《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-第三章-第7讲-正弦定理、余弦定理-轻松闯关

1．(2021·安庆模拟)在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶eq\r(3)∶2 D．2∶eq\r(3)∶1解析：选C.∵sinC＝1，∴C＝eq\f(π,2)，由于A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝eq\f(π,2)，得A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,3)，由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝eq\f(1,2)∶eq\f(\r(3),2)∶1＝1∶eq\r(3)∶2.2．在△ABC中，a＝3eq\r(3)，b＝3，A＝eq\f(π,3)，则C＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析：选C.由正弦定理得eq\f(3,sinB)＝eq\f(3\r(3),sin\f(π,3))，∴sinB＝eq\f(1,2)，∵a>b，∴0<B<eq\f(π,3)，∴B＝eq\f(π,6).∴C＝π－(A＋B)＝π－(eq\f(π,3)＋eq\f(π,6))＝eq\f(π,2).3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形确定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形解析：选C.由于a＝2bcosC，所以由余弦定理得a＝2b×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，整理得b2＝c2，所以b＝c.所以此三角形确定是等腰三角形．4．(2021·东北三校高三模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(1,3)，sinC＝3sinB，且S△ABC＝eq\r(2)，则b＝()A．1 B．2eq\r(3)C．3eq\r(2) D．3解析：选A.∵cosA＝eq\f(1,3)，∴sinA＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)，∴bc＝3.又sinC＝3sinB，∴c＝3b，∴b＝1，c＝3，故选A.5．(2021·河北石家庄质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析：选B.由于sinA、sinB、sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac.又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________．解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，整理得15b－60＝0，∴b＝4.答案：47．(2021·龙岩质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2a，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的周长是________．解析：由22＝a2＋(2a)2－2a·2acoseq\f(π,3)，得a＝eq\f(2\r(3),3)，∴△ABC的周长为a＋2a＋2＝3×eq\f(2\r(3),3)＋2＝2＋2eq\r(3).答案：2＋2eq\r(3)8．(2022·高考广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则eq\f(a,b)＝________．解析：法一：由于bcosC＋ccosB＝2b，所以b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2b，化简可得eq\f(a,b)＝2.法二：由于bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，故sin(B＋C)＝2sinB，故sinA＝2sinB，则a＝2b，即eq\f(a,b)＝2.答案：29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\r(3)cosB.所以tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝eq\f(π,3)，且△ABC的面积为eq\r(3)，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试推断△ABC的外形．解：(1)∵c＝2，C＝eq\f(π,3)，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为eq\r(3)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，ab＝4.联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4.))解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,2)，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．1．如图所示，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为()A．8eq\r(2) B．9eq\r(2)C．14eq\r(2) D．8eq\r(3)解析：选A.在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，∴BC＝eq\f(16,sin135°)·sin30°＝8eq\r(2).2．(2021·衡水中学其次学期调研)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2) D．(0，2)解析：选A.∵B＝2A，∴sinB＝sin2A，∴sinB＝2sinAcosA，∴b＝2acosA，又∵a＝1，∴b＝2cosA.∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)，0<C<eq\f(π,2)，即0<A<eq\f(π,2)，0<2A<eq\f(π,2)，0<π－A－2A<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，∴eq\f(\r(2),2)<cosA<eq\f(\r(3),2)，∴eq\r(2)<2cosA<eq\r(3)，∴b∈(eq\r(2)，eq\r(3))．3．在△ABC中，b＝ccosA＋eq\r(3)asinC，则角C的大小为________．解析：∵b＝ccosA＋eq\r(3)asinC，由余弦定理得b＝c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋eq\r(3)asinC.即b2＋a2－c2＝2eq\r(3)absinC.∴2abcosC＝2eq\r(3)absinC，即tanC＝eq\f(\r(3),3).又0<C<π，∴C＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为____________．解析：如图1所示，当a＝bsinA，即eq\r(3)＝bsineq\f(π,3)，b＝2时，△ABC为直角三角形，只有一个解；如图2所示，当a≥b时，即0<b≤eq\r(3)时，三角形有且只有一个．所以b的取值范围为(0，eq\r(3)]∪{2}．答案：(0，eq\r(3)]∪{2}5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(3\r(3),4)，试推断△ABC的外形，并说明理由．解：(1)法一：由(2b－c)cosA－acosC＝0及正弦定理，得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0.∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).法二：由(2b－c)cosA－acosC＝0及余弦定理，得(2b－c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)－a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)△ABC为等边三角形．∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),4)，即eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),4)，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝eq\r(3)，∴△ABC为等边三角形．6．(选做题)△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S.满足S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．(1)求C的值；(2)若a＋b＝4，求周长的范围与面积S的最大值．解：(1)∵S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)·2abcosC，即tanC＝eq\r(3)，又0<C<π，∴C＝eq