2025高考数学一轮复习§2.7指数与指数函数【课件】

第二章§2.7指数与指数函数1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子

叫做

，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(3)＝

.当n为奇数时，

＝

，x根式aa2.分数指数幂正数的正分数指数幂：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).正数的负分数指数幂：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分数指数幂等于

,0的负分数指数幂没有意义.03.指数幂的运算性质aras＝

；(ar)s＝

；(ab)r＝

(a>0，b>0，r，s∈R).4.指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是

.ar＋sarsarbrR(2)指数函数的图象与性质

a>1

0<a<1图象

定义域____值域__________R(0，＋∞)

a>10<a<1性质过定点

，即x＝0时，y＝1当x>0时，

；当x<0时，_______当x<0时，

；当x>0时，_______

函数____函数(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增减1.指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝－4.(

)(2)2a·2b＝2ab.(

)(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.(

)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(

)×××√2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于A.不确定

B.0C.1D.2√由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.3.已知关于x的不等式

≥3－2x，则该不等式的解集为A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－4,1]√不等式

≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞).返回＝－4＋1＋0.5×16＝5.5第二部分探究核心题型例1计算：题型一指数幂的运算原式＝原式＝＝6×3＝18.(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.跟踪训练1

(多选)下列计算正确的是B.D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2√√对于B，所以B正确；对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误.例2

(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为A.a＝b

B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b题型二指数函数的图象及应用√√√由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误.(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_______.(0,2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴实数b的取值范围是(0,2).对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.跟踪训练2

(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则A.a>1 B.0<a<1C.b>1 D.0<b<1√√观察图象得，函数f(x)＝ax－b是减函数，因此0<a<1，设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1，当x＝0时，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1，所以0<a<1,0<b<1.题型三指数函数的性质及应用例3

(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，

，则A.c<b<a

B.a<b<cC.c<a<b

D.b<c<a√命题点1比较指数式的大小所以b<c<1，所以b<c<a.例4

(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围可以是A.[2,4] B.(－∞，0)C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2]命题点2解简单的指数方程或不等式√∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.例5已知函数f(x)＝

(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数.(1)求a的值；命题点3指数函数性质的综合应用因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，(2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.由(1)知a＝－1，令t＝2x，t∈[2,4]，(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.跟踪训练3

(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝

，则下列结论正确的是A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)的值域为(－1,1)C.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)为减函数√√√因为ex>0，所以ex＋1>0，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确；所以函数f(x)是奇函数，故C正确；因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1，(2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大

，则a的值为________.当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，返回当0<a<1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，课时精练一、单项选择题1.下列结论中，正确的是A.若a>0，则

＝a1234567891011121314√1234567891011121314对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得当a＝1时，

＝a；当a≠1时，

≠a，故A错误；对于C，a＋a－1＝3，则

＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以

＝

，故C错误；2.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限1234567891011121314√1234567891011121314y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)，因为a>1，所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示.故函数f(x)的图象不经过第二象限.3.(2023·宜昌模拟)设a＝30.8，b＝90.5，c＝

，则A.a>b>c

B.c>b>aC.b>a>c

D.b>c>a√1234567891011121314因为a＝30.8，b＝90.5＝(32)0.5＝31，c＝又函数y＝3x是增函数，且1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5，所以b>a>c.4.(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)√1234567891011121314函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，1234567891011121314所以a的取值范围是[2，＋∞).5.(2023·广州模拟)已知正数a，b满足

＝3，则3a＋2b的最小值为A.10B.12C.18D.241234567891011121314√1234567891011121314因为a，b为正数，所以3a＋2b的最小值为24.√12345678910111213146.(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是1234567891011121314a(2|x|＋1)＝2|x|，因为2|x|＋1>0，因为2|x|≥20＝1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，1234567891011121314D为充要条件，不符合要求.二、多项选择题7.(2023·重庆模拟)已知函数y＝

，则下列说法正确的是A.定义域为RB.值域为(0,2]C.在[－2，＋∞)上单调递增D.在[－2，＋∞)上单调递减1234567891011121314√√√由函数y＝

，可得函数的定义域为R，故A正确；设t＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1∈[－1，＋∞)，由指数函数的单调性，可得函数的值域为(0,2]，故B正确；t＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，根据复合函数单调性法则，可得函数在[－2，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确.12345678910111213148.已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则A.2a＋2b>2B.∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C.2a＋2b＝2D.a＋b<01234567891011121314√√1234567891011121314画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示.由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确.三、填空题1234567891011121314原式＝＝2－1＋8＋(23×32)＝81.8110.已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是________________________.1234567891011121314(－∞，－2)∪(1，＋∞)令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因为g(x)是奇函数，所以g(a2)>g(2－a)，又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).1234567891011121314四、解答题11.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.12345678910111213141234567891011121314令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，1234567891011121314123456789101112131412.已知函数f(x)＝2x＋

.(1)若f(0)＝7，解关于x的方程f(x)＝5；1234567891011121314由题意得f(0)＝1＋a＝7，整理得(2x)2－5×2x＋6＝0，可得2x＝2或2x＝3，∴x＝1或x＝log23.1234567891011121314(2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；1234567891011121314由题意可知，函数f(x)的定义域为R，①当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，经检验，当a＝－1时，f(x)为奇函数；②当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，1234567891011121314∴a＝1，经检验，当a＝1时，f(x)为偶函数；③当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数，综上，当a＝－1时，f(x)为奇函数；当a＝1时，f(x)为偶函数；当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数.1234567891011121314(3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围.1234567891011121314若f(