中考：数学矩形专项突破训练讲义

备战中考：数学矩形专项突破训练讲义

二」知识梳理

考点一：矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.如图，在Z7ABCD中，如果NA=90°,那

么QBCD就是矩形。

考点二：矩形的性质

1：矩形的四个角都是直角

几何语言：如图，•・•四边形ABCD是矩形,

二NDAB二NABC二NBCD=/CDA=90°

2：矩形的对角线相等

几何语言：如图，•・•四边形ABCD是矩形

AAC=BD

考点三：矩形的判定方法

1：有一个角是直角的平行四边形是矩形（用定义判定）

几何语言：如图，・.・NBAD=90°,四边形ABCD为平行四边形，「.OABCD是矩形。

2：对角线相等的平行四边形是矩形。

几何语言：如图，・・・AC=BD,四边形ABCD为平行四边形，・・・GBCD是矩形。

3：有三个角是直角的四边形是矩形

----

几何涪言：如图，NBAD二NABONDCB=90°,四边形ABCD是矩形。

技巧归纳:

。）矩形首先是一个平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，上述两条性质是它

所具有的特殊性质。

屹）矩形的性质是证明线段相等或倍分、角相等以及线段平行、垂直的重要依据。

13）由于矩形的角都是直角，故常把其相关问题转化为直角三角形的问题来解决。

[4）矩形的两条对角线将矩形分割成4个等腰三角形，所以也常用等腰三角形的性质解决

问题。

考点四：直角三角形的一条重要性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

K

J几何语言：如图，在RlZ^ABC中，BD是斜边AC上的中线，「.BD=l/2AC

题型一：矩形的性质问题（角度、面积、线段）

1.（2021•陕西陇县•八年级期中）如图，在矩形中，AC.8。相交于点。4E平分鲂交8c于点

E,若0c4^=15。，则（38OE等于（）

AD

A.52°B.60°C.65°D.75°

2.（2021•上海•八年级期中）如图，矩形48CQ的对角线AC,8。相交于点O,点尸是力。边上的一个动点,

过点尸分别作PE1/C于点E，PF工BD千点、F.若48=6,8c=8,则尸石+PF的值为（）

A.10B.9.6C.4.8D.2.4

3.（2022・全国•八年级）如图，点尸是矩形43co的对角线力C上一点，过点夕作以词8C,分别交力从CD

于E、尸，连接尸3、PD.若AE=2,PF=6,则图中阴影部分的面积为（

题型二：矩形求坐标系中的坐标问题

4.（2021•河南镇平•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形4。。沿直线/E折叠，折叠后顶点

。恰好落在边OC上的点尸处.若点。的坐标为。0,8）,则点E的坐标为（）

A.(10,3)B.(10,5)C.(6,3)D.(4,3)

5.（2021•江苏•苏州市振华中学校八年级期末）将矩形O/BC如图放置，O为坐标原点，若点、A（-1,2）,

7

点5的纵坐标是;，则点C的坐标是（）

3,3、

A.(4,2)B.(3,—)D.(2,-)

22

6.（2021•宁夏•银川市第三中学八年级期中）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与

原点重合，点A（・l,2）,将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A,经过第二次翻

滚点A对应点记为人...依此类推，经过5次翻滚后点A对应点儿的坐标为（）

9

A

A.1.5B.2C.2.5D.5

11.（2021•江苏徐州•八年级期中）如图，在团48c中，加=60。，BIM4C,垂足为O,CE^AB,垂足为E,O

为6C的中点，连接。。、OE,则皿0£的度数为（）

A.40°B.45°C.60°D.65°

12.（2021•江苏崇川•八年级期末）如图，四边形48co是菱形，对角线ZC,BO交于点O,E是边40的中

点，过点E作班曲。，EG^AC,点EG为垂足，若NC=10,BD=24,则尸G的长为（）

题型四：矩形的判定问题

13.（2022・湖南♦长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）下列四个命题中，正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.两组对边分别相等的四边形是矩形D.四个角都相等的四边形是矩形

14.（2021•北京市第十七中学八年级期中）下列关于oABCD的叙述，正确的是（）

A.若AC=BD,则oABCO是矩形B.若AB=AD,则oABCO是正方形

C.若AB上BC,贝必44。>是菱形D.若4C_LB£>,则oABCO是正方形

15.（2021•重庆市江津第五中学校八年级期中）如图，已知四边形N8CO是平行四边形，下列结论中不正确

的是（）

A.当48=8。时，它是菱形B.当力双。时，它是菱形

C.当阳8c=90。时，它是矩形D.当时，它是正方形

题型六：矩形的性质和判定综合性问题

16.（2022•湖南•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）如图，四边形力8。>中，AD//BC,

NA=N£>=90°,点七是40的中点，连接将a48七沿8E折叠后得到［3G3E,且点G在四边形力8co内

部，延长8G交0c于点尸，连接石户.

⑴求证：四边形是矩形；

⑵求证：GF=DF；

（3）若点48=6,BC=8,求。尸的长.

17.（2020广东•深圳中学八年级期中）如图，平行四边形为BC。中，点E为8C中点，AD=2ABt连接力£、

DE,F、，分别为力上、。七的中点.

（1）求证：b与四互相平分；

（2）若力8=25,DE=40,求Cf的长.

A

18.（2021•湖北江汉•八年级期中）如图，四边形488中，AB^CD,0C=11D°.E为8c的中点，直线尸G

经过点E,0G3尸G于点G,8/词向G于点尺

（1）如图1,当助防=70°时，求证：DG=BF；

（2）如图2,当鲂加^70。时，若BC=DC,DG=BF,请直接写出班所的度数；

（3）当。G-B/的值最大时，直接写出站所的度数.

一、单选题

19.（2022・全国•八年级）能够判断一个四边形是矩形的条件是（）

A.对角线相等B.对角线垂直

C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等

20.（2022•辽宁本溪•八年级期末）如图，长方形048。中，点4在y轴上，点C在x轴上.OA=BC=4t

AB=OC=S.点。在边45上，点E在边。。上，将长方形沿直线。E折叠，使点B与点。重合.则点O

A.（4,4）B.（5,4）C.（3,4）D.（6,4）

21.（2022・全国•八年级）如图，在肋△他C中，氏1。5=90。，力8=10,8是边上的中线，则CO的长

是（）

A.20B.10C.5D.2

22.（2022・河北•石家庄市第四十二中学八年级期中）如图，矩形纸片4BCO,〃为AO边的中点，将纸片沿

BM、CW折叠，使力点落在A处，。点落在R处，若N3MC=U0。，则N1是（）

23.（2022•江苏•八年级）如图，矩形力88中，AB=3,点、E、尸分别在边力B、8上，点。是即与

的交点，且点。是线段族的中点，沿力尸、CE折叠，使力力、C8都落在4C上，且。、6恰与点O重合.下

列结论：①NOC4=30。；②点E是48的中点；③四边形力EC尸是菱形；④力。的长是其中正确的

结论有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

24.（2022•全国•八年级）如图，在长方形4BCZ）中，JB=10cm,点E在线段4。上，且4E=6cm,动点尸

在线段48上，从点彳出发以2cm/s的速度向点8运动，同时点0在线段8c上.以vcm/s的速度由点5向

点C运动，当国以尸与胪8。全等时，u的值为（）

—6-12

C.4或《D.2或1

工一高分窦破

一：选择题

25.（2021・全国•八年级专题练习）如图，四边形48C。为平行四边形，延长4。到E,DE=ADf连接E8,

EC,DB,添加一个条件，不能使四边形D8CE成为矩形的是（）

A"------------------------"R

A.AB=BEB.DEWCC.0JDB=9OOD.CEWE

26.（2021・天津津南•八年级期末）如图，把•张长方形纸片/BCO沿对角线力。折叠，点8的对应点为点长,

4"与。C相交于点瓦则下列结论正确的是（）

B・

A.WAB'^CAB'B.^ACD=WCD

C.AD=AED.AE=CE

27.（2021•江苏梁溪•八年级期中）如图，在EL44C中，团山C为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为

♦C的中点，若05=40。，则0£7小•的度数为（）

A.90°B.95°C.100°D.105°

28.（2021•四川•达州市通川区第八中学八年级期中）如图，在中,48=6,AC=8,8c=10,P为

边3c上一动点，于E,PFLAC于尸，则所的最小值为（）

A.5B.—C.4D.3

5

29.（2021•湖南绥宁•八年级期末）如图所示，矩形488中，4E平分的。交BC于£,团。E=15。，则下

面的结论：①团OQC是等边三角形；@）BC=2AB；®S^AOE=SACOE,其中正确结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

30.（2021•江西吉安•八年级期末）长方形48CO中，点E是力。的中点，0E3C的平分线交C。于点尸，将

△£>£尸沿"•折叠，点。恰好落在8E上的点M处，分别延长BC,EF交于点N.下列四个结论：①OF=

CFx②ABEN是正三角形；③8/皿硒；④S〉BEF=3S〉DEF,其中正确的是（）

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

31.（2021•江苏•泰兴市实验初级中学八年级阶段练习）如图，在8c中，mC8=90。，点E是/。边上

的动点（点E与点。、力不重合），设点”为线段BE的中点，过点£作七曲8,垂足为点儿连接MC、

MF.若（3C84=5（T,则在点f运动过程中E1CA/V的人小为（)

C.130°D.发生变化，无法确定

32.（2021・浙江温岭•八年级期末）如图有两张等宽的矩形纸片，矩形瓦6”不动，将矩形A8CD按如下方

式缠绕：如图所示，先将点。与点E重合，再先后沿尸G、E”对折，点A、点C所在的相邻两边不重叠、

无空隙，最后点。刚好与点G重合，则图中两张纸片的长度之比AD:E”=（）

A.3:2B.y/2-AC.75:72D.7:5

二、填空题

33.（2022・上海松江•八年级期末）如图，在Ra48c中，配=90。，8。平分豳8C,力0=4,CD=2,那么酎=

34.（2022•贵州毕节•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形力08C的边。8、。力分别在x轴、y

轴上，点。在边3C上，将该长方形沿4。折叠，点C恰好落在边。8上的E处.若点A（0,8）,点8（10,0）,

则点。的坐标是

35.（2022•重庆一中八年级期末）如图，将长方形48CQ沿力E,E产翻折使其8、C重合于点H,点。落在

点G的位置，HE与AD交于点、P,连接叱，当A8=6,6C=18时，则P到〃尸的距离是.

G

36.（2022•江苏•南京市第一中学八年级期末）如图，在长方形川?C。中，AB=3t8C=4,点七是BC边上

一点，连接力E,把D8沿4E折叠，使点8落在点？处.当△CE8为直角三角形时，8E的长为.

37.（2022・陕西榆林•八年级期末）如图，圆柱形容器高为0.8m,底面周长为d.8m,在容器内壁离底部0.1m

的点3处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，若容器壁厚忽略不计，则壁虎捕捉蚊子的

38.（2022•江苏•八年级专题练习）已知如图，在矩形488中，点反尸分别是力。、BC上一点,将四边形

487花沿着E尸折叠，点8恰好与点。重合，点N与点彳重合，的的角平分线交E尸于点O,若4£=5,

BF=13,则。。=.

A'

39.（2021•湖北咸丰•八年级期末）如图，点P是矩形44c。的对角线4c上一点，过点尸作分别

交AB,CD于点、E、F,连接尸仄PD,若4七=2,PF=9,则图中阴影面积为；

三、解答题

40.（2022•上海浦东新•八年级期末）阳AABC中，ZACB=90。，点0、E分别为边N8、8C上的点，且CD=C4,

DE上AB,联结4E交C。与点凡点/是力石的中点，联结CM并延长与48交于点

（1）点尸是8中点时，求证：AE1CD：

⑵求证：MH2+HD2=AM2

41.（2022・全国•八年级）如图，在平行四边形48co中，七为8C的中点，连接4E并延长交0C的延长线

于点尸，连接8凡AC,且/£>=/扛

（1）判断四边形48尸。的形状并证明；

（2）若力8=3,酎80=60°,求E尸的长.

42.（2022•吉林•长春外国语学校八年级期末）如图所示，折叠矩形力88的一边ZO,使点。落在8c边上

的点尸处，已知力8=6,8010,

（1）求B尸的长;

（2）求的面积.

43.（2021・重庆市实验学校八年级期中）如图，在矩形48co中，对角线力C、8。交于点O,4E平分的1。,

交BC于点、E,交BD于点、F.已知团C4E=15。，AB=2.

⑴求矩形ABC。的面积;

⑵求证：OE=FE.

44.（2021•浙江诸暨•八年级期中）在H曲8c中，a4c8=90。，AC=BC,点。为48边上一点，过点。作

DE^AB,交BC于点E,连接力E,取力E的中点P,连接OP,CP.

（1）观察猜想：如图（1）,OP与CP之间的数量关系是,OP与CP之间的位置关系是.

（2）类比探究：将图（1）中的鲂。后绕点8逆时针旋转45。，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就

图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）问题解决：若BC=3BD=36,将图（D中的骷OE绕点8在平面内自由旋转，当8加8时，

请直接写出线段CP的长.

45.（2021•广东清新•八年级期中）如图，在长方形48co中，AB=3,8c=4,点E是8C边上一点，连接

AE,将M沿直线力七折叠，使点5落在点5'处.

图I

（1）如图1,当点E与点。重合时,CB'与4D交于点F,求证：E4=FC；

（2）如图2,当点E不与点C重合,且点"在对角线NC上时，求CE的长

46.（2022•吉林・长春市第四十五中学八年级期末）如图，在Rt△力BC中，mC3=90°,08=30°,48=20.点

P从点8出发，以每秒26个单位长度的速度沿8C向终点。运动，同时点时从点力出发，以每秒4个单

位的速度沿向终点5运动，过点尸作尸刎8于点0,连结尸。，以尸。、M0为邻边作矩形尸QMM当

点尸运动到终点时，整个运动停止，设矩形尸0MN与Rt/UBC重叠部分图形的面积为S（S>0）,点P的运

动时间为，秒.

（1）①8C的长为；

②用含/的代数式表示线段42的长为;

（2）当0M的长度为10时，求，的值；

（3）求S与/的函数关系式；

（4）当过点。和点N的直线垂直于即ZU4C的一边时，直接写出f的值.

47.（2021•吉林・长春市第八十七中学八年级阶段练习）如图，矩形A8C。中，48=12cm,BC=6cm,动点

「以2cm/s的速度从点A出发沿折线从笈-3C向终点C运动，动点。以2cm/s的速度从点D开始沿折线

D4-.4B向终点8运动，如果点尸、。同时出发，设点尸运动的时间，秒，ACPQ的面积为S.

（1）当1=秒时，点。到达点A,当，=时，点。到达点B.

（2）当।为何值时，AOAP为等腰直角三角形?

（3）表示ACP。的面积S（可用含有，的代数式表示），请直接写出结果.

1.D

【解析】

【分析】

根据矩形性质，得NR4D=NA6C=90。，AO=I3Oi根据角平分线性质，推导得踮=M；通过证明AABO

是等边三角形，得次9=40=48,再根据三角形内角和、等腰三角形性质计算，即可得到答案.

【详解】

13矩形力88

0ZBAD=ZABC=9O°,AO=BO

平分曲。交BC干点E

0NBAE=Z.DAE=-NBAD=45°,

2

0ZA£B=9O°-ZBA£=45°

⑦ZBAE=ZAEB

\hBE=AB

00C/E=15。

^ZBAO=ZBAE+ZCAE=60°,

^AO=BO

^ZABO=ZBAO=60°

aZAOB=180°-ZABO-Z.BAO=60°,NOBE=90°-ZABO=30°

田是等边三角形

^BO=AO=AB

©BO=BE

=NBEO=----------------

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形、三角形、角平分线的知识：解题的关键是熟练掌握矩形、角平分线、三角形内角和、等

腰三角形、等边三角形的性质，从而完成求解.

2.C

【解析】

【分析】

首先连接0P.由矩形488的两边力8=6,BC=8,可求得O4=OQ=5,然后由S△力。0=52^。尸+5△。0/）求

得答案.

【详解】

解：连接。尸，

BT------------------------飞

用矩形川5CO的两边46=6,50=8,

0s也彩48CD=AB・BC=48,OA=OC,OB-OD,AC=BD,AC=(⑷??+8c?=10,

^SM0D=>S除影ABCD=12,OA=OD=5,

SSAAOD=SAAOP+SADOP=gOA・PE+gOD・PF=gOA(PE+PF)=yx5x(PE+PF)=12,

故选：C.

【点睛】

此题考查了矩形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

3.B

【解析】

【分析】

由矩形的性质可证明&^=5皿〉即可求解.

【详解】

解：匕PA/_LAD于M,交BC于N.

则有四边形AEPM,四边形OEPM,四边形CFPN,四边形8ERV都是矩形,

==

SiADC=S4ABe,SMMP=SMEP»SAPBE~S^ENfSAPFD^hPDM，^SPFC^&PCN»

,MP=AE=2

•'•SA[)FF=SSPBE=]x2x6=6,

.'.5'pj=6+6=12,

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明5皿=5”中.

4.A

【解析】

【分析】

根据折叠的性质得到的="，所以在直角胡中，利用勾股定理求得OF=6,然后设EC=x,则EF=DE=8・x,

CF=10-6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.

【详解】

解：团四边形40co为矩形，。的坐标为(10,8),

^AD-OC-lQyDC=AO=8,

亩矩形沿45i折叠，使。落在8C上的点尸处，

(L4Z)=4尸=10,DE=EF,

在R危40尸中,。尸=JA尸2_AO?=6,

MC=10-6=4,

设EC=x,则OE=EF=8-x,

在R应CEF中,£尸=七。2+尸02,

即(87尸=/+42,

解得m3,即EC的长为3,

团点E的坐标为(10,3).

故选择4

【点睛】

本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造

方程是解题关键.

5.B

【解析】

【分析】

首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM==1,MO

=3.进而得出答案.

【详解】

如图，过点4作力降轴于点E,过点3作8心轴于点尸，过点4作4尸于点N,

过点C作CM取轴于点M.

雨£4。+的O£=90°,a4OE+0Moe=90°,

mEAO^COM,

又加£0=120/0=90°,

^AEO^OMC,

OEAE

13------=------

CMOMf

酿84泅43042=90°,13E4O+团CUN=90°,

豳8/论瓯40=团COM,

在AJ8N和△OCM中，

ZBNA=ZCMO

«/BAN=NCOM,

AB=OC

mABmOCM(AAS),

DRN=CM.

7

回点4(-1,2),点8的纵坐标是

3

aBN=一,

2

3

0CM=-,

2

1_2

^~0M,

2

(W0=3,

3

团点。的坐标是：(3,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直

角三角形，正确得出CM的长是解题的关诞.

6.D

【解析】

【分析】

根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形即可得到经过5次翻滚后点A对应点As的坐标，从而解答本

题.

【详解】

解：由题意画出如下图：

由题意可得上图，经过5次翻滚后点A对应点As的坐标如上图所示，故As的坐标为：(8,1).

故选：D.

【点睛】

木题借助矩形考查平面直角坐标系中点的翻折变化问题，解题的关键是画出相应的图形，找出••般的规律

进而求解.

7.B

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得8G=A5=6,AE=EG,NBGE=ZA,再由矩形的性质可得%)=10,从而得到

DG=BD-BG=4,然后设AE=x,则EG=x,DE=8-x,在RADEG中，由勾股定理，即可求解.

【详解】

解：根据题意得：BG=AB=6,AE=EG,NBGE=ZA,

在矩形纸片A8CD中，ZBGE=A=90°,

0BD=VAB2+AD2=yj62+82=10，

⑦DG=BD—BG=4,

设AE=x,则EG=x,£>E=8-x,

在.RlADEG中，DG2+EG2=DE2,

0X2+42=(8-X)2,解得：x=3,

即AE=3.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠图形的性质是解题的关键.

8.C

【解析】

【分析】

由4SN证明团G4W定GM(4%)，得出GM=Gr，AF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,因此OP=8-x,CF=x+2,在

R/0QFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【详解】

解：设8M中，

由折叠的性质得：团七=助=90°=114,

ZA=ZF

在EIG/M和国GE尸中，，AG=GE,

ZAGM=ZEGF

mGAk^BGEF(力SZ),

EGM=GR

0/iF=ME=BM=x,EF=AM=6-x,

(2DF=8-x,CF=8-(6-x)=x+2,

在R危O尸。中，由勾股定理得：(x+2)2=(8-x)2+62,

解得：x=24g，

24

团BM=—.

5

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠有性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质

和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

9.C

【解析】

【分析】

先根据S△皿=22.5,48=6求得OE=7.5,再根据折叠的性质得到NCBZ)=NEBO,而NCBD=NBDE,则

NBD=NEDB,得比=£0=7.5,由此利用勾股定理得到AE=4.5,进而即可求得答案.

【详解】

解：,・四边形A8c。是矩形，

.\ZA=90°,BC=AD,

(3S△的=(OEA8=22.5，

又酎3=6,

OS△谢=g力E6=22.5，

解得：DE=7.5,

・•・将该矩形沿对角线8。折叠，

:"CBD=/EBD,

■.•四边形A8CO是矩形,

..AD,IBC,

\?CBD?RDE,

:.ZEBD=ZEDB,

BE=DE=7.5,

但在RtAABE中，AE=\lBE2-AB2=4.5，

^BC=AD=AE+DE=\2t

故选：C.

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个羽形全等，即对应线段相等，对应角相等.也考查了矩形的性质，

等腰三角形的判定与勾股定理的应用，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键.

10.C

【解析】

【分析】

先利用勾股定理可得48=5,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得.

【详解】

解：••在AABC中，ZAC8=90。，AC=4,6C=3,

:.AB=y/AC2+BC2=5>

•・•点。是AB的中点，

CD=—AB=2.5,

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半是解题关键.

11.C

【解析】

【分析】

根据垂直的定义得到根据三角形的内角和定理得到a48£>=0JCE=3O°,根据

直角三角形的性质得到弓8C,OD=OB=*BC,根据三角形的外角性质和平角的定义即可得到

团即尸=60°.

【详解】

证明：0CH145,BIM4C,

^AEC=BBEC=^ADB=BBDC=90°,

皿=60°,

^ABD=BACE=30°,

^DBC+BECB=18Q°-^A-BABD-^ACE=6Q°,

团点。是5c的中点，

^OE=OC=-BC,OD=OB=、BC,

22

^OEC=WCE,WBD=BODB,OE=OD,

00BO£=0O£C+(3OC£=20OC£,

^COD=MBD+^\ODB=2^OBD.

005OE+0COD=20OC£+20(95D=2X6OO=12O\

团£0>OE=6O°.

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是斜

边的一半是解题的关键.

12.B

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出。4=OC=5,08=07)=12,AC^BD,根据勾股定理求出4)=13,由直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半求出。£=6.5,证出四边形EFOG是矩形，得到EO=G尸即可得出答案.

【详解】

解：连接。/，

用四边形/BCO是菱形，

004=。。=5,OB=OD=12,AC^BD,

在我危JOO中，AD=JAO2+DO2=13,

又跖是边力。的中点，

0Of=-^D=-xl3=6.5,

22

^EF^BD,EG^AC,AC^BD,

00£TO=9O°,0EGO=9O°,(3GOF=90°,

团四边形EFOG为矩形，

^FG=OE=6.5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和

矩形的性质是解题的关键.

13.D

【解析】

【分析】

根据矩形的判定定理判断即可.

【详解】

解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；

B.有一个角是直角的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意：

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，不符合题意：

D,四个角都相等的四边形是矩形，原选项说法正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查矩形的判定定理，熟记矩形的判定定理是解题关键.

14.A

【解析】

【分析】

由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、6、0错误，C正确；即可得出结

论.

【详解】

解：“ABC。中，AC=BD,

•・四边形A8C。是矩形，选项A符合题意；

•.oABS中，AB=AD,

••・四边形48CO是菱形，不一定是正方形，选项8不符合题意；

•.oABCD中，AB1BC,

，四边形A3CO是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；

•••oABCQ中，ACLBD,

•・四边形A8CD是菱形，选项。不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、

菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键.

15.D

【解析】

【分析】

根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可.

【详解】

解：A.当48=8。时，它是菱形，正确，不符合题意；

B.当4C瓯时，它是菱形，正确，不符合题意；

C.当山18C=90。时，它是矩形，正确，不符合题意：

D.当4。=8。时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断.

16.⑴证明见解析；

⑵证明见解析；

Q

(3)^=-

【解析】

【分析】

（1）利用平行线的性质可得窗c=9。。，再杈据三个角是直角的四边形是矩形即可判定；

（2）根据折叠的性质和中点的定义得出EG=ED,再用HL定理证明R座G死IRQ瓦W即可;

（3）利用O9分别表示8尸和尸C,再在R顾。厂中利用勾股定理求解即可.

⑴

证明：^AD//BC,

00D+G1C=18OO,

0ZA=Z£）=9O°,

0ZC=Z4=ZD=90°,

回四边形片8c。为矩形；

（2）

证明：团将创8后沿8E折叠后得到回G8E,

瓯48旅团G8E,

（WGE=0/tAE=GE,

0a4=20=90°,

B0fG产=瓯=90。，

圆点E是4。的中点，

^EA=ED,

站G=ED,

在RKLEGF和RtmEDF中，

{EF=EF

[EG=EDf

^RBEGF\hRBEDF（HL）；

0GF=DF；

⑶

解：国四边形48CZ）为矩形，^ABE^GBE,

aaC=90°,BG=CD=AB=6,

0GF=DF；

⑦BF=BG+GF=6+DF,CF=DC-DF=6-DF,

13在用团4。尸中，根据勾股定理，

BF2-CF2+BC1，

即（6+DF）2=（6-DF）2+82,

解得

Q

即DF=1.

【点睛】

本题考查矩形的性质和判定，全等三角形的判定定理，折叠的性质，勾股定理等.（1）掌握矩形的判定定

理是解题关键；（2）能结合重点和折叠的性质得出是解题关键；（3）中能利用。户正确表示MEIBC/

中，B尸和。尸的长度是解题关键.

17.（1）证明见解析；（2）CF=10V13

【解析】

【分析】

（1）连接切，先证明是△AED的中位线，得到户H〃AD,且再由在平行四边形49CO

中，七为BC中点，得到AD=8C=2EC,AO〃EC,则切〃EC,且产H=EC,由此即可证明四边形"HC

是平行四边形，得到与可互相平分；

（2）作OP_LEC于P,HG工BC于G,FNLBC^N,连接，尸，先利用勾股定理求出CP=7,则

DP=《DC?-C产=24,EP=EC+CP=25+7=32,再证明四边形FNG"是矩形，得到"，==NG,尸N=〃G,

则*=CG,然后根据，是OE的中点，BDPE=90°,得至lJHP=EH=goE=20,则EG=；EP=16,

FN=HG=\IEH2-EG2=12»由此求解即可.

【详解】

解：（1）如图，连接尸H,

田户、，分别为4E、的中点，

团尸〃是△血）的中位线，

^FH//AD,且4）=2"/,

又困在平行四边形488中，E为BC中点,

^AD=BC=2EC,AD//EC,

^FH//EC,且切=EC,

团四边形是平行四边形,

。。产与互相平分；

(2)如图，作。P_LEC于P,HG上BC于G,FNiBC^N,连接HP

DDP_BC,

^ED2-EP2=DC2-CP\

0ED=40»AB=CD=CE=—AD=25,

2

04O2-(25+CP)2=252-CP2,

acp=7,

DP=4DC2-CP2=24»EP=EC+C尸=25+7=32，

自HGLBC,FmBC,FH^BC,

^FNG=WGN=90°,

^1IFN=13Q9-^FNG=9Q°,

ia四边形产NG〃是矩形，

QFH==NG,FN=HG,

13FH=EC=NG,

SNE=CG,

0/7是QE的中点，皿力E=90。，

SHP=EH=-DE=20,

2

又曲70EP,

(3EG」EP=16,

2

⑦FN=HG=JEH?-EG?=\2

中EN=CG=EC-EG=2576=9,

国NC=EC+EN=25+9=34,

在.RT4FNC中,FC=ylFN2+NC2=V122+342=lOx/13»

0CF=1OV13；

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关

键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件.

18.（1）证明见解析；（2）^BEF=35°；（3）鲂E尸=20°.

【解析】

【分析】

（1）过C点作CH0FG于点尸，证明阴尸况团C77E,可得CH=BF,再证明四边形C//G。为矩形，即可得

GD=CH=BF；

（2）过。点作CM2G于点E证明回血GW,CM=DMf再结合8C=DC,可得EC=MC,结合等腰三

角形的性质即可得出相应角度；

（3）结合（1）（2）中的结论，根据运动轨迹分析可知当。G2CQ时，0DG—8/三OG・GM=M。4co，且当G

在OC的延长线上时等号成立，由此可得结论.

【详解】

解：（1）过C点作CH0FG于点£

回CMFG,DGBFG,MZWG,

盟DGHW=㉒CHM司BFE=90°,

(2E为BC的中点，

Q5£=£C,

又跑BEF=%EH

^BFE^CHE(AAS)

国CH=BF,

酿BEF=70°

豳CEH=70。,

00C=11O°,

QFG//DC,

00C//F=IWCD=0OGH=0GDC=9OO,

目四边形CHGO为矩形，

©GD=CH=BF；

(2)如下图所示，过C点作C/J^FG于点F,

与(1)同理可证^DGH=BCHM=90°fBE=EC,

gG=BF,

⑦CH=DG,

又盟CME=M)MG,

00cHW00OGM

□BC=DC,

I3£，C=A/C,

00C=11O°,

00c£0=（3CME=35°,

005£F=aC£A/=35o；

（3）当OG<CQ时，DG-BF<CD,

当OGNCO时，如下图，过。点作CM3FG于点尸，过点。作CM2DG于",

I3PG0FG,CH^FG,CM^DG

00DOT=aC//G=0GWG=9O°,

^CH=GNft

由（1）得CH=BF,

^DG-BF=DG-GM二MD^CD,且当G在。C的延长线上时等号成立,

此时如下图，

05EF=（3CEG=（a5CD-0G=llO*,-9Oo=2O<>.

【点睛】

本题考查全等三角形综合，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等.能正确作出辅

助线，构造全等三角形是解决（1）（2）的关键；（3）中能正确分析运动轨迹是解题关键.

19.C

【解析】

略

20.C

【解析】

【分析】

设4Z)=x,在&詹040中，据勾股定理列方程求出x,即可求出点。的坐标.

【详解】

解：设由折叠的性质可知，0D=BD=8-xt

在Rt^OAD中,

0。42Mo2=。了，

042+^=(8-^)2,

取=3,

(37)(3,4),

故选C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.直角三角形

两条直角边的平方和等于斜边的平方.

21.C

【解析】

【分析】

由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CO的长.

【详解】

解：团在RhABC中，ZACB=90°,AB=10fCO是49边上的中线

:.CD=-AB=5

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

22.B

【解析】

【分析】

如图(见解析)，先根据折叠的性质可得N2=N3,N4=N5,再根据平角的定义可得N2+N5=70。，，从而可

得N3+N4=70°,然后根据角的和差即可得.

【详解】

解：如图，由折叠的性质得：N2=N3,N4=N5,

•••ZWC=110°,

.N2+N5=180°-NBMC=70°,

.\Z3+Z4=70°,

Zl=N8MC-(N3+N4)=110°-70°=4C°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键.

23.C

【解析】

【分析】

由四边形488是矩形，。是E尸的平分点C尸〃AE,可得。尸=。石，可知。是4C的平分点，可证“1O尸

⑦ACOE(SAS),OE=OFtAO=AO,可得ZAO尸=NCOE=90°,贝UAAOF团AAQE(SAS),可知

^DAF=Z.OAE=^OAF=ix90°=30°,则①正确；因为/=30°=NO4E,可得AE=2OE,由ABCE

-COE,所以OE=BE,则E是48的三等分点，则②错误；因为力C、M相互垂直平分，AE=AFt四

边形/EC"是菱形，则③正确；由OF=BE=；AB=1,NZM尸=30°可得”=2,由此可知4。=石故④

正确.

【详解】

解：根据题意得：OA=AD,OC=BC,

团四边形488是矩形，

0CF//AE,AD=BC,

：.OA=OC,

(30是EF的平分点，

^OF=OEt

□△AOFBACOE(SAS)f

^OE=OF,AO=AO,

□ZAOF=ZCOE=90°,

(3aA0产团AAOE(5/15),

0NDAF=ZOAE=ZOAF=-x90°=30°,

3

国①正确；

(aNDC4=NO4E=30°,

^AE=2OE,

-COE是由AECB翻折的，

忠△BCE^ACOE,

0OE=BE,

站是48的三等分点，

国②错误；

a4C、E"相互垂直平分，AE=AF,

0四边形是菱形，

(3③正确；

^DF=BE=-AB=\ZZMF=30°,用A尸=2,

3f

aAD=>/3,

团④正确，

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形性质和判定，直角三角形的特殊角的性质，熟练运用全等三角形的性质是解决本题的

关键.

24.D

【解析】

【分析】

根据题意可知当团以「与附80全等时，有两种情况：①当EAP4时，^APEmBQP,②当4P=BP时,

^AEPmBQP,分别按照全等三角形的性质及行程问题的基木数量关系求解即可.

【详解】

解：当岭尸与那8。全等时，有两种情况：

①当E4=尸8时，^APE^BQP(SAS\

^AB-lQcm,AE=6cm,

WP=AE-6cm,AP=4cm,

^BQ=AP=4cni；

①动点尸在线段48上，从点力出发以2cm/s的速度向点8运动，

团点尸和点。的运动时间为：4+2=2s,

前的值为：4+2=2c〃?/s；

②当AP=BP时，^AEP^BQP(SZS),

0/18=10。〃，AE=6cm,

^AP=BP=5cm,BQ=AE=6cm,

054-2=2.55,

02.5v=6,

12

0v=—.

5

故选：D.

【点睛】

本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质

及定理是解题的关键.

25.B

【解析】

【分析】

先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答.

【详解】

解：团四边形48CQ为平行四边形，

awasc,且/O=8C,

又酎D=DE,

且O£=8C,

团四边形BCED为平行四边形，

彳、1?1AB=BE,DE=ADt

皿龙1熊，

回口。8。£为矩形，故本选项不符合题意；

B、0DA0DC,

E0£M=9O0+0CDB>9OO,

(3四边形。4CE不能为矩