2023年四川自贡中考数学试卷

2023年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是(

)A.2023 B.−2023 C.12023 D.2.自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约110000人.人数110000用科学记数法表示为(

)A.1.1×104 B.11×104 C.3.如图中六棱柱的左视图是(

)A. B. C. D.4.如图，某人沿路线A→B→C→D行走，AB与CD方向相同，∠1=128°，则∠2=(

)A.52° B.118° C.128° D.138°5.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是(

)A.(3,−3) B.(−3,3) C.(3,3) D.(−3,−3)6.下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.7.下列说法正确的是(

)A.甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2=4B.某奖券的中奖率为1100，买100张奖券，一定会中奖1C.要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查D.x=3是不等式2(x−1)>3的解，这是一个必然事件8.如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA=41°，则∠ABC的度数是(

)A.41° B.45° C.49° D.59°9.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是(

)A.9 B.10 C.11 D.1210.如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是(

)A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米C.报亭到小亮家的距离是400米 D.小亮打羽毛球的时间是37分钟11.经过A(2−3b,m)，B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c(x为自变量A.10 B.12 C.13 D.1512.如图，分别经过原点O和点A(4,0)的动直线a，b夹角∠OBA=30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是(

)A.3+66 B.32 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.计算：7a2−4a14.请写出一个比23小的整数______．15.化简：x2−1x+1=16.端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是______．17.如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是______cm2．18.如图，直线y=−13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=−43x+2上的一动点，动点E(m,0)，F(m+3,0)，连接BE，DF，HD.当三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)计算：|−3|−(720.(本小题8.0分)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM=CN.求证：DM=BN．21.(本小题8.0分)某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车的载客量．22.(本小题8.0分)某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量(单位：本)数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．(1)补全学生课外读书数量条形统计图；(2)请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；(3)该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．23.(本小题10.0分)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2，AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．24.(本小题10.0分)如图，点A(2,4)在反比例函数y1=mx图象上.一次函数y2=kx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)请直接写出y1≥y225.(本小题12.0分)为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数.请直接写出α，β之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3)，量得KT≈5cm，TS≈2cm.求山高DF.(2≈1.41，结果精确到1(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米.已知杆高MN为1.626.(本小题14.0分)如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年四川省自贡市中考数学试卷答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵OA=OB，点A表示的数是2023，∴OB=2023，∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为：0−2023=−2023，故选：B．结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2.【答案】C

【解析】解：110000=1.1×10故选：C．利用科学记数法的法则解答即可．本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，熟练掌握科学记数法的法则是解题的关键．3.【答案】A

【解析】解：由题可得，六棱柱的左视图是两个相邻的长相等的长方形，如图：．故选：A．根据从左往右看水平放置的六棱柱，所得的图形进行判断即可．本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：从左往右看几何体所得的图形是左视图．4.【答案】C

【解析】解：由题意得，AB//CD，∴∠2=∠1=128°．故选：C．依据题意，AB与CD方向相同，可得AB//CD，从而可得解．本题主要考查了平行线的“两直线平行，内错角相等”性质，解题时需要熟练掌握，本题属于简单题．5.【答案】C

【解析】解：∵正方形的边长为3，∴DC=BC=3，∵点C在第一象限，∴C的坐标为(3,3)．故选：C．由正方形的性质可得DC=BC=3，而点C在第一象限，所以C的坐标为(3,3)．本题考查正方形的性质和坐标与图形的性质，求出DC、BC的长即可解答．6.【答案】B

【解析】解：图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选：B．根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．7.【答案】D

【解析】解：A、∵4<14，∴S甲2B、某奖券的中奖率为1100，则买100C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，故本选项不符合题意；D、不等式2(x−1)>3的解集是x>2.5，∴x=3是这个不等式的解，是必然事件，故本选项符合题意；故选：D．根据必然事件，随机事件，方差的意义，调查方式，分别进行判断即可．本题考查了必然事件，随机事件，方差，抽样调查，全面调查，掌握这些定义是解题的关键．8.【答案】C

【解析】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∵∠DBA=∠DCA=41°，∴∠ABC=90°−∠DBA=49°，故选：C．由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC=90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA=∠DCA，进而可计算∠ABC．本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．9.【答案】D

【解析】解：∵AB=CB，∠ACB=15°，∴∠ABC=180°−15°−15°=150°，设这个正多边形为正n边形，则(n−2)×180°n解得n=12，经检验n=12是原方程的解，即这个正多边形是正十二边形，故选：D．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ABC，再根据正多边形内角的嗯就是方法列方程求解即可．本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角的计算方法是解决问题的关键．10.【答案】D

【解析】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：(1.0−0.4)÷(45−37)=0.075(千米/分)=75(米/分)，故B选项不符合题意；C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37−7=30(分钟)，故D选项符合题意；故选：D．根据图象逐个分析即可．本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键．11.【答案】B

【解析】解：∵经过A(2−3b,m)，B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−∴2−3b+4b+c−12=−∴b=c+1，b2∴(c+1)∴(c−1)∴c−1=0，解得c=1，∴b=c+1=2，∴AB=|(4b+c−1)−(2−3b)|=|4b+c−1−2+3b|=|7b+c−3|=|7×2+1−3||14+1−3|=12，故选：B．根据二次函数的性质可知2−3b+4b+c−12=−b2×(−12)，再根据经过A(2−3b,m)，B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c(x为自变量)与x轴有交点，可知Δ=本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出b和c的值．12.【答案】A

【解析】解：作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO=2∠ABO=60°，TO=TA，∴△OAT是等边三角形，∵A(4,0)，∴TO=TA=TB=4，∵OK=KT，OM=MB，∴KM=1∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM∵△OTA是等边三角形，OK=KT，∴AK⊥OT，∴AK=∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM=过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML=∠AMK=90°，∴∠PMK=∠LMA，∵∠P=∠MLA=90°，∴△MPK∽△MLA，∴MP设PK=x，PM=y，则有ML=2y∴2y=解得，x=32∴ML=∴sin故选：A．作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM.证明KM=12TB=2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．13.【答案】3a【解析】解：7a故答案为：3a根据合并同类项法则，合并同类项即可．本题考查同类项，合并同类项，掌握合并同类项法则是正确解答的前提．14.【答案】4(答案不唯一)

【解析】解：∵42=16，5∴4<∴比23小的整数有4(答案不唯一)故答案为：4(答案不唯一)．根据算术平方根的定义估算无理数23本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．15.【答案】x−1

【解析】解：原式=(x+1)(x−1)=x−1．故答案为：x−1．将分子因式分解后，利用分式的基本性质约分即可．本题主要考查了分式的约分，利用因式分解法将分子变形是解题的关键．16.【答案】25【解析】解：把2个蛋黄粽分别记为A、B，3个鲜肉粽分别记为C、D、E，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，即AB、BA、CD、CE、DC、DE、EC、ED，∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是820故答案为：25画树状图，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，再由概率公式求解即可．此题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】16π9【解析】解：如图，由题意得弧AC的长为2π×2=4π(cm)，设弧AC所对的圆心角为n°，则即nπ×8180解得n=90，∴粘贴部分所对应的圆心角为100°−90°=10°，∴圆锥上粘贴部分的面积是10π×8故答案为：16π9求出弧长为4πcm，半径为8cm的扇形所对应的圆心角度数，进而求出粘贴部分的圆心角度数，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提．18.【答案】392【解析】解：∵直线y=−13x+2与x轴，y轴分别交于A∴B(0,2)，A(6,0)，作点B关于x轴的对称点B′(0,−2)，把点B′向右平移3个单位得到C(3,−2)，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B′作B′E//CD交x轴于点E，则四边形EFCB是平行四边形，此时，B′E=BE=CF，∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，作CP⊥x轴于点P，则CP=2，OP=3，∵∠CFP=∠AFD，∴∠FCP=∠FAD，∴tan∴PF即PE2则F(11设直线CD的解析式为y=kx+b，则，3k+b=−211解得k=3b=−11∴直线CD的解析式为y=3x−11，联立y=3x−11y=−解得x=39即D(39过点D作DG⊥y轴于点G，直线y=−43x+2与x轴的交点为Q(∴sin∴HG=BHsin∠GBH=3∴3BH+5DH=5(3即3BH+5DH的最小值是5DG=5×39故答案为：392作出点C(3,−2)，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利用解直角三角形求得F(113,0)，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：原式=3−1−4=−2．

【解析】利用绝对值的意义，零指数幂的意义和有理数的乘方法则化简运算即可．本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂的意义和有理数的乘方法则，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∵AM=CN，∴AB−AM=CD−CN，即BM=DN，又∵BM//DN，∴四边形MBND是平行四边形，∴DM=BN．

【解析】由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，再证BM=DN，然后由平行四边形的判定即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明BM=DN是解题的关键．21.【答案】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30=5x−10，解得：x=40．答：该客车的载客量为40人．

【解析】设该客车的载客量为x人，根据去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)，(2)本次所抽取学生课外读书数量的众数为4本，中位数为3+42=3.5(本平均数为1×1+2×2+3×3+4×4+2×512=10(3)3+4+212×600=450(答：本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．

【解析】(1)根据题意直接画图；(2)根据(1)直接写出即可；(3)先求课外读书数量不少于3本的学生人数所占的比例，再乘以600．本题主要考查了学生平均数、众数、中位数、条形统计图等统计的知识，难度不大，认真作答即可．23.【答案】解：(1)以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，∴CN平分∠ACB，CN=1∵△DCE是等腰直角三角形，∴M1是∴CM∴M、N距离的最小值是NM1=CN−CM1=2−1=1，(2)连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，∴CN=1同理：CM=1∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，∴∠MCN=120°，∴∠NCH=180°−∠MCN=60°，∴CH=1∴NH=∵MH=MC+CH=2，∴MN=M【解析】(1)以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，由等腰直角三角形的性质，推出CN平分∠ACB，CN=12AB=12×4=2，M1(2)连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，由等腰直角三角形的性质推出CN=12AB=2，CM=12DE=1，由旋转的性质得到∠NCH=180°−∠MCN=60°，由直角三角形的性质得到本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，关键是以C为圆心，CM的长为半径作辅助圆；通过作辅助线构造直角三角形．24.【答案】解：(1)∵点A(2,4)在反比例函数y1∴m=2×4=8，∴反比例函数为y1∵△OAC与△OBC的面积比为2：1，A(2,4)，∴B(1,0)或B(−1,0)，把A(2,4)，B(1,0)代入y2=kx+b得解得k=4b=−4∴一次函数为y2把A(2,4)，B(−1,0)代入y2=kx+b得解得k=4∴一次函数为y2综上，一次函数的解析式为y2=4x−4或(2)当y2=4x−4时，联立y=8xy=4x−4由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围当y2=43x+43由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围综上，当y2=4x−4时，x的取值范围x≤−1或0<x≤2；当y2=43x+4【解析】(1)由△OAC与△OBC的面积比为2：1，即可求得B(1,0)或(−1,0)，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)两解析式联立，解方程组求得交点坐标，观察图象即可求得y1≥y本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)∵铅直线与水平线垂直，∴α+β=90°，故α，β之间的数量关系为：α+β=90°；(2)在Rt△ABH中，∵AB=40米，∠BAH=24°，sin∠BAH=∴sin24°=BH在Rt△TKS中，∵KT≈5cm，TS≈2cm，∠TKS=24°，sin∠TKS=∴sin24°=2∴BH解得BH=16米，在Rt△CBQ中，∵BC=50米，∠CBQ=30°，∴CQ=1在Rt△DCR中，∵CD=40米，∠DCR=45°，sin∠DCR=∴DR=CD⋅sin∠DCR=40∴DF=BH+CQ+DR=16+25+202≈69(答：山高DF约为69米；(3)由题意，得tanβ1=在Rt△DNL中，∵tanβ∴DL∴NL=b在Rt△DCR中，∵tanβ∴DL∴N′L=b∵NL−N′L=NN′=40(米)，∴=b解得DL=40∴山高DF=DL+LF=40a1答：山高DF为(40a【解析】(1)根据铅直线与水平线垂直解答即可；(2)利用正弦函数定义，得到Rt