心为O,底面四边形的中心为E,顶点在底面上的射影为F,则易知OE∥SF,且SF=QUOTE,OE=QUOTE.过O作OH⊥SE,则SH=HF=QUOTE,又OS=1,所以直角三角形SHO中,OH=QUOTE.所以EF=OH=QUOTE,在直角三角形SFE中,SE=QUOTE=QUOTE.11.【解析】从方法的类比入手.原问题的解法为等面积法,即S=QUOTEah=3×QUOTEar⇒r=QUOTEh,类比问题的解法应为等体积法,V=QUOTESh=4×QUOTESr⇒r=QUOTEh,即正四周体的内切球的半径是高的QUOTE.答案:正四周体的内切球的半径是高的QUOTE12.【解析】由题意,△DAC,△DBC都是直角三角形,且有公共的斜边,所以DC边的中点到B和A的距离都等于DC的一半,所以DC边的中点是球心并且半径为线段DC长的一半.由于DC=QUOTE=3,所以球的体积V=QUOTEπ(QUOTE)3=QUOTEπ.答案:QUOTEπ13.【解析】如图,设三棱锥A-BCD的外接球球心为O,半径为r,BC=CD=BD=QUOTE,AB=AC=AD=2,AM⊥平面BCD,M为正△BCD的中心,则DM=1,AM=QUOTE,OA=OD=r,所以(QUOTE-r)2+1=r2,解得r=QUOTE,所以S=4πr2=QUOTEπ.答案:QUOTEπ14.【思路点拨】查找过B,C两点的截面或确定四点A,B,C,D与球的特殊关系.【解析】如图①,易得BC=QUOTE=4,BD=QUOTE=2QUOTE,∴CD=2QUOTE,则此球内接长方体的三条棱长为AB,BC,CD(CD的对边与CD等长),从而球的直径为2R=QUOTE=8,R=4,则BC与球心构成的大圆如图②,由于△OBC为正三角形,则B,C两点间的球面距离是QUOTE.答案:QUOTE15.【解析】设球半径为R,则QUOTE=QUOTE,∴R=QUOTE.而正三棱柱底面内切圆半径r=QUOTE,比较R与r的大小,R6=QUOTE=QUOTE×QUOTE,r6=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,∴R6>r6,∴R>r,所以不能放进一个体积为QUOTE的小球.【方法技巧】有关球的组合体的解题思路解决这类问题的关键是精确分析出组合体的结构特征,发挥自己的空间想象力气,把立体图和截面图对比分析,找出几何体中的数量关系.与球有关的截面问题为了增加图形的直观性,解题时经常画一个截面圆起衬托作用.16.【解析】把上述命题拓广到空间,可得命题:一棱长为a的正方体封闭盒子中放入一半径为r(2r<a)的小球.若将小球任意滚动,则小球达不到的空间的体积是:[QUOTE-16r+3a(4-π)]r2.证明:由于将小球任意滚动时,小球达不到的空间为:正方体8个角