辽宁省鞍山市2024年高考数学第二次质检试卷

辽宁省鞍山市2024年高考数学第二次质检试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题1．已知复数z=2−mi2+i为纯虚数，则实数A．−1 B．−4 C．1 D．42．已知直线l：x−y−2=0，点C在圆(x−1)2+y2A．322+1 B．522 3．已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是2bA．23 B．26 C．224．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若l⊂α，α//β，则“m⊥l”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为()A．126 B．513 C．586．数列{an}的通项公式为aA．355 B．275 C．57．针对时下的“抖音热”，校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有附表：

P(

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

k

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828附：KA．20 B．30 C．35 D．408．已知α，β均为锐角，sinα=3sinβcos(α+β)，则tanα取得最大值时，tan(α+β)A．2 B．3 C．1 D．2二、多选题9．已知函数f(x)=sin(ωx+πA．当ω>0时，ω的取值范围是0<ω≤B．当ω<0时，ω的取值范围是−C．当ω>0时，ω的取值范围是0<ω≤D．当ω<0时，ω的取值范围是−10．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，是棱AA1，A1D1，B1C1，A．过M，E，F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形B．三棱锥A1C．当λ=12时，AC//D．当λ=1时，三棱锥A1−MEF11．在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为点A(x1,y1)到点B(xA．d(O,Q)的最小值为2 B．d(O,P)的最大值为2C．d(P,Q)的最小值为52 D．d(R,Q)的最小值为三、填空题12．已知圆锥的底面半径为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的表面积为．13．f(x)=x2e14．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，PF⊥x轴于点F，且四、解答题15．鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数(赋分后学生的分数全部介于30至100之间).某校为做好本次考试的评价工作，从本校学生中随机抽取了50名学生的化学等级分数，经统计，将分数按照[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，（1）求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生分数的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为16．如图1，在平面五边形ABCDE中，AE//BD，且DE=2，∠EDB=60°，CD=BC=7，cos∠DCB=57，将△BCD沿BD折起，使点C到P的位置，且EP=3（1）求证：PE⊥平面ABDE；（2）若AE=1，求平面PBA与平面PBD所成锐二面角的余弦值．17．已知函数f(x)=12a（1）若曲线y=f(x)在x=2处的切线与y轴垂直，求实数a的值；（2）讨论函数f(x)的单调性．18．焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1的左顶点为M，A(x1,y1（1）求b的值；（2）若△OAB的面积为1，求x12+（3）在(2)的条件下，设AB的中点为D，求|OD|⋅|AB|的最大值．19．设数列{an}的前n项和为Sn，已知（1）证明：{an2（2）设bn=log3(an（3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数f(x)=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]=2，[−1.9]=−2，设cn=[an+2n4]，数列{

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为z=(2-mi)(2-i)(2+i)(2-i)=(4-m)-(2m+2)i5是纯虚数，

所以4-m=02m+2≠0解得2．【答案】C【解析】【解答】解：由x-12+y2=2得圆心为M(1,0)，半径r=2，

所以点M到直线l：x-y-2=0的距离d=1-0-22=22，

3．【答案】C【解析】【解答】解：设a与b夹角为θ，向量a在向量b方向上的投影向量是2b，

则a→cosθ×b→|b→|=2b→,|4．【答案】B【解析】【解答】解：因为l⊂α，α//β，由m⊥l，不一定得出m⊥α，所以不一定m⊥β，

则"m⊥l"是"m⊥β"的不充分条件；

若m⊥β，α//β，可得m⊥α，又因为l⊂α，可得m⊥l，所以"m⊥l"是"m⊥β"的必要条件，

所以"m⊥l"是"m⊥β"的必要不充分条件.

故答案为：B.

【分析】根据面面平行性质，结合充分必要条件定义，即可判断.5．【答案】B【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A，B，C，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(C)=0.5

则P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.6x(1-0.8)x1-0.5+(1-0.6)x0.8x(1-0.5)+1-0.6x(1-0.8)x0.5=0.26

6．【答案】C【解析】【解答】解：因为1+525=1321+55

=132C50×50+C51×7．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：设男生可能有必人，[由被调查的男女生人数相同知女生也有必人，填写列表如下：喜欢抖音不喜欢抖音总计男生4515x女生3525x总计75352x若有90%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K2>2.706，

即K2=2x45x·25x-358．【答案】D【解析】【解答】解：因为，B均为锐角，sinα=3sinβcos(α+β)，

则sin[(α+β)-β]=3sinβcos(α+β)，

即sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=3sinβcos(α+β)，

即sin(α+β)cosβ=4sinβcos(α+β)，

即tan(α+β)=4tanβ>0，

则tanα=tan(α+β)-9．【答案】A,D【解析】【解答】根据题意，易知T2≥π，即T≥2π，因此当ω>0时，0<ω≤1，因为0<x<π，所以π6又因为函数f(x)=sin(ωx+π6)解得0<ω≤1当ω<0时，−1≤ω<0，因为0<x<π，所以π6又因为函数f(x)=sin(ωx+π6)解得0>ω≥−2故答案为：AD.

【分析】根据题意，结合正弦函数图象的周期性和单调性，逐项进行分析，可得答案。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，当λ=0时，点M与点H重合过M，E，F三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形，如图所示：

所以过M，E，F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形，故A正确；

对于B，HM→=λHG→，点M是线段GH的一个动点，

由于正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，GH⊂平面BCC1B1，

所以GH∥平面ADD1A1，点M到平面ADD1A1的距离为定值.

而S△EFA1=12，三棱锥VM-EFA1是定值，

VM-EFA1=VA1-MEF，三棱锥A1-MEF的体积为定值，故B正确；

对于C，当λ=12时，点M为GH中点，由于AC∥EH,EH⊄平面MEF,AC⊂平面MEF

所以AC与平面MEF不平行，故C错误：

对于D，当λ=1时，点M与G重合，△11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A：设Q(x,25-2x)，则d(O,Q)=x+2|5-x|≥|x|+5-x≥x+5-x=5

(当且仅当x=5时取"=")，故A错误；

对于B：设P(x,y)，则x2+y2=1，则d(O,P)=x+y≤2(x2+y)=2，故B正确；

对于C：设P(cosθ,sinθ)，Q(x,25-2x)，

则d(P,Q)=cosθ-x+12．【答案】12π【解析】【解答】解：根据题意，圆锥的底面半径为2.母线与底面所成的角为60°如图，

OA=2，∠SAO=60°

则SA=OAcos60°=4，故该圆锥的侧面积S1=πrl=8π，其底面面积S2=πr’=4π，

故该圆锥的表面积S=S1+S2=12π.

故答案为：12π.

【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线与底面所成的角为13．【答案】4【解析】【解答】解：由f(x)=x2e−x，得f'x=2xe-x-x2e-x令f'x=0，则x=0或x=2，

当x<0或x>2时，f'14．【答案】5【解析】【解答】解：因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，所以A1(-a,0)，A2(a,0)，

设F(c，0)，因为PF⊥x轴于点F，且PF→=2QF→，

所以Q为PF的中点，且PF⊥A1F，设QF=h，则PF=2h

在直角三角形A1QF中，tan∠A115．【答案】（1）由频率分布直方图的性质可得：(0.002+0.004+m+0.020+0.03+0.028+0.004)×10=1，解得m=0.012；设中位数为x0，由0.26<0.5<0.56x0∈[60,70解得x0=68，即这50名学生分数的中位数为（2）分数在[70,80)的7人，在[80,90)的3人，ξ可取值的集合为{0,1则P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=C所以ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

P

56

28

8

1ξ的数学期望E(ξ)=0×56【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合频率分布直方图的性质计算m的值，由中位数的定义求得中位数；

(2)由分层抽样得分数在(70，80)的7人，[80，90)的3人，[90，100]的1人，ξ可取值的集合为{0,116．【答案】（1）证明：在△BCD中，CD=BC=7，cos由余弦定理可得BD所以BD=2，又因为DE=2，∠EDB=60°，所以△BDE为正三角形，设BD中点为F，连接EF，PF，因为△BDE为正三角形，所以BD⊥EF，因为PD=BP，所以BD⊥PF，又EF⊂面PEF，PF⊂面PEF，EF∩PF=F，所以BD⊥面PEF，又因为PE⊂面PEF，所以BD⊥PE，在△BDE中，EF=E在△PFD中，PF=P又因为EP=3由勾股定理可得PE⊥EF，又因为EF⊂面ABDE，BD⊂面ABDE，EF∩BD=F，所以PE⊥面ABDE．（2）因为AE//BD，所以AE⊥EF，再由PE⊥面ABDE，PE⊥AE，PE⊥EF，以E为坐标原点，EA，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：A(1,0,0)，B(1,3,0)，F(0,3设平面PAB的法向量为n1因为AB=(0,3,0)由n1−⋅所以3y解得y1=0，令z1解得平面PAB的一个法向量n1设平面PDB的法向量n2因为PB=(1,3,−所以PB⋅令y2=1，则z2所以平面PDB的一个法向量n2设所求锐二面角为θ，则cosθ=|n整理可得cosθ=2所以平面PBA与平面PBD所成锐二面角的余弦值为24【解析】【分析】(1)利用余弦定理求出BD，BE，根据线面垂直判定及性质，证得BD⊥PE，由勾股定理证明PE⊥EF，利用线面垂直的判定定理即可证明.

(2)以E为坐标原点，EA，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和平面PBA与平面PBD法向量的坐标，由向量的夹角公式求得两法向量夹角余弦即为平面PBA与平面PBD所成锐二面角的余弦值.17．【答案】（1）由f(x)=1得f'因为在x=2处的切线与y轴垂直，所以f'(2)=a−1=0，解得（2）由(1)知，f'①当a≤0时，由f'(x)>0，得0<x<1，由f'所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间②当a>0时，分以下三种情况：(i)若a=2，则f'所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；(ii)若0<a<2，令f'(x)>0，得0<x<1或x>2a；令所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2(iii)若a>2，令f'(x)>0，得0<x<2a或x>1，令所以f(x)的单调递增区间为(0,2a),(1,+∞)综上，a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间0<a<2，f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2a=2，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；【解析】【分析】(1)先对f(x)求导，根据导数几何意义得出曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率，再根据曲线y=f(x)在x=2处的切线与y轴垂直，列方程求出a的值即可.

(2)对f(x)求导，利用导函数，分a≤0和a>0两种情况，判断f(x)的单调性，即可求解.18．【答案】（1）由OB=λOC可知，B，O，再由椭圆的对称性可知，B，C关于原点中心对称，即x3=−x易知M(−2,0)，由直线MB和直线MC的斜率之积为y2x2+2⋅−y再由x224+y22故b2=1，所以（2）若x1=x2，即直线△OAB的面积为1，即12|x故x22=所以x12+若x1≠x2，即直线AB斜率存在，设直线代入椭圆方程得x24+(kx+m)2=1，所以x1由韦达定理可知，当Δ=(8km)2−4(4x1+x|x△OAB的面积为1，即12整理得4k2+1=2即x12+综上，x12+（3）