2025年牛津译林版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年牛津译林版高二数学下册月考试卷588考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、某银行储蓄卡上的密码是一种4位数号码；每位上的数字可在0到9中选取，某人只记得密码的首位数字，如果随意按下一个密码，正好按对密码的概率为（）

A.

B.

C.

D.

2、设则（）A.都不大于B.都不小于C.至少有一个不大于D.至少有一个不小于3、动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点(A)(4，0)(B)(2，0)(C)(0，2)(D)(0，-2)4、【题文】函数是（）A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数5、抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A.（0，2）B.（0，1）C.（2，0）D.（1，0）6、已知函数y=x+1+lnx

在点A(1,2)

处的切线l

若l

与二次函数y=ax2+(a+2)x+1

的图象也相切，则实数a

的取值为(

)

A.12

B.8

C.0

D.4

7、已知直线ax鈭�by鈭�2=0

与曲线y=x3

在点p(1,1)

处的切线互相垂直，则ba

为(

)

A.鈭�13

B.鈭�3

C.13

D.3

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、若方程x2+（m-3）x+m=0的两个根都是正数，则m的取值范围是____．9、“∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴AC，BD互相垂直且平分．”此推理过程依据的大前提是____．10、现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要有有公共边的两块不能用同一种颜色，共有____种不同的着色方案．（用数字作答）．

11、已知,由此你猜想出第n个数为12、用数学归纳法证明：“”，从第步到第步时，左边应加上____.13、一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有个.14、【题文】若是与的等比中项，则的最小值是____．15、已知F1F2

分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)

的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P

使得线段PF1

的垂直平分线过点F2

则离心率的范围是______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共12分)21、已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足．

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1•k2=2．求证：直线DE过定点；并求出这个定点．

22、设平面内的向量点是直线上的一个动点，且求的坐标及的余弦值.23、已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab；f（x）＞0的解集为（-3，2）；

（1）求f（x）的解析式；

（2）x＞-1时，的最大值；

（3）若不等式ax2+kx-b＞0的解集为A，且（1，4）⊆A，求实数k的取值范围．评卷人得分五、计算题(共3题，共9分)24、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。25、解不等式组：．26、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)27、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为28、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】

根据题意，当首位数字已知的情况下，后三位数字有10×10×10=103种情况；

而按对密码的情况有1种；

则该人随意按下一个密码，正好按对密码的概率为

故选B．

【解析】【答案】根据题意，由分步计数原理可得当首位数字已知的情况下，后三位数字有10×10×10=103种情况；而按对密码的情况有1种，根据等可能事件的概率公式，计算可得答案．

2、D【分析】【解析】

因为相加，利用均值不等式得到因此至少有一个不小于-2【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】

∵抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，∴由题可知动圆的圆心在y2=8x上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），故选B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】故选B【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1；0），故选：D

【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．6、D【分析】解：y=x+1+lnx

的导数为y隆盲=1+1x

曲线y=x+1+lnx

在x=1

处的切线斜率为k=2

则曲线y=x+1+lnx

在x=1

处的切线方程为y鈭�2=2x鈭�2

即y=2x

．

由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1

相切；

y=ax2+(a+2)x+1

可联立y=2x

得ax2+ax+1=0

又a鈮�0

两线相切有一切点；

所以有鈻�=a2鈭�4a=0

解得a=4

．

故选：D

．

求出y=x+1+lnx

的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1

相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据鈻�=0

得到a

的值．

本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．【解析】D

7、B【分析】解：求导函数；可得y隆盲=3x2

当x=1

时，y隆盲=3

隆脽y=x3

在点P(1,1)

处的切线与直线ax鈭�by鈭�2=0

互相垂直；

隆脿3?ab=鈭�1

隆脿ba=鈭�3

故选：B

．

求导函数，求得切线的斜率，利用曲线y=x3

在点P(1,1)

处的切线与直线ax鈭�by鈭�2=0

互相垂直；即可求得结论．

本题考查导数的几何意义，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】

设方程x2+（m-3）x+m=0的两个根分别为x1，x2

∵方程x2+（m-3）x+m=0的两个根都是正数。

∴

∴

∴0＜m≤1

∴m的取值范围是（0；1]

故答案为：（0；1]

【解析】【答案】根据方程x2+（m-3）x+m=0的两个根都是正数；可知根的判别式大于大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，从而可求m的取值范围。

9、略

【分析】

用三段论形式推导一个结论成立；

大前提应该是结论成立的依据；

∵由四边形ABCD是菱形；所以四边形ABCD的对角线互相垂直的结论；

∴大前提一定是菱形的对角线互相垂直；

故答案为：菱形的对角线互相垂直．

【解析】【答案】用三段论形式推导一个结论成立；大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为菱形，得到四边形ABCD的对角线互相垂直的结论，得到大前提．

10、略

【分析】

根据题意；对于区域Ⅰ，有5种颜色可选，即有5种情况；

对于区域Ⅱ；与区域Ⅰ相邻，有4种颜色可选，即有4种情况；

对于区域Ⅲ；与区域Ⅰ；Ⅱ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况；

对于区域Ⅳ；与区域Ⅱ；Ⅲ相邻，有3种颜色可选，即有3种情况；

则不同的着色方案有5×4×3×3=180种；

故答案为180．

【解析】【答案】根据题意；从区域Ⅰ开始，依次分析区域Ⅱ；Ⅲ、Ⅳ的着色方法的数目，可得区域Ⅰ有5种选法，区域Ⅱ有4种选法，区域Ⅲ有3种选法，区域Ⅳ有3种选法，进而由分步计数原理计算可得答案．

11、略

【分析】试题分析：观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为故答案为考点：归纳推理.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

因为用数学归纳法证明：“”，从第步到第步时，左边应加上【解析】【答案】13、略

【分析】非空真子集的个数为【解析】【答案】3014、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】915、略

【分析】解：由题意得F1(鈭�c,0))F2(c,0)

设点P(a2c,m)

则由中点公式可得线段PF1

的中点。

K(a2鈭�c22c,m2)隆脿

线段PF1

的斜率与KF2

的斜率之积等于鈭�1隆脿m鈭�0a2c+c?m2鈭�0a2鈭�c22c鈭�c=鈭�1

隆脿m2=鈭�(a2c+c)?(a2c鈭�3c)鈮�0隆脿a4鈭�2a2c2鈭�3c4鈮�0

隆脿3e4+2e2鈭�1鈮�0隆脿e2鈮�13

或e2鈮�鈭�1(

舍去)隆脿e鈮�33

．

又椭圆的离心力率0<e<1

故33鈮�e<1

故答案为[33,1)

．

设点P(a2c,m)

则由中点公式可得线段PF1

的中点K

的坐标，根据线段PF1

的斜率与KF2

的斜率之积等于鈭�1

求出m2

的解析式，再利用m2鈮�0

得到3e4+2e2鈭�1鈮�0

求得e

的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e

的范围．

本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．【解析】[33,1)

三、作图题(共5题，共10分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共12分)21、略

【分析】

设P（x，y），代入足得化简得y2=4x；

（2）证明：将A（m，2）代入y2=4x；得m=1；

设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1），E（x1，y1）

由得k2x2+2（kb-2）x+b2=0；

∵kAD•kAE=2，∴

且y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴①

将代入①得，b2=（k-2）2，∴b=±（k-2）．

将b=k-2代入y=kx+b得；y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．

将b=2-k代入y=kx+b得；y=kx+2-k=k（x-1）+2，过定点（1，2），不合，舍去；

∴定点为（-1；-2）．

【解析】【答案】（1）设出P点坐标，求出的坐标，代入满足整理即可得到点P的轨迹C对应的方程；

（2）把A的坐标代入点P的方程求出m的值；设出DE的方程，和抛物线方程联立后得到D；E两点横坐标的和与积，再由两点的斜率之积等于2得到关系式，和根与系数关系结合后可得直线DE的斜率和截距的关系，代回直线方程后利用直线系方程得到证明．

（1）22、略

【分析】本题考查了向量共线的条件，向量的坐标运算，数量积的坐标表示，向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦，本题综合性强，运算量大，谨慎计算是正确解题的关键（1）设∵点在直线上，∴与共线，而∴即有∴又那么得到坐标，进而求解夹角的余弦值。【解析】

设∵点在直线上，∴与共线，而∴即有4分∵∴即又∴所以此时8分于是∴12分【解析】【答案】23、略

【分析】

（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+（b-8）x-a-ab的两根分别为-3和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；问题得以接解决；

（2）原函数转化为y=再根据基本不等式即可求出最大值；

（3）由题可知，不等式ax2+kx-b＞0在x∈（1；4）上恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求出答案．

本题给出二次函数，着重考查了一元二次不等式的应用、基本不等式的应用，一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．【解析】解：（1）由题可知⇒

则f（x）=-3x2-3x+18；

（2）由（1）=

令t=x+1，x＞-1则t＞0，

当且仅当取等号；此时t=1，则x=0

则y最大值为-3；

（3）由题可知，不等式ax2+kx-b＞0在x∈（1；4）上恒成立；

即kx＜3x2+5在x∈（1；4）上恒成立。

即上恒成立；

又当且仅当时有最小值

则五、计算题(共3题，共9分)24、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。25、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．26、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C4