【-学案导学设计】2020-2021学年高中数学(北师大版-必修一)课时作业-第二章第三节-函数

§3函数的单调性课时目标1.理解函数单调性的性质.2.把握推断函数单调性的一般方法．1．函数的单调性(1)在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，假如对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数y＝f(x)在区间A上是____的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是______的．(2)在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，假如对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数y＝f(x)在区间A上是______的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是______的．(3)假如函数y＝f(x)在区间A上是__________或是__________，那么A称为__________．2．一般地，对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，假如对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有__________，就称函数y＝f(x)在数集A上是增加的．类似地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A上，假如对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有__________，就称函数y＝f(x)在数集A上是削减的．一、选择题1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图像如图所示．给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是()A．②③B．①④C．②④D．①③2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，则有()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2)D．以上都可能3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一个根B．至多有一个根C．无实根D．必有唯一的实根4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减5．假如函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是()A.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.eq\f(x1－x2,fx1－fx2)>06．函数y＝eq\r(x2＋2x－3)的单调递减区间为()A．(－∞，－3]B．(－∞，－1]C．[1，＋∞)D．[－3，－1]题号123456答案二、填空题7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.三、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝eq\r(x2－1)，试推断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．力气提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)推断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.1．函数的单调区间必需是定义域的子集．因此争辩函数的单调性时，必需先确定函数的定义域．2．争辩函数的单调性，必需留意无意义的特殊点，如函数f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝eq\f(1,x)在定义域上是减函数．3．求单调区间的方法：(1)图像法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：即“取值——作差变形——定号——推断”这四个步骤．若f(x)>0，则推断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——推断”．§3函数的单调性学问梳理1．(1)增加递增(2)削减递减(3)增加的削减的单调区间2．f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)作业设计1．B2．A[由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，由于x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．]3．D[∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]4．C[如图所示，该函数的对称轴为x＝3，依据图像可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]5．C[由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1<x2时，可有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．]6．A[该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]7．m>0解析由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴8．－3解析f(x)＝2(x－eq\f(m,4))2＋3－eq\f(m2,8)，由题意eq\f(m,4)＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3x≥0,－x2－2x＋3x<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋4x≥0,－x＋12＋4x<0)).函数图像如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明设a<x1<x2<b，∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)<g(x2)，且a<g(x1)<g(x2)<b，又∵f(x)在(a，b)上是增函数，∴f(g(x1))<f(g(x2))，∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．11．解函数f(x)＝eq\r(x2－1)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝eq\r(x\o\al(2,2)－1)－eq\r(x\o\al(2,1)－1)＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),\r(x\o\al(2,2)－1)＋\r(x\o\al(2,1)－1))＝eq\f(x2－x1x2＋x1,\r(x\o\al(2,2)－1)＋\r(x\o\al(2,1)－1)).∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，eq\r(x\o\al(2,2)－1)＋eq\r(x\o\al(2,1)－1)>0.∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．12．解(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．由于f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)函数f(x)在R上单调递减．任取x1，x2∈R，且设x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.当x>0时，0<f(x)<1，所以f(－x)＝eq\f(1,fx)>1>0，又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.所以f(x2)－f