2024年沪教版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高一数学上册月考试卷21考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下列说法中正确的是（）A.+++的值为B.同时掷两枚硬币，结果都是正面朝上的概率是C.的平方根是±2D.（+1）的倒数和值相等2、函数f（x）=ax2-（2+a）x-3在区间[1]是单调函数，则a的取值范围是（）

A.0＜a≤2

B.a≤2

C.a≥-2

D.a≥2

3、【题文】若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A.[]B.[3]C.[-1，]D.[3];4、一张长方形白纸，其厚度为a，面积为b，现将此纸对折（沿对边中点连线折叠）5次，这时纸的厚度和面积分别为（）A.a，32bB.32a，bC.16a，bD.16a，b5、已知全集为I，集合P，Q，R如图所示，则图中阴影部分可以表示为（）A.R∩∁I（P∪Q）B.R∩∁I（P∩Q）C.（R∩∁IP）∩QD.（R∩∁IQ）∩P6、已知扇形的面积为2cm2

扇形圆心角的弧度数是4

则扇形的周长为(

)cm

．A.2

B.4

C.6

D.8

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、已知集合则=________.8、【题文】已知⊙⊙坐标平面内的点满足：存在过点的无穷多对夹角为的直线和它们分别与⊙和⊙相交，且被⊙截得的弦长和被⊙截得的弦长相等．请你写出所有符合条件的点的坐标：___________．9、【题文】集合的元素个数有____个.10、【题文】如图，一个空间几何体的正视图、左视图均为边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于____。

11、已知全集U=R，集合则集合∁UA=______．12、已知tan娄脕=2tan娄脗=3

则tan(娄脕+娄脗)=

______．13、给出下列命题：垄脵

若a<b<0

则1a<1b垄脷

若a>0b>0

则a+b2鈮�ab鈮�aba+b垄脹

若a<b<0

则a2>ab>b2垄脺lg9?lg11<1垄脻

若a>b1a>1b

则a>0b<0垄脼

正数xy

满足1x+1y=1

则x+2y

的最小值为6.

其中正确命题的序号是______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)14、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．15、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．16、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．17、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．21、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、计算题(共2题，共4分)22、要使关于x的方程-=的解为负数，则m的取值范围是____．23、计算：．评卷人得分五、解答题(共3题，共18分)24、（本题满分13分）据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向600km处的热带风暴中心，正以每小时20km的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴中心的影响，影响多长时间？（精确到0.1h）25、某区高一年级的一次数学统考中；随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：

。分组频数频率（40，50]20.02（50.60]40.04（60，70]110.11（70，80]380.38（80，90]mn（90，100]110.11合计MN（1）求出表中m；n，M，N的值；

（2）若该区高一学生有5000人，试估计这次统考中该区高一学生的平均分数及分数在区间（60，90]内的人数．26、已函数f(x)

是定义在R

上的偶函数，且当x>0

时，函数的解析式为f(x)=2x鈭�1.

求：

(1)

求f(鈭�1)

的值；

(2)

求当x<0

时函数的解析式；

(3)

用定义证明f(x)

在(0,+隆脼)

内是减函数．评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)27、如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=；OP=2．

（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时；求点N移动的距离；

（2）求证：△OPN∽△PMN；

（3）写出y与x之间的关系式；

（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】【分析】根据有理数的混合运算法则、列表法求随机事件的概率、平方根的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析即可．【解析】【解答】解：A、原式=+++=（1-+-+-+-）=×=；故原答案错误；

B、同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=；原答案错误；

C、因为=2≠±2；故原答案错误；

D、因为，=-1；故原答案正确；

故选D．2、B【分析】

（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=2x-3为递增函数，则在区间[1]是单调函数，满足题意。

（2）当a＞0时，二次函数开口向上，对称轴x=

（i）若在区间[1]是单调递减函数，则解可得，0＜a≤2

（ii）若在区间[1]是单调递增函数，则则a的值不存在。

则0＜a≤2

（3）当a＜0时，函数开口向下，对称轴x=

（i）若在区间[1]是单调递减函数，则解可得a＜0

（ii）若在区间[1]是单调递增函数，则解可得a不存在。

则a＜0

综上可得；a≤2

故选B

【解析】【答案】由于a值不确定；此题要讨论，当a=0时，函数为一次函数，当a≠0时，函数为二次函数，此时分两种情况，当a＞0时，函数开口向上，先减后增，当a＜0时，函数开口向下，先增后减．

3、D【分析】【解析】

试题分析：由曲线可知其图像不以（2，3）为圆心，半径为2的半圆，故直线与之有公共点介于图中两直线之间，求得直线与半圆相切时直线过点（0，3）时有一个交点.故选D.

考点：1.曲线的图像；2.直线与圆相切.【解析】【答案】D4、B【分析】【解答】解：将报纸依次对折；报纸的厚度和面积也依次成等比数列；

公比分别为2和故对折5次后报纸的厚度为25a=32a；

报纸的面积×b=

故选：B．

【分析】将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，由此能够求出将报纸对折5次时的厚度和面积．5、A【分析】解：由图得：阴影部分所表示的为在集合R中但不在集合P和Q中的元素构成的部分；

故阴影部分所表示的集合可表示为R∩∁I（P∪Q）．

故选：A．

阴影部分所表示的为在集合R中但不在集合P和Q中的元素构成的部分．

本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．属基本知识的考查，难度不大．【解析】【答案】A6、C【分析】解：设扇形的半径为R

则12R2娄脕=2

隆脿R2=1隆脿R=1cm

隆脿

扇形的周长为2R+娄脕?R=2+4=6cm

．

故选C

根据扇形的面积公式建立等式关系；求出半径，以及弧长公式求出弧长，再根据扇形的周长等于2

个半径加弧长即可求出周长．

本题主要考查了扇形的面积公式，以及扇形的周长和弧长等有关基础知识，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【解析】

因为则=【解析】【答案】（2，3）8、略

【分析】【解析】解：因为设P的坐标（m，n），直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，就是圆C1到直线l1的距离等于圆C2到直线l2的距离,可以解得m,n的关系式，进而分析满足题意的坐标值有【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】210、略

【分析】【解析】其空间几何体为三棱柱易得答案【解析】【答案】11、略

【分析】解：={x|-2＜x＜0}；

则∁UA={x|x≥0或x≤-2}；

故答案为：{x|x≥0或x≤-2}

求出集合的等价条件；结合补集的定义进行求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，先求出集合A，根据补集定义进行求解是解决本题的关键．【解析】{x|x≥0或x≤-2}12、略

【分析】解：隆脽tan娄脕=2tan娄脗=3

隆脿tan(娄脕+娄脗)=tan娄脕+tan娄脗1鈭�tan伪tan尾=2+31鈭�2脳3=鈭�1

．

故答案为：鈭�1

．

利用两角和的正切公式；即可求得答案．

本题考查两角和的正切，是基础题．【解析】鈭�1

13、略

【分析】解：垄脵

若a<b<0

则1a>1b

故垄脵

错误；

垄脷

若a>0b>0

则a+b2鈮�ab(

当且仅当a=b

时取等号)

又ab鈭�aba+b=ab(1鈭�aba+b)鈮�ab(1鈭�ab2ab)=12ab>0鈮�0

所以ab鈮�aba+b

综上，a+b2鈮�ab鈮�aba+b

故垄脷

正确；

垄脹

若a<b<0

则a2>ab>0ab>b2>0

因此，a2>ab>b2

故垄脹

正确；

垄脺lg9?lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<(lg1002)2=1

故垄脺

正确；

垄脻

若a>b1a>1b?1a鈭�1b>0?b鈭�aab>0?a鈭�bab<0

则ab<0

所以a>0b<0

故垄脻

正确；

垄脼

正数xy

满足1x+1y=1

则x+2y=(x+2y)(1x+1y)=1+2+2yx+xy鈮�3+22

故其最小值为3+22

故垄脼

错误．

综上所述；正确命题的序号是：垄脷垄脹垄脺垄脻

故答案为：垄脷垄脹垄脺垄脻

．

利用不等式的性质与基本不等式对垄脵垄脷垄脹垄脺垄脻垄脼

逐项判断即可．

本题考查命题的真假判断与应用，突出考查不等式的性质与基本不等式的应用，属于中档题．【解析】垄脷垄脹垄脺垄脻

三、证明题(共8题，共16分)14、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．15、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．16、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．17、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．21、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、计算题(共2题，共4分)22、略

【分析】【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是负数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解析】【解答】解：去分母得：x2-1-x2-2x=m

即-2x-1=m

解得x=

根据题意得：＜0

解得：m＞-1

∵x+2≠0；x-1≠0

∴x≠-2；x≠1；

即≠-2，≠1

∴m≠±3；

故答案是：m＞-1且m≠3．23、略

【分析】【分析】求出=2，sin45°=，（3-π）0=1，=4，代入求出即可．【解析】【解答】解：原式=2-4×+1+4；

=2-2+1+4；

=5．五、解答题(共3题，共18分)24、略

【分析】【解析】试题分析：以码头为原点正东方向为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，记现在热带风暴中心的位置为点小时后热带风暴到达点位置。在中，2分根据余弦定理，得整理，得6分解之，得10分12分答:从现在起小时后，该码头将受到热带风暴中心的影响，影响小时.13分考点：本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理和解三角形解决实际应用问题，考查学生由实际问题向数学问题转化的能力和运算求解能力.【解析】【答案】从现在起小时后，该码头将受到热带风暴中心的影响，影响小时25、略

【分析】

（1）根据频率；频数与样本容量的关系；计算M、m、n与N的值；

（2）计算平均数与分数在区间（60；90]内的人数即可．

本题考查了频率分布表的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题目．【解析】解：（1）因为=0.02；

所以M=100；

从而m=100-（2+4+11+38+11）=34；

∴n==0.34；

频率和N=1；

（2）平均分约为。

45×0.02+55×0.04+65×0.11+75×0.38+85×0.34+95×0.11=78.1

∴该地区高一同学分数在区间（60；90]内的人数为。

5000×（0.11+0.38+0.34）=4150（人）．26、略

【分析】

(1)

由函数f(x)

是定义在R

上的偶函数；得到f(鈭�1)=f(1)

由此能求出结果．

(2)

由函数f(x)

是定义在R

上的偶函数，且当x>0

时，函数的解析式为f(x)=2x鈭�1

得到当x<0

时，f(x)=2鈭�x鈭�1

由此能求出当x<0

时；函数的解析式．

(3)

当x>0

时，函数的解析式为f(x)=2x鈭�1

在(0,+隆脼)

内任取x1x2

令x1<x2

推导出f(x1)鈭�f(x2)>0

由此能证明f(x)

在(0,+隆脼)

内是减函数．

本题考查函数值的求法，考查函数的表达式的求法，考查函数是减函数的证明，考查函数的单调性、奇偶性等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性、单调性的合理运用．【解析】解：(1)隆脽

函数f(x)

是定义在R

上的偶函数；

且当x>0

时，函数的解析式为f(x)=2x鈭�1

隆脿f(鈭�1)=f(1)=21鈭�1=1

．