2024年北师大版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高二数学下册月考试卷212考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、公比为的等比数列的各项都是正数，且则（）A.B.C.D.2、下列不等式对任意的x∈（0；+∞）恒成立的是（）

A.x-x2≥0

B.ex≥e

C.lnx＞

D.sinx＞-x+1

3、已知f（x）=2x3-6x2+a（a为常数）在[-2；2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的值域是（）

A.[-37；3]

B.[-29；3]

C.[-5；3]

D.以上都不对。

4、若存在x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，1]B.（﹣∞，﹣8]C.[1，+∞）D.[﹣8，+∞）5、当时，复数在复平面内对应的点位于：A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、【题文】在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A.B.2C.5D.107、若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则a=()A.或B.-1或C.或D.或78、已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.9、某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查；现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()

A.31.6岁B.32.6岁C.33.6岁D.36.6岁评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、与双曲线有共同的渐近线，并且过点A（）的双曲线的标准方程为________________________．11、设函数点A表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），若向量θn是与的夹角，（其中），设Sn=tanθ1+tanθ2++tanθn，则=____．12、不等式的解集为____________13、某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（1-5号，6-10号，，196-200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是____．14、某地有居民100000户，其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是____.15、【题文】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝若△ABC的面积为则=____．16、若双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于C的实半轴长，则C的离心率是______．17、已知f(x)=2x2+x鈭�kg(x)=x3鈭�3x

若对任意的x1隆脢[鈭�1,3]

总存在x0隆脢[鈭�1,3]

使得f(x1)鈮�g(x0)

成立，则实数k

的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共9分)24、如图，已知圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形，O是底面圆心．（Ⅰ）求圆锥的表面积；（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O¢作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．25、求满足下列条件的概率：

（1）若mn都是从集合{1，2，3}中任取的数字，求函数f（x）=x2-4mx+4n2有零点的概率；

（2）若mn都是从区间[1，4]中任取的数字，在区间[0，4]内任取个实数x，y，求事件“x2+y2＞（m-n）2恒成立”的概率．26、已知n≥0，试用分析法证明：．评卷人得分五、综合题(共4题，共28分)27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．29、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】试题分析：法一：因为且数列各项均为正数，所以因为所以所以所以法二：因为所以所以故A正确。考点：1等比数列的通向公式；2对数的运算。【解析】【答案】A2、B【分析】

对于A；x=3时，显然不成立；

对于B，设f（x）=ex-ex，∴f′（x）=ex-e；当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；

∴x=1时，f（x）取得最小值为0，∴f（x）≥0，∴ex≥ex；故B正确；

对于C；x=e时，显然不成立；

对于D；x=π时，显然不成立；

故选B．

【解析】【答案】对于A，C，D分别列举反例，对于B，构造函数f（x）=ex-ex；利用导数可求f（x）的最小值为0，故可判断．

3、A【分析】

由已知，f′（x）=6x2-12x，由6x2-12x≥0得x≥2或x≤0；

因此当x∈[2；+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数；

又因为x∈[-2；2]；

所以得；当x∈[-2，0]时f（x）为增函数；

在x∈[0；2]时f（x）为减函数；

所以f（x）max=f（0）=a=3，故有f（x）=2x3-6x2+3

所以f（-2）=-37；f（2）=-5

因为f（-2）=-37＜f（2）=-5；所以函数f（x）的最小值为f（-2）=-37．

从而值域为[-37；3]

故选A

【解析】【答案】先求导数；根据单调性研究函数的极值点，在开区间（-2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出a，通过比较两个端点-2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．

4、A【分析】试题分析：构造函数f（x）=2x﹣x2，由存在使不等式2x﹣x2≥a成立（如果是任意使不等式2x﹣x2≥a成立则易误解），可知即答案选A.考点：二次函数的最值【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于那么可知那么横坐标为m-1<0,可知实部大于零，虚部小于零，可知点位于第四象限，选D。考点：复数的几何意义【解析】【答案】D6、C【分析】【解析】因为·=(1,2)·(-4,2)

=1×(-4)+2×2=0,

所以⊥且||==

||==2

所以S四边形ABCD=||||=××2=5.故选C.【解析】【答案】C7、A【分析】【解答】由求导得

设曲线上的任意一点处的切线方程为将点代入方程得或

（1）当时：切线为所以仅有一解，得

（2）当时：切线为由得仅有一解，得

综上知或选A.8、B【分析】【解答】函数在上单调，说明其导函数无实根或只有两相等，即（或）恒成立.无实根，则9、C【分析】【分析】由图知；抽到的司机年龄都在[30，35)岁之间频率是0.35；

抽到的司机年龄都在[35；40)岁之间频率是0.30；

抽到的司机年龄都在[40；45)岁之间频率是0.10．

由于在频率分布直方图中；中位数使得左右频率相等，故中位数右侧的频率为0.50．

而[35；45)段上的频率是0.40＜0.50，[30，45)岁之间频率是0.75＞0.50；

故中位数在区间[30；35)内，还要使其右侧且在[30，35)岁之间频率是0.10；

所以中位数是35-≈33.6．

故答案选C．二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】【解析】【答案】11、略

【分析】

设函数点A表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*）；

若向量=

θn是与的夹角；

（其中）；

设Sn=tanθ1+tanθ2++tanθn=

则=1．

【解析】【答案】设函数点A表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），则能推导出Sn=由此能导出．

12、略

【分析】试题分析：去绝对值得或解得或故答案为考点：解不等式【解析】【答案】13、略

【分析】

由分组可知；抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22；

所以第6组抽出的号码为27；第7组抽出的号码为32；

第8组抽出的号码为37．

故答案为：37．

【解析】【答案】由分组可知；抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，可以一次加上5得到下一组的编号，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．

14、略

【分析】【解析】试题分析：首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例；得出100000户中居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100000得到的值，为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计．【解析】

该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：99000×故答案为5700考点：分层抽样问题【解析】【答案】570015、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝若△ABC的面积为则可知S=故答案为

考点：解三角形。

点评：解决的关键是根据三角形面积公式得到a的值，然后借助于余弦定理得到c的值，属于基础题。【解析】【答案】16、略

【分析】解：∵焦点F（c，0）到渐近线y=x的距离等于实半轴长．

∴=a，∴b=a；

∴e2==1+=2；

∴e=．

故答案为：．

由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b；c的关系，即可求出该双曲线的离心率．

本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．【解析】17、略

【分析】解：若对任意x1隆脢[鈭�1,3]x0隆脢[鈭�1,3]

都有f(x1)鈮�g(x0)

成立；

即f(x)

在区间[鈭�1,3]

上的最大值都小于或等于g(x)

的最大值；

隆脽g(x)=x3鈭�3x

隆脿g隆盲(x)=3x2鈭�3

令3x2鈭�3=0

解得x=隆脌1

当x隆脢(鈭�1,1)

时，g隆盲(x)<0g(x)

单调递减；

当x隆脢(1,3]

时，g隆盲(x)>0g(x)

单调递增，故当x=1

时，函数g(x)

取到极小值；

也是该区间的最小值g(1)=鈭�2

又g(鈭�1)=2g(3)=18

．

隆脿g(x)

在[鈭�1,3]

上的最大值为18

．

而f(x)=2x2+x鈭�k

为开口向上的抛物线，对称轴为x=鈭�14

故当x=3

时取最大值f(3)=21鈭�k

由21鈭�k鈮�18

解得k鈮�3

．

隆脿

实数k

的取值范围是k鈮�3

．

故答案为：k鈮�3

．

对任意x1隆脢[鈭�1,3]x0隆脢[鈭�1,3]

都有f(x1)鈮�g(x0)

成立，即f(x)

在区间[鈭�1,3]

上的最大值小于或等于g(x)

的最大值，利用导数求g(x)

的最大值，再由二次函数的最值求f(x)

的最大值即可．

本题为函数导数的综合应用，涉及函数的极值最值和恒成立问题，属中档题．【解析】k鈮�3

三、作图题(共6题，共12分)18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共9分)24、略

【分析】

（Ⅰ）∵r＝1，l＝2，∴S表面＝pr2＋prl＝3p；2分（Ⅱ）设圆锥的高为h，则h＝r＝1，∴小圆锥的高h¢＝小圆锥的底面半径r¢＝2分∴【解析】略【解析】【答案】25、略

【分析】

（1）利用古典概型的概率公式；利用列举法进行求解即可；

（2）利用几何概型的概率公式；求出对应的面积进行求解即可．

本题主要考查古典概型和几何概型概率的计算，利用列举法以及转化法是解决本题的关键．【解析】解：（1）设函数f（x）有零点为事件A；m，n都是从集合{1，2，3}中任取的数字，依题意得。

所有的基本事件为（1；1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），其中第一个数表示m的取值，第二个数表示n的取值，即基本事件总数为N=9

若函数f（x）=x2-4mx+4n2有零点则△=16m2-16m2≥0；等价于m≥n

事件A所含的基本事件为（1；1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）；

则M=6，P（A）==

（2）设在区间[0，4]内任取两个实数x，y，“x2+y2＞（m-n）2恒成立”为事件C则事件C等价于“x2+y2＞9”，（x，y）可以看成平面中的点；则全部结果所构成的区域Ω={（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}；

而事件B所构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞9；（x，y）∈Ω}．如图所示（阴影部分表示事件C）

SΩ=4×4=16，SC=16-

∴P（C）==1-π26、略

【分析】

寻找使不等式成立的充分条件；直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．

本题主要考查用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．【解析】证明：要证-≤-成立，需证+≥2

只需证≥

只需证n+1≥只需证（n+1）2≥n2+2n；

需证n2+2n+1≥n2+2n；只需证1≥0．

因为1≥0显然成立，所以，要证的不等式成立．五、综合题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．28、【解答】（1）设等差数列{an}的公差为d；则。

∵S6=51，

∴{#mathml#}12×6

{#/mathml#}×（a1+a6）=51；

∴a1+a6=17；

∴a2+a5=17，

∵a5=13，∴a2=4，

∴d=3，

∴an=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；

（2）bn={#mathml#}2an

{#/mathml#}=﹣2•8n﹣1，

∴数列{bn}的前n项和Sn={#mathml#}21-8n1-8=27

{#/mathml#}（8n﹣1）．【分析】【分析】（1）