2024年高考数学（北京卷）真题详细解读及评析

2024年高考数学真题完全解读（北京卷）

辿试卷总评Ig

2024年北京高考数学卷（以下简称北京卷）在命题思路和特点上展现了其独特之处，充分体现了“立

德树人，服务选才，引导教学”的命题指导原则，并在此基础上实现了守正创新。试卷不仅在知识考查上

全面而深入，更注重对考生数学素养和思维品质的检验，彰显了首都特色与教育改革的精神。

一、筑牢育人根基，凸显德育价值

北京卷注重将数学知识与德育内容相融合，通过精心设计的题目，使考生在解题过程中感受到数学的

德育价值。例如，通过引入古代数学文化元素，让考生了解中华优秀传统文化的博大精深，增强民族自信

心和自豪感。同时，试卷还关注劳动教育和美育的考查，使考生在解题过程中体会劳动的价值和数学的美

育价值。

二、夯实数学基础，强化能力考查

北京卷在命题上紧扣课标和教材，注重考查考生的数学基础知识、基本技能和基本方法。试卷对主干

知识的考查保持了较高比例，同时注重对数学思想方法的考查，引导考生深入理解数学的本质和思想方法。

通过对不同层次、不同难度题目的设置，实现时考生思维水平的区分和选拔。

三、彰显首都特色，体现创新精神

北京卷在命题中充分体现了首都特色和创新精神。试卷在题目设计和呈现形式上注重创新，通过设置

开放性问题、多项选择问题等，激发考生的探究兴趣和创新思维。同时，试卷还关注对考生可持续学习能

力的培养，通过设置具有探究背景的题目，引导考生养成终身学习的意识和能力。

四、坚持守正创新，服务考试改革

北京卷在保持命题稳定性的基础上，不断探索和创新。试卷在命题思路、题目类型和呈现形式上都有

所创新，同时注重与教学实践的紧密结合，引导中学数学教学在六个方面“下功夫”，即主干知识的掌握、

学科本质的理解、思想方法的领悟、应用探究能力的提升、创新思维的形成以及数学素养的养成。

总的来说，2024年北京高考数学卷在命题上体现了全面育人、选拔人才和引导教学的理念，注重考查考生

的数学素养和思维品质，彰显了首都特色和创新精神。同时，试卷也注重与教学实践的紧密结合，为中学

数学教学提供了有益的启示和导向。

题型新变化

北京2024年高考数学题目设订在整体结构上与往年保持了致性，依然注重考直学生对集合、复数、

二项式定理、解析几何、立体几何、导数的综合运用等知识点的掌握情况。从题目的难易程度上看，大部

分题目设计得相对简单，旨在检验学生的基础知识与基本技能，预计这•部分的分值大约占100分左右。

难题的数量相对较少，但加强了对学生思维能力的考查，强调学科核心素养的导向。容易的题目占据了多

数，旨在让不同层次的学生都能得到充分的展示机会。特别是第10、15、19、20、21题，这些题目设置得

较为有区分度，能够拉开不同学生之刊的水平差坨。特别值得一提的是第21题，这道题目以新定义的形式

出现，旨在为优秀的人才提供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才的选拔，助推素质教方的发展。整

个试卷的设计避免了死记硬背和偏题怪题，引导中学数学教学从总结解题技巧转向培养学生的学科核心素

养，体现了高考改革的新方向。

|二倩分析［修

题号分值题型考查内容模块（题目数）

14分选择题集合的并集运算集合（共2题）

24分选择题复数的乘法4运算复数（共1题）

34分选择题直线与圆、点到直线的距离解析几何（共4题）

44分选择题二项式展开式中的系数二项式定理（共1题）

54分选择题平面向量与命题逻辑平而向量（共1题）

64分选择题三角函数的最值与周期性解三角形与三角函数

（共4题）

74分选择题对数运算函数（共3题）

84分选择题空间中点线面的位置关系及空间几何立体儿何（共3题）

体的高

94分选择题指数函数和对数函数的单调性及基本函数（共3题）

不等式基本不等式（共1题）

104分选择题借助集合的背景，考查学生数形结合集合（共2题）

的思想去转化题目中的几何意义函数（共3题）

115分填空题抛物线的性质解析几何（共4题）

125分填空题三角函数的单调性解三角形与三角函数

（共4题）

135分填空题双曲线的基本性质解析几何（共4题）

145分填空题等比数列的性质及求空间儿何体的体数列（共3题）

积空间几何体的体积（共3题）

155分填空题利用等差数列、等比数列的散点图特数列（共3题）

征分析它们之间的性质成对数据分析（共1题）

1613分解答题正余弦定理解三角形与三角函数

（共4题）

1713分解答题线而平行、而面所成角立体几何（共3题）

1814分解答题古典概型、离散型随机变量分布列统计与概率

1915分解答题椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置解析几何（共4题）

关系

2015分解答题导数的综合运用导数（共1题）

2115分解答题新定义、数列数列（共3题）

辿备考指津—I、岭

1.高考一轮复习：回归基础，深化理解（1）选择好复习起点，重视知识产生的过程：在复习过程中,

我们不应仅仅满足于对知识点的记忆和背诵，而应深入理解知识的产生过程。这包括了解知识的来源、背

景、发展脉络以及其在整个学科体系中的位置和作用。通过追溯知识的根源，我们能够更加全面地掌握知

识，增强记忆深度，同时培养我们的思维能力和探索精神。（2）以问题为导向的基础复习：问题导向的复

习方法能够帮助我们更加有针对性地进行学习。通过设定问题，我们能够明确自己的学习目标，从而有针

对性地查找和解决问题。这种复习方法不仅能够增强我们的学习兴趣和动力，还能够提高我们的学习效率。

同时，通过解决问题，我们能够加深对知识点的理解和记忆，形成更加完整和系统的知识体系。（3）重视

教材的使用：教材是学科知识的载体，也是我们进行复习的主要工具。因此，在一轮复习中，我们应充分

利用教材，深入研读教材内容。通过反复阅读和思考教材内容，我们能够更好地理解和掌握知识点，加深

对知识的印象。同时，教材上的例题和习题也是我们进行练习和巩固知识的重要资源。（4）题组教学，变

式训练：题组教学和变式训练是提高学生解题能力和思维水平的有效方法。在一轮复习中，我们可以选择

典型的例题进行深入的解析和训练。通过题组教学，我们能够了解不同题型的特点和解题方法，形成解题

的套路和技巧。同时，通过变式训练，我们能够拓展解题思路和方法，提高解题的灵活性和应变能力。这

不仅有助于我们在高考中应对各种题型和难度，还能够培养我们的思维能力和创新精神。

2.提高课堂听课效率：勤动手，多动脑，高效利用高三复习课与评讲课。（1）课前自我检测与预复习：

在复习课之前，我们应该进行一番自我检测。通过【可顾教材、笔记和之前的作业，梳理出自己已掌握的知

识点，同时标出那些还存在疑惑或未掌握的内容。这样的预复习不仅能帮助我们明确听课的目的，还能在

听课时更有针对性地吸收知识。（2）动手做题，明确难点:现在的学生手中都会有一本复习资料。在老师讲

课之前，我们可以尝试独立完成其中的例题。在解题过程中，我们可能会遇到一些难点或疑惑。这些难点

正是我们听课的术点，它们将引导我们更加深入地理解知识，并找出自己的不足。（3）听课有重点，多动

脑思考：在听课时，我们要保持高度的专注力，认真听老师讲解每•个知识点利解题技巧。对于课前做题

时遇到的难点，要特别留意老师的讲解，并多动脑思考，确保自己完全理解和掌握。此外，我们还要积极

参与课堂讨论，发表自己的观点和疑问，与老师和同学共同探讨，以加深对知识点的理解。（4）课后及时

巩固与反思：课后，我们要及时巩固所学内容，通过做题、复习笔记等方式加深记忆。同时，我们还要对

听课过程进行反思，总结自己的收获和不足，以便在下一节课中更加有针对性地听课。

3.精掂纠错，深化反思，完善知识体系（1）在高三的紧张复习阶段，我们需要枳极“以错纠错”，即

专门收集日常作业中的错误。随着复习的深入，我们将面对几十套甚至上百套的各类试题，每个错误君是

我们成长的垫脚石。（2）若在做题时出错较多，建议在试卷上对错题进行标记，并旁边附上简短的评析。

随后，妥善保存这些试卷。定期回顾这些“错题笔记”或标记了错题的试卷，将帮助我们有针对性地进行

查漏补缺。（3）在阅读参考书时，不妨将精彩之处或错误的题目也做上标记。这样，在再次翻阅时就能有

所侧重，实现精准复习。查漏补缺不仅是对知识的回顾，更是对自己总维方式的反思与提升。（4）除了逐

一理解不同问题外，更要学会“举一反三”，及时归纳总结。每次订正试卷或作业时，都要在错题旁详细

记录错误原因.常见原因包括：①无从下手解题：②概念模糊、理解不透彻：③方法选择不当：④知识点

间迁移和综合存在问题：⑤情景设计理解困难；⑥熟练度不够，时间紧迫：⑦粗心大意或计算失误。通过

一段时间的自查，建立一份个性化的补差档案，持续边查边改。随着时间的推移，重复犯错的频率会大幅

降低。同时，随着自我认识的不断深化，考试时的自信心将增强，紧张情绪也将得到缓解。

真题解读

2024年高考数学真题完全解读（北京卷）

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{xlTvx"","={x|-lvx<3},则（）

A.{x|-4<x<3}B.{x|-l<x<1}

C.{0,1,2}D.{止I<xv4}

【命题意图】本题考查集合的并集运算，考查数学运算的核心素养.难度：易.

【解析】由题有得MuN=（-4,3）,故选：A.

【点评】集合是高考每年必考知识点、一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,

二是集合之间的关系，所给集合多为不等式集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定.

【知识徒接】

I.求解集合的运算问题的三个步骤：

（1）看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数

集、点集还是图形集等：

（2）应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图（Venn）.

7

2.匚知一=i-1,贝（jz=（）.

i

A.1-iB.-iC.-1-iD.

【命题意图】本题考查复数的乘法运第考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.

【答案】C

【解析】由题意得Z=i（i-l）=-l—i,故选：C.

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，复数题多以单选题、填空题都可能出现，考查热

点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共筑复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等，二是

复数的四则运算运算.

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

（I）复数的乘法.发数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作

另一类同类项，分别合并即可.

（2）复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共挽复数，解题中要注意把i的事写成最简形式.

（3）复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为。+加3力wR）的形式，再结合相关

定义解答.

（4）复数的运克与复数几何意义的综合题.先利用复数的运兜法则化简，一般化为〃+齿3.8£R）的形式，再结合

复数的几何意义解答.

3.国工2+,2一2工+6、=0的圆心到直线丫一），+2=0的距离为（）

A.＞/2B.2C.3D.3亚

【命题意图】本题考查由圆的一般方程求出圆心和半径以及圆心到直线的距离公式，数学运算的核心素养。

难度：易

【答案】D

【解析】由题意得f+尸一2工+6），=0,即（x—1『+（.y+3）2=10,

|1-（-3）+2|广

则其圆心坐标为（1,一3）,则圆心到直线x-y+2=0的距离为J.（］）2=312.故选;D.

【点评】今年的直线与圆的位置关系考的比往年要简单，往年着重考查圆有关的最值问题，今年考查的是

基础知识的运用，学生易得分。

【知识链接】（1）对于方程/+），2+瓜+或+”=0（。,£尸为常数），当。2+£2-4尸＞。时，方程

x2+），+Dx+Ey+F=0叫做圆的•般方程.方程表示以为圆心，以+4=为半径的圆:

22

（2）设圆C：（工-〃）2+（»「勿2=/（＞0）直线/：Av+By4-C=0（A+5^0）;圆心C（ab）到直线/的距离

\Aa+Bb+C\

YIA2+B2

4.在1一五了的展开式中，V的系数为（）

A.6B.-6C.12D.-12

【命题意图】本题考盒二项式展开式的系数问题，数学运算的核心素养。难度：易

【答案】A

【解析】卜-4『的二项展开式为*=C：f[_«J=c：（—1）'；W（"（U2,3,4），

令4一5=3,解得厂=2,故所求即为C；（—11=6.故选：A.

【点评】相较于往年，今年的题目在难度上梢有提升，其中新加入了分数指数恭的知识点，为考生带来了

新的挑战。然而，从总体方向来看，题目的主要考查点并未改变，仍旧聚焦于二项式展开式的系数问题，

旨在检验考生对该知识点的掌握与运用。

【知识链接】二项式展开式的通项公式护

5.设4，〃是向量，则”（〃+[?）（〃一〃）=（）”是"4=_8或4=//'的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算及命题与逻辑，数学逻辑推理及数学运算的核心素养。难度：

易

【答案】B

【解析】因为（〃+6卜（。一"=《尸一户=0,可得即同=阵

可知（〃+/））•（〃_〃）=（）等价于同=母,

若或。=-力，可得同=w，眯,+〃）•（〃—〃）=o,可知必要性成立；

若（〃+〃）•（〃-〃）=0,即同=忖，无法得出〃="或〃=_力，

例如力=（i,o）/=（o,i）,满足同=忖，但白工〃且〃工一6,可知充分性不成立；

综上所述，+。）=0"是且aw-zr的必要不充分条件.故选：B.

【点评】平面向量在北京高考数学中占据着重要的必考地位，常以客观题的形式呈现。其考察热点主要集

中在平面向量的线性运算及数量积的灵活运用上。这些题目既可以设置成基础题型，帮助学生扎实掌握基

础知识点：又可以构造得相当复杂，通过融合平面几何、不等式、三角函数等多个知识领域，对学生的综

合应用能力和解题策略提出更高层次的要求。特别是在较难的题目中，平面向量常与其他数学概念相交融，

形成综合考察，考验着学生的逻辑思雉深度和解题智慧。

【知识链接】1.对丁•平面向量数量积的求解，有两种主要方法。当已如向量的模长和夹角时，可以利用公

式。力=同冰:OS力）来直接计算；而若已知向量的坐标形式，可利用坐标法求解,即若。=（用四）力=（X2J2）,

贝I]。力=制"+）”2

2.在处理与平面儿何相关的平面向量数量积的最值与范围问题时，常用的方法有以下两种。一是通过建立

坐标系，将儿何问题转化为代数问题，再利用函数思想或基本不等式进行求解；二是通过引入角作为变量，

将问题转化为求解三角函数的最值或范圉问题。这两种方法都能够有效地处理这类问题，并帮助我们找到

数量积的最值或范围。

6.已知〃x）=sin0x（o>O）,/（菁）=-1,/（^）=1,I%一毛舄=；，则/=（）

A.1B.2C.3D.4

【命题意图】本题考查三角函数最值以及周期性，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：中

【答案】B

【解析】由题意可知：七为了（"的最小值点，々为/（"的最大值点，

则k-ZlnUE：；，即7=兀，且8〉0,所以口=以=2.故选：B.

【点评】学生们在解决涉及三角函数最值分析的问题时，可以利用周期性的概念进行深入理解，并结合三

角函数最小正周期公式进行计算求解,相较于去年，今年的题目难度虽略有提升，但整体上依然较为友好，

易于学生理解和把握，因此学生们在拿握相应知识点的基础匕较容易获得理想的分数。

【知识链接】1.对于函数y=Asin（sx+s）（A和,0对）,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横

坐标一定是函数的零点.

2Q由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的

半个周期：②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期：③一

条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的;个周期（借助图象很好理解记忆）.

S-1

7.生物丰富度指数d=—是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物

InN

个体总数.生物丰富度指数4越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总

数由M变为N”生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则（）

A.3N2=2NXB.2N[=3N\

C.鸠:N；D.N；=N：

【命题意图】本题考查对数的运凫，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度:中

【答案】D

5-15-1

（解析】由题意得-7T=2・1，三丁=3.15,则2.1In乂=3.15InN,,即21nM=3InM,所以N：=N；.

InN、'nN】__

故选：D.

【点评】通过将题目背景设置为现实生活情境，我们旨在让考生在解题的同时，深刻体会到数学既源于生

活又服务于生活。本题特别强调了比较两个数的大小时，除了常见的作差法外，有时采用作比法可能更为

恰当和有效。这样的设计旨在引导考生拓展思维，理解数学在实际问题中的灵活应用。

［知识链接】对数的运算性质(l)loga(M-N)=log“M+logN(2)log./=log,M7ogN(3)loggblogM

8.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8CO是边长为4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=ZC，

A.1B.2C.72D.75

【命题意图】本题考查面面垂直的性质定理，等体积法求点到面的距离，考查直观想象和数学运算的核心

素养。难度：中

【答案】D

【解析】如图，底面ABCZ)为正方形，

当相邻的楼长相等时，不妨设PA=PB=AB=4,PC=PO=2挺，

分别取AB,CD的中点、E,F,连接PE,PF,EF,

则且PEcEF=E，PE,EFu平面PEF，

可知A3工平面PE尸，U.ABczTWABCD,

所以平面PEF_L平面ABCD,

过尸作£尸的垂线，垂足为。，即POLE/"

由平面PEFn平面ABCD=EF,POu平面PEF，

所以PO_Z平面ABC。，

由题意可得：PE=2瓜PF=2,EF=4,则尸E?+尸产？=所2,即尸石_|_所，

11PFPFr-

W)—PEPF=—POEF,可得PO二--------=V3,

22EF

所以四棱铢的高为G.

当相对的棱长相等时，不妨设%=PC=4,PB=PD=2旧

因为3。=4正=28+P。，此时不能形成三角形尸8。，与题意不常，这样情况不存在.

故选：D.

【点评】与去年相比，去年考察的是空间几何体的校长之和，而今年的焦点则转向了空间几何体的高，从

难度上看，今年的考查点显得更为直接和简单。解题过程中，首先利用面面垂直的性质推导出线面垂直，

进而借助等体积法巧妙求解，使得整个解题过程变得清晰且易于操作。

【知识链接】面面垂直的性质定理

文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的更凰那么这条

直线与另一个平面垂直

图形语言

//

符号语言a_L8,aA0=1,aca,a±l=>a±fJ

9.已知（％，x）,（9,月）是函数〉'=2'图象上不同的两点，则下列正确的是（）

%+工2„1x+y-芯+―

A.幅汽&B.log,2-<-

222

C.log2%；）2D.log.%；'

【命题意图】本题考查指数函数和对数函数的单调性以及基本不等式的运用，考查数学逻辑推理及数学运

算的核心素养。难度：中

【答案】A

【解析】由题意不妨设N<W，因为函数y=2"是增函数，所以0<2演<2"，即。<必<必，

2r,+2'"/-----v+V

对于选项AB：可得2,即“力>22>0,

22

根据函数），=10g2%是增函数，所以10g2%&>10g222二土笠，故A正确，B错误:

对于选项C：例如％=0,超=1，则弘=1，必=2，

可得10g2上产=10g2^£（0/），即10g2当&<1=%+工2,故C错误；

对于选项D：例如X]=-1,々=-2,则y=g,%=；，

可得log?'=log2（=log23-3e（-2,-l）,即log?>〉_3=%+,，故D错误,

故选：A.

【点评】这道题目巧妙地运用/对数函数与指数图数模型，深入考察「基本不等式的应用。在北京岛考中，

基本不等式经常与其他数学知识点相互交融，而今年这一结合的方式显得尤为巧妙。题目不仅体现了数学

公式的深度，还与函数的凹凸性有着微妙的关联，为考生提供了一次综合运用数学知识的机会。

【知识链接】（1）指数函数的图像及性质

y=a'(a〉0,且aWl)

指数函数

0<a<la>l

T

y=ayy>=«T

/

图象

产1尸1

(0,1)(0,1)一

0X0X

定义域R

值域(0,+8)

过定点过定点（0，1）,即x=0时，y=l

单调性在R上是减函数在R上是增函数

性

质函数值当x>0时,0<y<l：当x〉0时，y>l；

的变化当x<0时，y>l当x<0时，（Ky<I

对称性y=a'与y=G）"的图象关于y轴对称

a+b

（2）基本不等式：4而亍（aX）,b>。）应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三

相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指

满足等号成立的条件.

10.已知知=｛（五,），）|），="+/（%2一”,14工42,0«品1｝是平面直角坐标系中的点集.设"是加中两点

间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（）

A.d=3,S<lB.d=3,S>l

C.d=M，S<l0d=M，S>1

【命题意图】本题考查集合的表示、函数图像的运用，考查数形结合、逻辑推理及数学运算的核心素养。

难度：难

【答案】c

【解析】对任意给定xe[l,2],则x2—;v=MxT）N0,-S/e[O,l],

22

可知+-x）Wx+r-X=.d,gpX<y<Xt

y<x2

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域Nx,

l<x<2]J

如图阴影部分所示，其中4（1」）,3（2,2）,C（2,4）,\1\/^

可知任意两点间距离最大值〃=|AC|=J15；阴影部分面枳S<S"8c=gxlx2=l.:

故选：C.

【点评】这道题目的设计极为巧妙，它巧妙地利用集合中的点集来代表平面图形，进而引导学生结合图像

深入分析平面中两点的最值问题。作为选择题的压轴题，它不仅展示了数学的深度和美感，而且相较于去

年，难度上有所降低，使得更多学生能够挑战并享受解题的过程。

【知识链接】在运用数形结合的方法时，其核心在于“以形助数”，即在解题过程中，我们应着重培养这

种思想意识。这不仅要求我们在脑海中形成清晰的图形形象，而且要做到每当看到数学表达式时，能够迅

速联想到相关的图形。这样做能够极大地拓宽我们的解题思路。使用数形结合法的前提是题目中的条件能

够明确转化为几何意义，解题时，我们需精准地把握条件、结论与几何图形之间的对应关系，巧妙地利用

几何图形中的相关定理和结论来求解问题。

二、填空题：本题共5小题,每小题5分，共25分.

II.已知抛物线）？=16丫，则焦点坐标为.

【命题意图】本题考查抛物线的基本性质，考查数学运算的核心素养。难度：易

【答案】（4,0）

【解析】由题意抛物线的标准方程为y2=i6x,所以K焦点坐标为（4,0）.

故答案为：（4,0）.

【点评】本题重在基础知识的考查，对学生要求不高；

【知识链接】

y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py

标准方程

（。>。）（0》。）（〃>。）（P>°）

范围x>0x<0y>0,y<0

顶点（0,0）

对称轴X轴y轴

尸修。〕《甘，。）尸（。,苦〕

住/、、、占八、、

y

准线方程X-〃2X-R.=%y=

22

离心率。=1,P越大，抛物线的开口越大

焦半径

\MF\=X^M=-x-^|MF|==%+、

MQoJo）Q+o+

通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：=2p

焦点弦长

1的TM+闯+PAB

公式1HW+IMI+P

TTJT

12.在平面直角坐标系xOy中，角a与角夕均以Qt为始边，它们的终边关于原点对称.若ae,

_63_

则cos。的最大值为.

【命题意图】本题考查三角函数的对称性及由单调性求最值，考查数学运算及逻辑推理的核心素养。难度：

易

【答案】—I—0.5

2

【解析】由题意夕=。+兀+2E,keZ,从而cos/?=cos（a+兀+2Zn）=-cosa.

因为aw,所以cosa的取值范围是仕，用，cos6的取值范围是一东一；，

7T47rI

当n.仅当a=,，即/7=」+2E火eZ时，cos/取得最大值，R最大值为一一.

33^2^

故答案：---.

2

【点评】通过巧妙地利用三角函数的对称性特性，我们可以建立£之间的关系，进而依托的cosaw

值范围，精准地推导出本题的答案。这种解题方法不仅体现了对基础知识点的深入理解和应用，更展现了

一种别样的考查视角，使得问题解答过程既富有挑战性又充满智慧。

2

13.若直线），=k（x-3）与双曲线?-），2=1只有一一个公共点，则攵的一个取值为.

【命题意图】本题考查双曲线的基木性质及直线与双曲线的位置关系，考查数学运算及数形结合的核心素

养。难度：易

【答案】I（或一?，答案不唯一）

22

2=1

【解析】联立•彳~，化简并整理得：（1—4公卜2+24汽厂36攵2-4=0,

），=忆（工一3）

由题意得1一4父=0或A=（24公丫+4（36二+4）（1-4r）=0,

解得k=土;或无解，即人±1,经检验，符合题意.

故答案为：（或一二，答案不唯一；.

29

【点评】本题为开放型题目，较去年的13题相比容易很多，直接借助直线与双曲线的位置关系联立方程组,

令△二（）从而求出k«

【知识链接】

设直线/：尸心,+m（“?W（））,①

双曲线C：三一£=1（。>0,b>0）,②

a2b2

把①代入②得（护一/炉）/一2〃2加5一次“2一标〃=0

当步一〃23=0,即攵=/忖，直线/与双曲线C的渐近平行，直线与双曲线相交于一点.

a

14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是偷、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的

形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为

65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量㈱的高为

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式及圆柱的体积，考查数学运算的核心素养。难度：中

【答案】23m

x230

［2I2

【解析】设升量器的高为九，斗量器的高为生（单位都是mm）,则一=；［2一=1°，

兀［I引65）".“।亍325门、.

故九=23mm,4=U^mm.故答案为：23mm,mm.

22

【点评】

【知识链接】（1）圆柱体积丫=汽/授》为底面半径，h为圆柱的高）：

（2）等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,

那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母4表示（。#0）符号语言

-2±L=<7（或者乌-=虱〃22））（</为常数，4/。，〃wN"）

a„a„.

15.设｛q｝与也｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合”=给出下列4

个结论:

①若也｝与也｝均为等差数列，则M中最多有1个元素：

②若｛4｝与｛4｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛《,｝为等差数列，｛〃,｝为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛《,｝为递增数列，也J为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及散点图的应用，考查逻辑推理及数学运算的核心

素养。难度：难

【答案】①③©

【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合道项

公式的特征及反证法可判断③的正误.

【详解】对于①，因为｛q,｝,｛2｝均为等差数列，故它们的散点图分布在直线匕

而两条直线至多有一个公共点，故M中至多一个元素，故①正确.

对于②，取勺=2"T也=-（一2广，则｛6｝,｛0｝均为等比数列，

但当〃为偶数时，有q=2"T=d二-（一2）”“，此时M中有无穷多个元素，

故例误.

对于③，设勿=Aq"（AqwO闯工±1）,4“=切+〃（％。0）,

若M中至少四个元素，则关于n的方程A（/"=kn+b至少有4个不同的正数解，

若，/>0国HI,则由y=Aqn和），=也+力的散点图可得关于〃的方程A0'=切+〃至多有两个不同的解,

矛盾；

若q<0国工±1,考虑关于〃的方程Ac,n=kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，

当4/"=加+6有偶数解，此方程即为A/『=切+/九

方程至多有两个偶数解，IL有两个偶数解时AkIn|^|>0.

否则Ak\n\q\<0,因），二A\q\\y=kn+b单调性相反，

方程司引”=如+〃至多一个偶数解，

当人/=及十匕有奇数解，此方程即为=k/iIb,

方程至多有两个奇数解，「L有两个奇数解时-4AIn|^|>0即Ak上际<0

否则Akln|^|>0,因），=一司司”，），=如+。单调性相反，

方程川4"=如+/）至多一个奇数解，

因为AkIn|亦0,AkIn|^|<0不可能同时成立,

故Aq”=m+沙不可能有4个不同的正数解，故③正确.

对于④，因为｛可｝为单调递增，｛4｝为递减数列，前者散点图呈上升趋势，

后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.

故答案为：①③④

【点评】对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质

关系时，等比数列的公比可能为负，比时要注意合理转化.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在.48。中，内角的对边分别为。也c,2A为钝角，a=7,sin2/?=—/?cos^.

7

（1）求NA；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得存在，求的面积.

条件①：b=7：条件②：cosB=—：条件③：csinA=?\/5.

142

注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运嵬与逻辑推理的核心素养滩度：中

【答案】⑴A=y;

（2）选择①无解：选择②和③AWC面积均受叵.

4

【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案：

（2）选择①，利用正弦定理得8=结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin8=述，再

314

代入式子得力二3,再利用两角和的正弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面积公式即可；选择③，首

先得到c=5,再利用正弦定理得到sinC=%巨，再利用两角和的正弦公式即可求出sinB,最后利用三

14

角形面积公式即可：

【解析】（1）由题意得25皿8358=、工儿058，因为A为钝角，

7

rb_2_a_1

则CGSBHO,则2sin8=—贝iJsinBsinAsinA,解得sinA=N，

7T2

因为A为钝角，则A号.

(2)选择①8=7,则sin8=且b=且、7=更，因为A=勺，则“为锐角，则8=工,

1414233

此时A+4=7T,不合题意，舍弃:

133后

选择②cos8=，，因为“为三角形内角，则sinB=

14

则代入2sin8=正〃得2x地=走〃，解得b=3,

7147

sinf—4-B^sin—cos^+cos—sinB

sinC=sin(A+8)

【3J33

=l^sinC=lx7x3x^=l^.

则S

22144

选择③csinA=2j5,则有ex立=°G，解得c=5,

222

则由正弦定理得一“一二」一，即:方=寂，解得sinC=述,

sinAsinC—14

4

因为C为三角形内角，则cosC=

.2兀「27r.

则sin5=sin(A+C)==sin—cosC+cos—sinC

33

x/311D5G3x/3

=—x—+

2141414

贝”"Ac=—«csin/y=—x7x5x-^-^-=-!-^

22144

【点评】本题把正余弦定理及二倍角公式交汇考配命题形式与往年基木相同，学生对此类问题训练较多，妇运

算能力过关,该题得满分应该没有问题，

【知识链接】应用正弦、余弦定理的解超技巧

(1)求边：利用公式。=号力=安,c=3詈或其他相应变形公式求解.

MilDolll/Ibillr\

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin4=絮之sinB=^&sin。=安4或其他相应变形公式求

解.

(3)己知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.

17.如图，在四棱锥P—A3CD中，BC//AD,AB=I3C=],AO=3,点E在4力上，且PEJ.AD,

PE=DE=2.

(1)若尸为线段尸石中点，求证：B尸〃平面PCD.

(2)若平面尸A。，求平面/X8与平面PCO夹角的余弦值.

【命题意图】本题考查线而平行的证明及面面所成用的计算，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素

养,难度：中

【答案】(1)证明见解析(2)叵

30

【分析】(1)取尸力的中点为S,接SESC,可证四边形SF8C为平行四边形，由线面平行的判定定理

可得BE〃平面PCD.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面A阳和平面PCD的法向量后可求夹角的余弦值.

【解析】

(1)取。。的中点为S,接SF,SC,则5-〃ED,SF=LE/)=1,

2

而ED〃BC,ED=2BC,故SF//BCSF=BC,故四边形SFBC为平行四边形，

板BF//SC,而3?已平面PCO,SCu平面尸CQ，

所以BF〃平面PCD.

(2)

因为a=2,故A£=l，故AE〃8C,AE=BC,

故四边形4EC3为平行四边形，故CEHAB,所以CEJ_平面外。.

而PE,EOu平面心