2024北京昌平区高二（上）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京昌平高二（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知直线过点P（﹣1，1），且倾斜角是45°，则直线不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若，则a0+a1+a2+a3+a4+a5＝（）A．﹣8 B．16 C．32 D．643．某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（）A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2%4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线CB1与直线A1C1所成角的大小为（）A． B． C． D．5．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%．若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A．22.5% B．30% C．40% D．75%6．已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y＝±2x7．为了迎接在杭州举行的第十九届亚运会，学校开展了“争做运动达人，喜迎杭州亚运”活动．现从某班的4名男生和3名女生中选出3人参加活动，则这3人中既有男生又有女生的选法种数为（）A．20 B．30 C．35 D．608．已知直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x﹣by﹣2＝0，则“”是“l1⊥l2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件9．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台．如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（）A． B． C． D．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，，P，Q分别是棱BC和C1D1上的两个动点，且PQ＝2，则PQ的中点E到CC1的距离为（）A． B． C． D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）展开式中x项的系数是．12．（5分）设F为抛物线y2＝4x的焦点，则点F的坐标为；若抛物线上一点M满足|MF|＝5，那么点M的横坐标为．13．（5分）北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在．为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是．14．（5分）已知圆D：x2+y2+6x﹣8y+9＝0，则圆D的半径为；与圆D和圆x2+y2＝1都相切的直线的方程为．（只需写出一条直线的方程）15．（5分）数学中有许多形状优美的曲线，曲线E：|x|+|y|+x2y2＝3就是其中之一．给出下列四个结论：①曲线E关于坐标原点对称；②曲线E上任意一点到原点的距离的最小值为2；③曲线E恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④曲线E所围成的区域的面积大于8．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知圆C的圆心为（2，3），且过坐标原点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点（0，2）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝6，求直线l的方程．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，AB⊥AC．（Ⅰ）求直线AC与平面A1BC所成角的正弦值；（Ⅱ）求点B1到平面A1BC的距离．18．（14分）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示．在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“﹣”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同．时段新闻点击量第1天到第15天↑﹣↑↓↑﹣↓↑﹣↓↑↓﹣↓↓第16天到第30天﹣↑﹣↑﹣↑↓﹣↓↑﹣↓↑↓↑用频率估计概率．（Ⅰ）试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；（Ⅱ）从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记X表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）从样本给出的30天中任取1天，用“ξ＝1”表示该天新闻点击量“上涨”，“ξ＝0”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“η＝1”表示该天新闻点击量“上涨”，“η＝0”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差Dξ，Dη大小关系．19．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD＝CD＝2AB＝2，M是PC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角M﹣BD﹣C的余弦值．条件①：CB⊥PB；条件②：DM＝BM．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21．（15分）已知椭圆的上顶点为B，圆O：x2+y2＝n（n＞0）．对于圆O，给出两个性质：①在圆O上存在点P，使得直线BP与椭圆C相交于另一点A，满足；②对于圆O上任意点Q，圆O在点Q处的切线与椭圆C交于M，N两点，都有OM⊥ON．（Ⅰ）当n＝1时，判断圆O是否满足性质①和性质②；（直接写出结论）（Ⅱ）已知当时，圆O满足性质①，求点A和点P的坐标；（Ⅲ）是否存在n（n＞0），使得圆O同时满足性质①和性质②，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】根据题意直线的斜率k＝tan45°＝1，利用点斜式方程算出直线的方程，进而可得答案．【解答】解：由倾斜角是45°，可知直线的斜率k＝tan45°＝1，结合直线过点P（﹣1，1），可得直线方程为y﹣1＝x+1，即y＝x+2．因为直线y＝x+2的斜率大于0，且与y轴交于（0，2），所以该直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查直线的方程及其应用，考查了计算能力、图形的理解能力，属于基础题．2．【分析】由题意，令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵，∴令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝25＝32．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．3．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式直接求解．【解答】解：某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是：P＝＝0.096＝9.6%．故选：A．【点评】本题考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】CB1∥A1D，则∠C1A1D为直线CB1与直线A1C1所成角的平面角，由此即可得．【解答】解：在正方体中，CB1∥A1D，则∠C1A1D为直线CB1与直线A1C1所成角的平面角，连接C1D，在等边三角形A1C1D中，∠C1A1D＝60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的定义，属于基础题．5．【分析】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人，记事件A＝“抽到的学生喜欢文学阅读”，B＝“抽到的学生喜欢科普阅读”，分析P（A）、P（AB）的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人，记事件A＝“抽到的学生喜欢文学阅读”，B＝“抽到的学生喜欢科普阅读”，则P（A）＝75%＝0.75，P（AB）＝30%＝0.3，故P（B|A）＝＝＝0.4＝40%．故选：C．【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．6．【分析】由已知可得a与b的值，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：由双曲线的实轴长为4，得a＝2，又b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，是基础题．7．【分析】可选2男1女或1男2女，再利用分类加法计数原理求和即可．【解答】解：这3人中既有男生又有女生的选法种数为＝30．故选：B．【点评】本题考查组合问题，是基础题．8．【分析】分别由两条直线垂直，可得a，b的关系及由＝﹣1，判断出两条直线垂直，可判断“”是“l1⊥l2”的什么条件．【解答】解：两条直线垂直时，则a+（﹣1）（﹣b）＝0，即a+b＝0，可能a＝b＝0，则“”是“l1⊥l2”的不必要条件，当＝﹣1时，即a+b＝0，可得两条直线垂直，则“”是“l1⊥l2”的充分条件，所以“”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断方法，属于基础题．9．【分析】利用侧面与下底面夹角的正切值均为可求出正棱台的高，进而求出斜高，再利用梯形的面积公式求解即可．【解答】解：设上底面为ABCD，下底面为A'B'C'D'，取BC的中点E，B'C'的中点F，连接EF，设上底面的中心为O，下底面的中心为O'，连接OO'，OE，O'F，过点E作EH⊥O'F于点H，如图所示：∵EF⊥B'C'，HF⊥B'C'，∴∠EFH即为侧面与下底面夹角的平面角，即tan∠EFH＝，又∵HF＝O'F﹣O'H＝O'F﹣OE＝4﹣2＝2，∴tan∠EFH＝＝，∴EH＝2，∴EF＝＝＝2，∴方亭的侧面积为4××＝48．故选：B．【点评】本题主要考查了正棱台的结构特征，属于中档题．10．【分析】取CC1的中点F，连接EF，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合PQ＝2，利用两点间距离公式，求出EF的长即可．【解答】解：取CC1的中点F，连接EF，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（x，2，0），Q（0，y，），F（0，2，），因为E是PQ的中点，所以E（，，），所以＝（，，0），而＝＝（0，0，），所以•＝0，即EF⊥CC1，所以点E到CC1的距离就是EF，因为PQ＝2，所以PQ2＝＝4，即x2+（y﹣2）2＝1，所以EF2＝＝＝，即EF＝，所以PQ的中点E到CC1的距离为．故选：D．【点评】本题考查空间中点到线距离的求法，熟练掌握空间中两点间的距离公式，中点坐标公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．【分析】先写出展开式中的通项公式，再求出含x项的系数．【解答】解：∵展开式中的通项公式为Tr+1＝Cx5﹣r（﹣）r＝C（﹣1）rx5﹣2r，r＝0，1，…，5，令5﹣2r＝1，解得r＝2．∴T3＝C（﹣1）2x＝10x．故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．12．【分析】直接根据抛物线的性质求解即可．【解答】解：因为抛物线y2＝4x，所以2p＝4，可得p＝2，＝1，故焦点为：（1，0），又抛物线上一点M满足|MF|＝5，所以xM+＝5，可得xM＝4，即点M的横坐标为4．故答案为：（1，0）；4．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．13．【分析】先从4名老师中选3人，再将3名老师进行分配，即可求解．【解答】解：不同的分配方案种数是＝24种．故答案为：24．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．14．【分析】根据由条件，结合配方法，求出圆D的半径，再结合圆与直线相切的定义，即可求解．【解答】解：圆D：x2+y2+6x﹣8y+9＝0，则（x+3）2+（y﹣4）2＝16，故圆D的半径为4，圆心为（﹣3，4），当直线为x＝1时，该直线与圆D相切，也与圆x2+y2＝1相切，故所求切线方程为x＝1．故答案为：4；x＝1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．15．【分析】画出图形，判断4个命题的真假，即可．【解答】解：因为：|x|+|y|+x2y2＝3，x＞0，y＞0时，曲线化为：（x+1）（y+1）＝4；所以曲线E：|x|+|y|+x2y2＝3对应的图形，如图．将x换成﹣x，y换成﹣y，方程不变，所以图形关于（0，0）对称；故①正确；曲线E上的点P到原点的距离的最小值为，故②不正确；|x|+|y|+x2y2＝3，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，﹣1，3，﹣3，则可得整点有8个：（±1，±1），（0，±3），（±3，0），故③正确；结合图形，可知图形内部的正方形的面积为：＝8，曲线E所围成的区域的面积大于8，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查切线与方程的应用，也考查了新定义的应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【分析】（Ⅰ）设出圆的标准方程，将坐标原点代入圆的方程，即可求解；（Ⅱ）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，并分类讨论，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）圆C的圆心为（2，3），则可设圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2，圆C过原点（0，0），则（0﹣2）2+（0﹣3）2＝13＝r2，综上所述，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13；（Ⅱ）直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，当x＝0时，y＝±3，满足|MN|＝6，符合题意，直线l的斜率存在时，直线l的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，过点（0，2）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝6，则＝，解得k＝﹣，即直线l的方程为3x+4y﹣8＝0，综上所述，所求的直线方程为x＝0或3x+4y﹣8＝0．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面A1BC所成角的正弦值．（Ⅱ）B1（1，0，2），＝（0，0，2），求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，AB⊥AC，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，2），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2，1），设直线AC与平面A1BC所成角为θ，则直线AC与平面A1BC所成角的正弦值为：sinθ＝＝；（Ⅱ）B1（1，0，2），＝（0，0，2），∴点B1到平面A1BC的距离为：d＝＝．【点评】本题考查线面角的正弦值、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）直接利用古典概型的概率公式求解；（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到X的分布列和期望；（Ⅲ）利用方差公式求解．【解答】解：（Ⅰ）根据表格数据可以看出，上述30天里有10天新闻点击量“下降”，设事件M为该网站新闻点击量“下降”，用频率估计概率，估计；（Ⅱ）设从样本的前15天中随机抽取1天，该天网站新闻点击量“上涨”为事件A，则P（A）＝＝，从样本的后15天中随机抽取1天，该天网站新闻点击量“上涨”为事件B，则，A．B互相独立，X的所有可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝P（）＝P（）P（）＝[1﹣P（A）][1﹣P（B）]＝（1﹣）×＝，P（X＝1）＝P（A+B）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝＝，P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝＝，X的分布列为：X012P所以；（Ⅲ）D（ξ）＜D（η），理由如下：由题意可再P（ξ＝1），P（ξ＝0）＝，P（η＝1）＝，P（η＝0）＝，所以E（ξ）＝1×＝，E（η）＝1×＝，所以D（ξ）＝（1﹣）2××≈0.232，D（η）＝（1﹣）2×≈0.244，所以D（ξ）＜D（η）．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴∴b＝∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，∴|MN|＝＝∵A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S＝∵△AMN的面积为，∴∴k＝±1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．20．【分析】（Ⅰ）作辅助线，由线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）选择一个条件，建立空间直角坐标系，由向量法求二面角即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点N，连接MN，AN，因为M为PC的中点．所以MN∥DC，且CD＝2MN，因为AB∥CD，且CD＝2AB，所以AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN为平行四边形，所以AN∥BM，又因为AN⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，所以BM∥平面PAD；（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD．所以DA，DC，DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分到为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，选择条件①：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又因为CB⊥PB，PB∩PD＝P，所以BC⊥平面PBD，又因为BD⊂平面PBD，所以BD⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝1，DC＝2，AD⊥CDAB∥CD，计算可得，所以AD＝1．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），所以，设平面MBD的法向量为，则，令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，所以，由题知，平面BCD的一个法向量为，设二面角M﹣BD﹣C为θ，且θ为锐角，所以cosθ＝＝．选择条件②：因为PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．因为M为PC的中点，所以，所以∠PBC为90°，即P