2025年高考数学一轮复习之复数

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之复数一．选择题（共8小题）1．已知复数z=i1+i-A．-12 B．12 C．-12．在复数范围内，z1，z2是方程z3+z2+z+1＝0的两个不同的复数根，则|z1﹣z2|的值为（）A．1 B．2 C．2 D．2或23．若复数a+3i2+A．-32 B．32 C．-24．复数i(1+A．-417-117i B．-4175．已知z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝06．已知复数z满足（1+i）z＝i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．55 B．22 C．2 D7．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），则z•z=A．﹣3 B．3 C．4 D．58．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则z2A．45-25i B．25-4二．填空题（共5小题）9．i是虚数单位，则复数4+3i2-i=10．若复数z1，z2是方程x2﹣2x+10＝0的两根，则z12+z11．已知复数z=1+ii，则z•z12．在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1•z2＝．13．已知复数z=2cosθ+isinθ1+i(θ∈三．解答题（共7小题）14．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，则：z1•z2•…•zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特别地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：（1）求复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和辐角主值argz（用θ表示）；（2）设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．15．在复数集中有这样一类复数：z＝a+bi与z=a﹣bi（a，b∈R），我们把它们互称为共轭复数，b≠0（1）z+z=2a（2）z-z=2bi（当b≠（3）z=z⇔z∈（4）(z（5）z•z=（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商．请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：（1）设z≠i，|z|＝1．求证：z1+（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）设z＝x+yi，其中x，y是实数，当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．16．我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程（即a0，a1，a2，…，an为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=an(x-α1)k1(x-α2)k2⋯(x-αm)km，其中k，m∈N*，进一步可以推出：在实系数范围内（即a0，a1，a2，…，an为实数），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：观察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一个根，则（x﹣1）一定是多项式x3﹣1的一个因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系数法可知，a＝b＝c＝1．（1）解方程：x3﹣2x+1＝0；（2）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1．（i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）；（ii）记点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一象限内离原点最近的交点．求证：当a1+2a2+3a3≤1时，x0＝1．17．设复数z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]．（1）若复数z=z1（2）求|3z1+z2|的取值范围．18．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，∠BDC＝45°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）已知复数z的模为10，且以∠ABD为辐角，求z2．19．已知复数z＝（2+i）m+2ii-1（其中i（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）求|z﹣1|的取值范围．20．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．

2025年高考数学一轮复习之复数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知复数z=i1+i-A．-12 B．12 C．-1【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】整体思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】A【分析】先利用i的性质化简i2024，再利用复数的四则运算与共轭复数的定义，结合复数的概念即可得解．【解答】解：因为i4＝1，所以i2024＝（i4）506＝1，由z=∴z=-12故选：A．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念的应用，属于基础题．2．在复数范围内，z1，z2是方程z3+z2+z+1＝0的两个不同的复数根，则|z1﹣z2|的值为（）A．1 B．2 C．2 D．2或2【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：由z3+z2+z+1＝0，得z2（z+1）+z+1＝（z2+1）（z+1）＝0，因为i2＝﹣1，所以z＝±i或﹣1，所以|z1﹣z2|的值为2或2．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3．若复数a+3i2+A．-32 B．32 C．-2【考点】复数的运算；纯虚数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵a+3∴2a+3=06-a故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．复数i(1+A．-417-117i B．-417【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】B【分析】结合复数的四则运算进行化简，然后结合共轭复数的概念即可求解．【解答】解：复数i(1+则共轭复数为-4故选：B．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及共轭复数的概念的应用，属于基础题．5．已知z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝0【考点】复数对应复平面中的点．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】B【分析】根据复数的模化简可解．【解答】解：由题意z＝x+yi，由|z﹣1|＝|z﹣i|，即（x﹣1）2+y2＝x2+（y﹣1）2，化简得x﹣y＝0．故选：B．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的求法，是基础题．6．已知复数z满足（1+i）z＝i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．55 B．22 C．2 D【考点】复数的模；复数的运算；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：（1+i）z＝i，则z=i故|z|＝|z|=|i故选：B．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．7．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），则z•z=A．﹣3 B．3 C．4 D．5【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】D【分析】先求出z，再结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），则z＝1﹣2i，故z•z=（1﹣2i）（1+2i）＝5故选：D．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．8．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则z2A．45-25i B．25-4【考点】复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则z＝1﹣i，所以z2故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．二．填空题（共5小题）9．i是虚数单位，则复数4+3i2-i=【考点】复数的运算．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据复数代数形式的运算法则，求解即可．【解答】解：复数4+3i2-i故答案为：1+2i．【点评】本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．10．若复数z1，z2是方程x2﹣2x+10＝0的两根，则z12+z【考点】复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】4．【分析】根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．【解答】解：复数z1，z2是方程x2﹣2x+10＝0的两根，则z1+z2＝2，z1z2＝10，故z12+z1z2+2z2=-10+2z1+z1z2+2z2＝﹣10+2（z1+z2故答案为：4．【点评】本题主要考查复数的运算，韦达定理的应用，属于基础题．11．已知复数z=1+ii，则z•z【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简可求z，结合共轭复数的概念即可求解．【解答】解：因为复数z=1+ii则z•z=（1+i）（1﹣i）＝2故答案为：2．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．12．在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1•z2＝﹣1﹣3i．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；数形结合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】﹣1﹣3i．【分析】根据题意写出复数z1，z2，再计算z1•z2．【解答】解：由题意知，z1＝﹣2﹣i，z2＝1+i，所以z1•z2＝（﹣2﹣i）•（1+i）＝﹣2﹣2i﹣i﹣i2＝﹣1﹣3i．故答案为：﹣1﹣3i．【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．13．已知复数z=2cosθ+isinθ1+i(θ∈【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】43【分析】根据复数的乘法和除法运算化简复数z，根据z的实部为0即可得出tanθ的值，然后即可得解．【解答】解：z=∴2cosθ+sinθ＝0，tanθ＝﹣2，∴tan2故答案为：43【点评】本题考查了复数的乘法和除法运算，二倍角的正切公式，是基础题．三．解答题（共7小题）14．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，则：z1•z2•…•zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特别地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：（1）求复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和辐角主值argz（用θ表示）；（2）设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．【考点】复数的相等．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）|z|＝﹣2cosθ2；argz=（2）506．（3）1017．【分析】（1）根据给定条件，利用复数模及辐角主值的定义，结合三角变换求解即得．（2）利用给定定理，结合诱导公式计算，再借助正余弦函数的周期性求解即可．（3）令T＝sin20°+2sin40°+3sin60°+•••+2034sin（2034×20°），利用等比数列及错位相减法求出S+iT，再利用复数相等即可得解．【解答】解：（1）由复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），θ2∈（π2，得|z|=(1+cosθ)∵1+cosθ＞0，sinθ＜0，∴3π2＜argz＜2π，tan（∵θ2∈（π2，π），π+θ2∈（3（2）由（sinθ+icosθ）n＝[cos（π2-θ）+isin（π2-θ）]n＝cos（nπ2-nθ）∴cos（nπ2-nθ）+isin（nπ2-nθ）＝sinnθ+∴cos(∴nπ2-nθ，k∈Z，解得n＝4∵n≤2024，n∈N，∴0≤4k+1≤2024，∴0≤k≤505，k∈Z，∴符合条件的k有506个，∴这样的n有506个．（3）令ω＝cos20°+isin20°，而2034×20°＝113×360°，则ω2034＝1，令T＝sin20°+2sin40°+3sin60°+•••+2034sin（2034×20°），则s+iT＝ω+2ω2+3ω3+•••+2034ω2035，两边同乘ω，得：ω（S+iT）＝ω2+2ω3+3ω4+•••+ω2034﹣2034ω2035=ω(1-ω2034)1-ω-2034∴S+iT=-ω1-=-1+∴S+iT＝﹣2034（-1∴S＝1017．【点评】本题考查复数模、辐角主值的定义、三角变换、诱导公式、正余弦函数的周期性、等比数列、错位相减法、复数相等等基础知识，考查运算求解能力，是难题．15．在复数集中有这样一类复数：z＝a+bi与z=a﹣bi（a，b∈R），我们把它们互称为共轭复数，b≠0（1）z+z=2a（2）z-z=2bi（当b≠（3）z=z⇔z∈（4）(z（5）z•z=（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商．请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：（1）设z≠i，|z|＝1．求证：z1+（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）设z＝x+yi，其中x，y是实数，当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．【考点】复数的运算；共轭复数；复数的模．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】（1）证明见解答；（2）z1z2=-（3）|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．【分析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R），利用z•z=1，z+z=2a∈R（2）设z1z2=p+qi（p，q∈R），结合题意，可得关于（3）设z＝cosθ+isinθ，θ∈R，依题意，可得|z2﹣z+1|＝|2cosθ﹣1|，从而可求得|z2﹣z+1|的最大值和最小值．【解答】解：（1）证明：设z＝a+bi（a，b∈R），∵z≠i，|z|＝1，∴z•z=1，z+z=2a∴z1+（2）设z1z2=p+qi（p，则z1＝（p+qi）z2，∵|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，∴3＝|z1|＝|（p+qi）||z2|＝5p∴p2+q2=925又7＝|z1﹣z2|＝|（p+qi）z2﹣z2|＝|z2||（p﹣1）+qi|＝5(p∴（p﹣1）2+q2=4925联立①②，解得p=-310，q∴z1z2=-（3）∵|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，θ∈R，则|z2﹣z+1|＝|z2﹣z+z•z|＝|z（z+z-1）|＝|z||z+z-1|＝|2cos∵﹣1≤cosθ≤1，∴﹣3≤2cosθ﹣1≤1，∴|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．【点评】本题考查复数的运算及其性质的应用，考查转化与化归思想及方程思想的综合运用，属于中档题．16．我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程（即a0，a1，a2，…，an为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=an(x-α1)k1(x-α2)k2⋯(x-αm)km，其中k，m∈N*，进一步可以推出：在实系数范围内（即a0，a1，a2，…，an为实数），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：观察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一个根，则（x﹣1）一定是多项式x3﹣1的一个因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系数法可知，a＝b＝c＝1．（1）解方程：x3﹣2x+1＝0；（2）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1．（i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）；（ii）记点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一象限内离原点最近的交点．求证：当a1+2a2+3a3≤1时，x0＝1．【考点】复数的代数形式与三角形式互化．【答案】（1）x1＝1，x2=-（2）（i）x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）=-（ii）证明过程见解析．【分析】（1）观察可知x＝1是方程x3﹣2x+1＝0的一个根，所以设x3﹣2x+1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），对照可得a＝1，b＝1，c＝﹣1，得到（x﹣1）（x2+x﹣1）＝0，即可求出方程的根；（2）（i）x＝1是方程x-(a0+a1x+a2x2+a3x3)=0的一个根，所以设x-(（ii）令f（x）﹣x＝0，故x0是方程(a0+a1x+a2x2+a3x3)-x=0的最小正实根，由（i）知(a0+a1x+a2x2+a3x3)-x=(x-1)[a3x2+(a2【解答】解：（1）观察可知：（x﹣1）是方程x3﹣2x+1＝0的一个根；…………1分所以：x3﹣2x+1＝（x﹣1）（ax2+bx+c）＝ax3+（b﹣a）x2+（c﹣b）x﹣c，由待定系数法可知，a＝1，b＝1，c＝﹣1；所以（x﹣1）（x2+x﹣1）＝0，即x＝1或x2+x﹣1＝0，则方程的根为x1＝1，x2=-1+52（2）（i）由a0+a1+a2+a3＝1可知：（x﹣1）是方程x-所以：x-由待定系数法可知，a＝﹣a3，b＝﹣（a2+a3）＝（a0+a1）﹣1，c＝a0，所以x-(a0+（ii）令f（x）﹣x＝0，即(a点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一象限内离原点最近的交点，等价于x0是方程(a0+a1x+由（i）知：（x﹣1）是方程x-且(a0+设g(x)=a3x2+(a2+a3)x-又因为g（0）＝﹣a0＜0，则g（x）一定有一正一负两个实根，设正实根为t，又a0+a1+a2+a3＝1，可得a0＝1﹣（a1+a2+a3），所以g（1）＝a3+（a2+a3）﹣a0＝3a3+2a2+a1﹣1，当a1+2a2+3a3≤1时，g（1）≤0，由二次函数单调性可知t≥1，即x＝1是方程x-(a0+a1x+【点评】本题考查三次函数，解题关键是需要求解出三次函数的零点，可以先求出一个零点后将三次函数转化为二次函数再进行解题．17．设复数z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]．（1）若复数z=z1（2）求|3z1+z2|的取值范围．【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】（1）θ=3π4．（【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘除法法则，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：（1）∵复数z1＝1﹣i，∴z1=1+∴z＝（1+i）（cosθ+isinθ）＝（cosθ﹣sinθ）+（sinθ+cosθ）i，∵复数z=∴sinθ+cosθ＝0，即tanθ＝﹣1，∵θ∈[0，π]，∴θ=（2）∵z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，∴3z1+z2＝3﹣3i+cosθ+sinθi＝（3+cosθ）+（sinθ﹣3）i，∴|3z1+z2|=(3+∵θ∈[0，π]，∴-1≤cos∴|3z1+z2|的取值范围为[32【点评】本题主要考查复数与三角函数的综合应用，属于中档题．18．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，∠BDC＝45°．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）已知复数z的模为10，且以∠ABD为辐角，求z2．【考点】复数的三角表示．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】（Ⅰ）BD=12（Ⅱ）z2＝96+28i．【分析】（Ⅰ）先由题设求得AC，进而求得sin∠ACB，再在△BCD中利用正弦定理求得BD的长；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得∠ABD的正弦、余弦值，进而求得复数z，再利用复数的乘法运算求得z2．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=42+32=5，sin∠ACB=又在△BCD中，∠BDC＝45°，∴由正弦定理可得：BDsin∠ACB=BCsin（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos∠ABD＝sin∠DBC＝sin（45°+∠ACB）=22（35sin∠ABD=1-又复数z的模为10，∴z＝10（7210+210i∴z2＝（72+2i）2＝2（7+i）2＝96+28【点评】本题主要考查正弦定理的应用、复数的三角形式与代数形式的互化及复数的运算，属于中档题．19．已知复数z＝（2+i）m+2ii-1（其中i（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）求|z﹣1|的取值范围．【考点】纯虚数；复数的运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z．（1）由实部为0且虚部不为0列式求得m值；（2）求出|z﹣1|，利用配方法求范围．【解答】解：z＝（2+i）m+2（1）∵复数z是纯虚数，∴2m+1=0m-（2）z﹣1＝2m+（m﹣1）i，|z﹣1|=4∴|z﹣1|的取值范围是[2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．20．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．【考点】复数对应复平面中的点．【专题】方程思想；三角函数的求值；数系的扩充和复数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由z＝﹣1+i，可得z+1＝i，可得方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．利用根与系数的关系可得i-i=-m（2）设z＝a+bi（a，b∈R），可得z+1=a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）z+1=（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得i-i=-m-i2=（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则z+1=a+1+bi由题意可得：（z+1）z+1=（a+1）2+b2＝令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|=(cosθ-1-2)2【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片1．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a