2025年高考数学一轮复习之函数应用

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之函数应用一．选择题（共11小题）1．已知函数h（x）＝sinx+xcosx，则函数在区间（0，3π）内零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．52．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=12×(45)G18，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，A．16 B．72 C．74 D．903．已知函数f(x)=x+A．[23，1] B．[-12，1] 4．已知函数f(A．f（x）是R上的增函数 B．f（x）的值域为[0，+∞） C．“x＞14”是“D．若关于x的方程f（x）＝a恰有一个实根，则a＞15．已知函数f（x）＝2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，（m≥2，m∈N+），则满足条件的实数m的最小值为（）A．506 B．507 C．508 D．5096．已知函数f(x)=A．[1，e） B．(-C．(-12，7．复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：B0，B1，B2，…，B8，所有规格的纸张的长度（以x表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为x：y=2：1；将B0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为B1规格；将B1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为B2规格；…，如此对开至B8规格．现有B1，B2，…，B8纸各一张，已知B0纸的幅宽为1m，则B1，B2A．255256m2 BC．2552256m28．已知函数f（x）=ax+1-a，0≤x≤12x2-ax，1＜x≤2，若∀x1，xA．（0，2] B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．（0，+∞）9．一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（）A．4次 B．6次 C．7次 D．50次10．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》．文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m3，且室内甲醛浓度ρ（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N*）（单位：周）近似满足函数关系式ρ（t）＝eat+b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周11．若函数f(x)=log2A．[43，73) B．[73二．填空题（共5小题）12．已知函数f(x)=32x+3-2x≥-1log13．设函数f(x)=-x，x＜0x2，x≥0，则不等式f（x14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+2），当x∈[0，3）时，f(x)=x2-3x+1ex，则y＝f（x）在[15．若方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是．16．已知函数f(x)=2lnx-x3+2x，，令g（x）＝f（x）﹣kx，当k＝﹣e2时，有g（x0）＝0，则x0＝；若函数g（三．解答题（共4小题）17．为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为6m3．已知水池底面的造价为600元/m2，侧面的造价为400元/m2．（注：衔接处材料损耗忽略不计）（Ⅰ）把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；（Ⅱ）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？18．已知函数f(（1）若f（x）≤g（x），求x的取值范围．（2）记max{a，b}=a(a≥b)，b(a＜b)，已知函数y＝（ⅰ）若k＝2，求a的取值范围；（ⅱ）若k＝3，且α，β是其中两个非零的零点，求1|19．已知函数f(x)=loga(mx-1)的图像恒过定点（1（1）求实数m的值，并研究函数y＝f（x+1）的奇偶性；（2）函数g(x)=loga(x+k2+k20．已知函数f(x)=32（1）若函数f（x）的最大值是最小值的5倍，求m的值；（2）当m=22时，函数f（x）的正零点由小到大的顺序依次为x1，x2，x3，…，若x

2025年高考数学一轮复习之函数应用参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知函数h（x）＝sinx+xcosx，则函数在区间（0，3π）内零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学抽象；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】将函数零点转化为函数y＝tanx与y＝﹣x图象交点个数问题，分别对cosx≠0和cosx＝0进行讨论可得结论．【解答】解：令sinx+xcosx＝0，可得sinx＝﹣xcosx当cosx≠0时，则有tanx＝﹣x，数形结合画出y＝tanx与y＝﹣x在（0，3π）上的图象如下图所示：可得在（0，3π）内两图象有三个交点；当cosx＝0时，在（0，3π）内解得x=故选：C．【点评】本题考查函数的零点与方程根之间的关系，属于中档题．2．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=12×(45)G18，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，A．16 B．72 C．74 D．90【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．【答案】C【分析】由题可知题目相当于解不等式12【解答】解：由题意知，只要解不等式12化简得G18因为lg4所以G18所以G≥18×4.1＝73.8．故选：C．【点评】本题考查函数模型的实际应用，属于基础题．3．已知函数f(x)=x+A．[23，1] B．[-12，1] 【考点】分段函数的应用；函数的单调性与函数图象的特征．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得关于a的方程组，解可得答案．【解答】解：根据题意，因为函数f(x)=分2种情况讨论：当3a﹣2≤0，即a≤23时，需满足1+3a-当3a﹣2＞0，即a＞23时，需满足3解得-12≤a≤1综上，实数a的取值范围为[-故选：B．【点评】本题考查函数单调性的定义，涉及分段函数的性质，属于中档题．4．已知函数f(A．f（x）是R上的增函数 B．f（x）的值域为[0，+∞） C．“x＞14”是“D．若关于x的方程f（x）＝a恰有一个实根，则a＞1【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】对于A，举反例判断；对于B，先求出每一段的值域，再求出函数的值域即可判断；对于C，由f(对于D，画出函数图象，结合图象即可判断．【解答】解：对于A，当x＝0时，20=1＞012，所以f（对于B，当x≤0时，0＜2x≤1，当x＞0时，x1所以f（x）的值域为（0，+∞），所以B错误；对于C，当x≤0时，由f(x)＞12，得2x当x＞0时，由f(x)＞1综上，由f(x)＞12，得﹣1＜所以x＞14是“f对于D，f（x）的图象如图所示，由图可知当a＞1时，直线y＝a与y＝f（x）图象只有一个交点，即关于x的方程f（x）＝a恰有一个实根，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查了指数函数、幂函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．5．已知函数f（x）＝2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，（m≥2，m∈N+），则满足条件的实数m的最小值为（）A．506 B．507 C．508 D．509【考点】函数与方程的综合运用．【专题】转化思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】B【分析】根据正弦函数的图象与性质，利用f（x）的最值进行分析，从而求出m的最小值．【解答】解：∵函数f（x）＝2sinx，对∀m≥2，m∈N*，都有|f（xm﹣1）﹣f（xm）|≤f（x）max﹣f（x）min≤2﹣（﹣2）＝4，∴要使实数m的值最小，应尽可能多让xi（i＝1，2，…，m）取得最值点，∵0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N*，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，在一个周期2π上|f（xm﹣1）﹣f（xm）|的最大值为4，且2024＝506×4，∴x1取一个零点，xm取最后一个零点时，m才能最小，∴x1＝0，x2=π2，x3=3π2，x4=5π2，∴m的最小值为507．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数模型应用问题，也考查了转化思想，是中档题．6．已知函数f(x)=A．[1，e） B．(-C．(-12，【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】分别讨论x＜﹣2，﹣2≤x≤0，x＞0时的零点个数，求出恰有两个零点时实数k的取值范围即可．【解答】解：f(①当x＜﹣2时，令f（x）＝0，解得x=若f（x）在（﹣∞，﹣2）有零点，则3k-1即当-12＜k＜1时，②当﹣2≤x≤0时，令f（x）＝0，解得x=若f（x）在[﹣2，0]有零点，则-2≤-即当k≥-12时，f（x）在[﹣2③当x＞0时，令f（x）＝ex﹣kx＝0，即k=令g(x)=令g′（x）＝0，得x＝1，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，所以g（x）≥g（1）＝e，所以当k＝e时，方程k=exx有一个实数根，即函数f（x）在（当k＞e时，方程k=exx有两个实数根，即函数f（x）在（综上所述，当k＜-12时，函数f当k=-12时，函数f（x）在[﹣当-12＜k＜1时，函数f（x）在（﹣∞，﹣2）和[﹣2，当1≤k＜e时，函数f（x）在[﹣2，0]有一个零点；当k＝e时，函数f（x）在[﹣2，0]和（0，+∞）分别有一个零点，即f（x）有两个零点；当k＞e时，函数f（x）在[﹣2，0]有一个零点，在（0，+∞）有两个零点，即f（x）有三个零点．因为函数f（x）恰有两个零点，所以实数k的取值范围是(-故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．7．复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面规格为：B0，B1，B2，…，B8，所有规格的纸张的长度（以x表示）和幅宽（以y表示）的比例关系都为x：y=2：1；将B0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为B1规格；将B1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为B2规格；…，如此对开至B8规格．现有B1，B2，…，B8纸各一张，已知B0纸的幅宽为1m，则B1，B2A．255256m2 BC．2552256m2【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；对应思想；数学模型法；定义法；等差数列与等比数列；数学建模；数学运算．【答案】C【分析】找出B1，B2，…，B8的面积规律，根据等比数列前n项和公式求得正确答案．【解答】解：由题意，可得B0的长、宽分别为2，1，B1的长、宽分别为1，22B2的长、宽分别为22，1…，所以B1，B2，…，B8的面积是首项为22，公比为1所以B1，B2，…，B8这8张纸的面积之和为S8=2故选：C．【点评】本题考查了等比数列的定义与前n项和公式应用问题，也考查了函数模型应用问题，是基础题．8．已知函数f（x）=ax+1-a，0≤x≤12x2-ax，1＜x≤2，若∀x1，xA．（0，2] B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．（0，+∞）【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】C【分析】由题知，该分段函数是增函数，因此只需f（x）在每一段上都是增函数，且在分界点x＝1处满足不减即可．【解答】解：因为对于∀x1x2∈[0，2]x1≠x2，都有f(x2)-f(则函数y＝ax+1﹣a在[0，1]上单调递增，所以a＞0①；同时，y=2x2-ax在（1，2]上单调递增，则a且有1•a+1﹣a≤21﹣a，即1﹣a≥0③；联立①②③得0＜a≤1．故选：C．【点评】本题考查分段函数单调性，以及一次函数与指数函数单调性的判断，属于中档题．9．一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（）A．4次 B．6次 C．7次 D．50次【考点】二分法的定义与应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】由题意，根据二分法的思想，即可得出结论．【解答】解：第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；第七次，可去掉1个结果，得到最终结果．所以最多需要检测7次．故选：C．【点评】本题考查二分法，属于基础题．10．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》．文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m3，且室内甲醛浓度ρ（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N*）（单位：周）近似满足函数关系式ρ（t）＝eat+b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；整体思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】B【分析】由ρ（3），ρ（1）相除可得ea，然后解不等式ρ（t0）＜0.1，由指数函数性质估计出(52)4【解答】解：由题意可知，ρ（1）＝ea+b＝6.25，ρ（3）＝e3a+b＝1，ρ3ρ1设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安企开放标准，则ρ(整理得62.5≤（52)t0-所以4＜m﹣1＜5，即5＜m＜6，则t0﹣1≥m﹣1，即t0≥m．故至少需要放置的时间为6周．故选：B．【点评】本题主要考查函数模型及其应用，指数不等式的解法等知识，属于中等题．11．若函数f(x)=log2A．[43，73) B．[73【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．【答案】B【分析】当x＞0时有一个零点，故当﹣π≤x≤0时有3个零点，然后求解即可．【解答】解：当x＞0时，令log2x+2x＝0，解得：x=1又因为f（x）＝0有4个根，所以当﹣π≤x≤0时，f（x）有3个零点，因为﹣π≤x≤0，所以﹣πω+π3≤ω所以有：﹣3π＜﹣πω+π3≤-2π故选：B．【点评】本题考查了函数的零点，也考查了学生的数形结合思想，属于中档题．二．填空题（共5小题）12．已知函数f(x)=32x+3-2x≥-1log2(1-x)x【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．【答案】[﹣127，-1【分析】根据分段函数特点求值即可．【解答】解：①当x≥﹣1时，f（x）＝32x+3﹣2单调递增，令32x+3﹣2≤7，得到x≤-12，故②当x＜﹣1时，f（x）＝log2（1﹣x）单调递减，令log2（1﹣x）≤7，得到x≥﹣127，故﹣127≤x＜﹣1；综上，x∈【点评】本题考查分段函数的应用，属于基础题．13．设函数f(x)=-x，x＜0x2，x≥0，则不等式f（x）+f（【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．【答案】（﹣∞，2）∪（﹣1，+∞）【分析】通过讨论当x＜﹣2时，当﹣2≤x＜0时，当x≥0时，不等式f（x）+f（x+2）＞2的解集，最后得到答案．【解答】解：当x+2＜0，即x＜﹣2时，则f（x）+f（x+2）＝﹣x﹣（x+2）＝﹣2x﹣2＞2，解得x＜﹣2；当x+2≥0，x＜0，即﹣2≤x＜0时，则f（x）+f（x+2）＝﹣x+（x+2）2＞2，即x2+3x+2＞0，解得﹣1＜x＜0；当x≥0时，f（x）+f（x+2）＝x2+（x+2）2≥22＝4＞2恒成立；综上所述，不等式f（x）+f（x+2）＞2的解集为（﹣∞，2）∪（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（﹣1，+∞）．【点评】本题考查与分段函数相关的抽象函数不等式问题，属于中档题．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+2），当x∈[0，3）时，f(x)=x2-3x+1ex，则y＝f（x）在[【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算；数据分析．【答案】1350【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内[0，3）内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在[﹣1012，1012]上的零点个数．【解答】解：由f（x﹣1）＝f（x+2）可得f（x）＝f（x+3），所以周期T＝3，当x∈[0，3）时，f(令f（x）＝0，解得x1=3-即一个周期内有2个零点，因为f（1012）＝f（337×3+1），所以y＝f（x）在[﹣1012，1012]上的零点个数为2×（2×337+1）＝1350．故答案为：1350【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．15．若方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是（e+1，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（e+1，+∞）．【分析】方程化为lnx+exx+1x=a，构造函数g(x)=lnx【解答】解：方程化为lnx+令g(则问题转化为g（x）的图象与直线y＝a有2个交点，因为g'当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，易知g（x）≥g（1）＝e+1，当x正向无限趋近于0时，g（x）的取值无限趋近于正无穷大；当x→+∞，g（x）→+∞，故方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根时，a＞e+1．故答案为：（e+1，+∞）．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，函数性质的综合应用，属于中档题．16．已知函数f(x)=2lnx-x3+2x，，令g（x）＝f（x）﹣kx，当k＝﹣e2时，有g（x0）＝0，则x0＝0或-e2+2【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；直观想象；数学运算．【答案】0或-e2+2【分析】分x≥1和x＜1两种情况，结合导函数判断出函数单调性，求出零点；先得到0为g（x）的一个零点，再参变分离，构造t(x)=2lnxx，x∈[1，+∞)-x2+2【解答】解：当k＝﹣e2时，g（x0）＝0，即f(当x≥1时，2ln令h（x）＝2lnx+e2x，x≥1，h'(x)=2x+e故h（x）＝2lnx+e2x在[1，+∞）上单调递增，又h（1）＝e2＞0，故h（x）＝2lnx+e2x＞0在[1，+∞）恒成立，无解；当x＜1时，-x即(-故x0＝0或-x解得x0＝0或-e2+2但e2当x＝0时，﹣03+2×0﹣0•k＝0，故0为g（x）的一个零点；当x≠0时，令g（x）＝0，当x≥1时，2lnxx=k，当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）时，﹣x2令t(当x≥1时，t'当x＞e时，t′（x）＜0，t（x）单调递减；当1≤x＜e时，t′（x）＞0，t（x）单调递增；故t（x）在x＝e时取得极大值，也是最大值，且t(且当x＞1时，t（x）＞0恒成立，画出其图象如下：要想k＝t（x）有3个不同的零点，只需0＜故答案为：0或-e2+2【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题．三．解答题（共4小题）17．为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为6m3．已知水池底面的造价为600元/m2，侧面的造价为400元/m2．（注：衔接处材料损耗忽略不计）（Ⅰ）把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；（Ⅱ）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；方程思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学抽象；数学运算．【答案】（Ⅰ）S=600（Ⅱ）当水池底面的边长为2m时，水池的总造价最低．【分析】（Ⅰ）根据题意用x表示即可．（Ⅱ）使用导数工具得函数最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得水池的底面积为x2，侧面积为4x×6x所以水池的造价S=600x2+9600（Ⅱ）对函数S(得S'令S′（x）＝0，解得x＝2，由S′（x）＞0，解得x＞2；故S（x）在区间（2，+∞）上单调递增；由S′（x）＜0，解得x＜2；故S（x）在区间（0，2）上单调递减，所以当x＝2时，S（x）取得最小值S（2）＝7200，因此，当水池底面的边长为2m时，水池的总造价最低．【点评】本题考查函数模型的实际应用，属于基础题．18．已知函数f(（1）若f（x）≤g（x），求x的取值范围．（2）记max{a，b}=a(a≥b)，b(a＜b)，已知函数y＝（ⅰ）若k＝2，求a的取值范围；（ⅱ）若k＝3，且α，β是其中两个非零的零点，求1|【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】（1）[-（2）（i）当k＝2时，a的取值范围为[-（ii）1|【分析】（1）对x的取值进行分类讨论求解本题；（2）（i）将原题转化为h（x）＝ax+2的实根个数问题进行讨论；（ii）构造函数y=【解答】解：（1）由题意得函数g（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤g（x）等价于x2当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）≤g（x）等价于-2x≤21-x2解得-2综上，f（x）≤g（x）的解集为[-即当x的取值范围为[-22，1]时，f（x）≤g（2）（i）令h（x）＝max{f（x），g（x）}=f(x)，-1≤x当-1≤x≤-22时，即为f（x）＝ax+2，所以﹣2x当-22≤x≤1时，即为g（x）＝ax+2由①知，x=-2a+2∈[-1，所以x＝0或x=-4aa2+4∈[-22，1]，所以a≤22-2或a当a＜0时，①无实根，对于②，只要x=-4aa2+4≤1，化简得（a+2）2≥当a＞0时，若0＜若a=22-2，则有两个零点0和-2综上所述，当k＝2时，a的取值范围为[-（ii）由（1）得当k＝3时，0＜a＜22-2，且三个零点分别为-2a所以1|易得函数y=34所以y=所以1|【点评】本题考查分段函数及其应用，属于难题．19．已知函数f(x)=loga(mx-1)的图像恒过定点（1（1）求实数m的值，并研究函数y＝f（x+1）的奇偶性；（2）函数g(x)=loga(x+k2+k【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的奇偶性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）m＝2；函数y＝f（x+1）为奇函数；（2）实数k的范围为（﹣1，0]．【分析】（1）将点（1，0）的坐标代入函数中可求出m的值，然后利用函数奇偶性的定义判断y＝f（x+1）的奇偶性；（2）由题意得x+【解答】解：（1）因为函数f(x)=loga(所以log（m﹣1）＝0，则m﹣1＝1，得m＝2，所以f(x)=由1-xx+1＞0，得﹣1＜x＜1，即y＝f（x+1令h(因为h(所以h（x）为奇函数，即函数y＝f（x+1）为奇函数；（2）由f（x）＝g（x），得log所以x+由2x-1＞0，得2-xx由x+得x+因为x+当且仅当x=k2所以2k2+k+2由x+x2+k2+k+2﹣2（k+1）x＝2﹣x，整理得x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，得（x﹣k）[x﹣（k+1]＝0，解得x＝k或x＝k+1，因为关于x的方程f（x）＝g（x）恰有唯一解，所以0＜k＜解得1≤k＜2或﹣1＜k≤0，综上，﹣1＜k≤0，即实数k的范围为（﹣1，0]．【点评】此题考查对数函数的综合问题，考查对数型函数过定点问题，考查函数与方程，第（2）问解题的关键是根据对数的性质和对数方程将问题转化为不等式组求解，考查数学转化思想和计算能力，属于难题．20．已知函数f(x)=32（1）若函数f（x）的最大值是最小值的5倍，求m的值；（2）当m=22时，函数f（x）的正零点由小到大的顺序依次为x1，x2，x3，…，若x【考点】函数的零点；三角函数的最值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】（1）m=（2）ω＝3．【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出f（x）的最值，即可得到方程，解得即可；（2）依题意可得f(x)=sin(ωx-π6)-22，令f（【解答】解：（1）因为f(所以f(当sin(ωx-π6)=1时，f（x）当sin(ωx-π6)=-1时，f（x）由1﹣m＝5（﹣1﹣m），解得m=-3（2）当m=22令f（x）＝0，有sin(ωx-π6可得x=2kπ取k＝0，可得x1=5又由x2-2x1=π36，有11π【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的性质，属于中档题．

考点卡片1．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有x-1＞3-x1当1＞a＞0时，有x-1＜3-x1综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．2．函数的单调性与函数图象的特征函数的单调性与函数图象的特征3．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．4．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．5．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案为：32+22cos（这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=∴当t=1而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．6．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．7．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．8．二分法的定义与应用【知识点的认识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1=a+b2时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b【解题方法点拨】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【命题方向】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程lnx=1x在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，解：令函数f（x）＝lnx-1x，由于f（1.5）＝ln（1.5）-11.5=13（ln1.52﹣2）＜13（lne2﹣2而f（2）＝ln2-12=ln2﹣lne=ln2e=12ln4e＞1故函数f（x）在[1.52]上存在零点，故方程lnx=1x在[1.5故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．9．函数与方程的综合运用函数与方程的综合运用10．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件8000100-p元，预计年销售量将减少（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为8000100-p（11.8﹣政府对该商品征收的税收y=8000100-p（11.8﹣p）故所求函数为y=80100-p（11.8﹣由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得80100-p（11.8﹣p）p化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）=8000100-p（11.8﹣p）（2≤p∵g(p)=8000100-∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．11．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特