二次函数复习(定义、图象)课件

二次函数复习本节课我们将复习二次函数的定义、图像及其性质，并通过例题讲解，帮助大家更好地理解和应用二次函数知识。什么是二次函数定义二次函数是一种函数，其表达式为y=ax^2+bx+c(a≠0)，其中a,b,c为常数。图象二次函数的图象为抛物线，其形状由系数a决定，开口方向由系数a的正负决定。二次函数的定义一般形式y=ax²+bx+c(a≠0)图象抛物线自变量x二次函数的标准形式定义二次函数的标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k为常数，a≠0。这种形式可以清晰地反映出二次函数的特征，如开口方向、对称轴和顶点坐标。特点顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，开口方向由a的符号决定。二次函数的一般形式1定义任何二次函数都可以表示为y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，其中a、b、c为常数，且a不等于零。2系数a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。3应用这种形式便于分析二次函数的性质和图像，例如开口方向、对称轴和顶点坐标。如何判断二次函数的类型查看二次项系数如果二次项系数为正，则抛物线开口向上；如果二次项系数为负，则抛物线开口向下。观察常数项常数项表示抛物线与y轴的交点纵坐标。如果常数项为正，则抛物线与y轴交于正半轴；如果常数项为负，则抛物线与y轴交于负半轴。利用配方将一般形式的二次函数配方化为标准形式，可以直观地看出抛物线的顶点坐标和开口方向。二次函数图象的特点二次函数的图象是抛物线，它是一个对称的曲线，具有以下特点：对称轴：抛物线关于一条直线对称，这条直线叫做抛物线的对称轴。顶点：抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。开口方向：抛物线开口向上或向下，取决于二次项系数的符号。抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线上离对称轴最近的点，也是抛物线上的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过公式计算得出，例如：对于标准形式的抛物线y=a(x-h)²+k，顶点的坐标为(h,k)。抛物线的轴对称抛物线关于它的对称轴对称。对称轴是一条垂直于抛物线的直线，它将抛物线分成两个完全相同的部分。对称轴与抛物线的交点称为顶点，也是抛物线的对称中心。抛物线的平移1上移y轴方向上平移2下移y轴方向下平移3左移x轴方向上平移4右移x轴方向下平移抛物线的开口方向1系数a的影响二次函数y=ax²+bx+c中，系数a决定了抛物线的开口方向。2向上开口当a>0时，抛物线向上开口，表示函数值随着x的增大而增大。3向下开口当a<0时，抛物线向下开口，表示函数值随着x的增大而减小。抛物线的性质开口方向抛物线开口方向取决于二次项系数的正负号。正系数表示开口向上，负系数表示开口向下。对称轴抛物线关于对称轴对称，对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。顶点抛物线的顶点是抛物线上最低点或最高点，坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，顶点也是抛物线与对称轴的交点。利用性质描述抛物线1开口方向向上或向下2对称轴垂直于x轴的直线3顶点抛物线与对称轴的交点二次函数图象的变换1平移变换改变函数图象的位置2对称变换关于直线或点进行对称3倍数变换改变函数图象的形状平移变换向上平移将函数图像向上平移a个单位，对应解析式中常数项加上a。向下平移将函数图像向下平移a个单位，对应解析式中常数项减去a。向左平移将函数图像向左平移b个单位，对应解析式中自变量x加上b。向右平移将函数图像向右平移b个单位，对应解析式中自变量x减去b。对称变换1关于x轴对称将函数图像关于x轴对称，只需将y的值取相反数2关于y轴对称将函数图像关于y轴对称，只需将x的值取相反数3关于原点对称将函数图像关于原点对称，只需将x和y的值同时取相反数倍数变换1y=af(x)当a>1时，图象沿y轴方向拉伸，拉伸倍数为a2y=af(x)当03y=af(x)当a<0时，图象关于x轴对称，并沿y轴方向拉伸或压缩，拉伸或压缩倍数为|a|三种变换的综合平移、对称、倍数综合运用三种变换，可以更加灵活地绘制二次函数图象。顺序和方向注意变换的顺序和方向，确保最终图象的正确性。举例分析通过具体例子，理解三种变换的综合应用。分析二次函数图象的变换平移变换改变函数图像的位置，不改变图像的形状和大小。对称变换关于某条直线或某个点进行对称变换，改变图像的位置，不改变图像的形状和大小。倍数变换改变函数图像的大小，不改变图像的位置。如何绘制二次函数的图象1标准形式绘制法利用函数的顶点坐标和开口方向，直接在坐标系中描点连线。2一般形式绘制法通过取点法或配方法，求出几个点的坐标，然后在坐标系中描点连线。3利用抛物线性质绘制根据抛物线的对称轴和顶点等性质，进行快速绘制。4利用变换绘制二次函数将已知函数的图象进行平移、对称或伸缩变换，得到目标函数的图象。标准形式绘制法1确定顶点顶点的坐标为(h,k)。2确定对称轴对称轴为x=h。3确定开口方向当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。4确定开口大小开口大小由|a|决定，|a|越大，开口越窄。一般形式绘制法1确定开口方向根据系数a的正负判断2求对称轴利用公式x=-b/2a3求顶点将对称轴代入函数表达式4找特殊点如与x轴的交点、与y轴的交点利用抛物线性质绘制1对称性2顶点3开口方向利用变换绘制二次函数平移变换通过改变常数项，可以将抛物线上下平移。对称变换通过改变自变量的符号，可以将抛物线关于y轴对称。倍数变换通过改变系数，可以改变抛物线的开口方向和开口大小。综合案例分析已知函数图像，求表达式根据图像信息，确定函数类型、顶点坐标等代入公式，求解参数的值二次函数的应用物理问题建模抛射运动、自由落体等物理现象可以用二次函数来描述。几何问题分析求解面积、周长等几何问题可以用二次函数来解决。经济问题计算利润最大化、成本最小化等经济问题可以用二次函数来分析。物理问题建模物理模型将实际问题抽象成数学模型，简化问题，便于分析和计算。数学公式利用二次函数公式描述物理规律，例如自由落体运动、抛射运动等。图像分析通过二次函数图像，直观地展现物理过程和规律，方便理解和分析。几何问题分析1图形特征分析几何问题时，要观察图形的形状、大小和位置等特征。2数量关系利用数学知识，建立图形元素之间的数量关系，例如面积、周长、角度等。3解题策略选择合适的解题方法，例如代数方法、几何方法或坐标方法。经济问题计算利润最大化利用二次函数求解利润函数的极值点，从而确定最佳产量和最大利润。成本控制利用二次函数分析成本函数的变化趋势，制定合理的生产策略，降低成本。