湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺（一）数学试卷

湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺（一）数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2−x<6}，B={x|x+1>0}A．{x|1<x<3} B．{x|−2<x≤−1}C．{x|−1<x<3} D．{x|−1<x<2}2．已知向量a=(1,2)，b=(m,A．0.5 B．1 C．−0.3．若点(−3,4)在双曲线C:A．259 B．2516 C．534．“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）A．A66A53 B．A95．记Sn为公比小于1的等比数列{an}的前n项和，S3A．6 B．3 C．1 D．16．函数f(A． B．C． D．7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．36π B．362π C．72π 8．已知α,β均为锐角，sin(2α−β)=2A．66 B．−66 C．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为2023年中国父母参与过的各类亲子活动人数在参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（）A．在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读B．在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于20%C．图中各类亲子活动占比的中位数为40D．图中10类亲子活动占比的极差为5710．已知圆C:x2+yA．圆C关于直线x−3y−2=0对称 B．(a−1)2+C．2a+b的最小值为4−35 D．a+b+3a+311．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且对任意的x1,x2∈(1A．f(x)是奇函数 B．f(2023)=0C．f(x)的图象关于(1,0)对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知复数z=3+3i(1−i)213．将函数f(x)=sin(2x−π6)+cos2x−sin214．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，若F1关于直线y=2x的对称点四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,（1）求C；（2）若a=2，b=4，D为边AB上一点，∠BCD=π6，求16．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AC=2AA1，点D是棱（1）求证：DC//平面A（2）求直线DC1与平面17．2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟(0(15(30(45甲13a1a乙12b1b设此次停车中，甲所付停车费用为X，乙所付停车费用为Y．（1）在X+Y=18的条件下，求X≥Y的概率；（2）若ξ=|X−Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望．18．已知抛物线E:x2=2py(p>0)，过点P(0,8)的直线l与E交于不同的（1）求E的方程；（2）若垂直于直线l的直线l1与E交于不同的C,D两点，且以AB为直径的圆过C19．对于定义在D上的函数f(x)，若存在距离为d的两条平行直线l1:y=kx+b1和l2:y=kx+b2，使得对任意的x∈D（1）若f(x)（2）若g(x)（3）探究h(x)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为B={x|x+1>0}={x|x>−1}，所以∁R又A={x|x2−x<6}={x|−2<x<3}故选：B【分析】本题考查集合交集和补集运算.先解一元二次不等式求出集合A，解一元一次不等式求出集合B，根据补集的定义求出∁R2．【答案】A【解析】【解答】解：因为a=(1,2)，b又b∥(2a+b)故选：A

【分析】本题考查平面向量平行的坐标转化.先利用平面向量的坐标运算求出2a3．【答案】C【解析】【解答】解：双曲线C:x2由点(−3,4)在双曲线C的一条渐近线上，得所以C的离心率e=a故选：C【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.先求出双曲线的渐近线方程，将点(−3,4)代入双曲线的渐近线方程可求出4．【答案】D【解析】【解答】解：先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，共有A6再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有A7故总共有A6故选：D.【分析】本题考查排列和组合的实际应用.本问题分两步完成：第一步：先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，求出种数；第二步再进行插空，将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插入7个空位中，求出种数，根据分步乘法计数原理将两步的种数相乘可求出答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：依题意，S3,S则S6由S12S6S9由等比数列{an}的公比q小于1，得p=所以S6故选：B【分析】本题考查等比数列的前n项和公式.利用等比数列片段和性质可得：S3,S6−S3,S9−6．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，∀x∈R，x2+1+x>当x<0时，0<x2+1+x=1当x>0时，令t=x2+1令g(t)=lntt,t>1，求导得g即函数g(t)在(1,e)上单调递增，在故选：A【分析】本题考查函数图象.先求出函数f(x)的定义域；当x<0时，利用对数函数的单调性可推出f(x)<0，据此可排除B和C选项；当x>0时，采用换元法，令t=x2+1+x>17．【答案】D【解析】【解答】解：如图，A是圆锥的锥顶，O1是圆柱上底面的圆心，O2是圆柱下底面的圆心，O是圆球的圆心，B是圆柱上底面和圆球的交点，设圆锥和圆柱的高为2h，则AO1=2h因为AO2=B所以h=2，所以球的半径为3h=3所以球的体积为722故选：D.【分析】本题考查球内接几何体问题.先根据题意画出示意图，设圆锥和圆柱的高为2h，据此可求出AO1，OO1，O8．【答案】A【解析】【解答】解：由sin(2α−β)展开整理得2cosαsin(α−β)=253cosα，则sin(α−β)=53>0，而cos(α−β)=1−2si故选：A【分析】本题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式.观察式子，对式子进行变形，再利用两角和与差的正弦公式进行展开，可求出sin(α−β)的值，利用同角三角函数的基本关系可求出cos(α−β)，利用二倍角的余弦公式展开可得：9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A，亲子阅读阅读占比71.B，由于71.C，图中各类亲子活动占比的中位数为27.D，图中10类亲子活动占比的极差为71.故选：AB【分析】本题考查利用样本估计总体，中位数的定义，极差的定义.观察扇形统计图可得出各类活动所占的比列，据此判断A选项；先找出参与过亲子阅读与亲子运动会所占比例，通过计算可判断B选项；将各类活动所占的比列进行排列，再根据中位数的定义可求出中位数判断C选项；利用极差的定义：极差=10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：圆C:(x−2)2+A，显然点C(2,0)在直线x−3y−2=0B，点C(2,0)则点(1,−1)与点P(C，令a=2+3cosθb=3其中锐角φ由tanφ=2确定，因此当sin(θ+φ)D，a+b+3a+3=1+ba+3，令t=b(t2+1整理得t2≤916，解得−3故选：ACD【分析】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系。通过配方先求出圆心坐标和半径，作出图形，观察可知圆心C(2,0)在直线x−3y−2=0上，根据对称性据此可判断A选项；(a−1)2+(b+1)2表示点(1,−1)与点P(a,b11．【答案】B,C【解析】【解答】解：C.因为f(f(−x+1)=−f(x+1)，即函数f(x)关于(1B.由函数f(x)关于(1,0)对称可知又因为f(x+2)为偶函数，所以f(−x+2)=f(x+2)，即函数f(x)则f(−x)=f(x+4)，所以f(x+4)=−f(x+2)，即f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以是f(x)周期为4的周期函数，所以f(2023)=f(4×505+3)=f(3)=−f(1)，又f(3)=f(1)，所以f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，所以f(2023)=0，B正确；A.f(−x)=−f(2+x)=−f(2−x)=f[2−(2−x)]=f(x)是偶函数，A错误；D.对任意的x1,x2∈(1,2)则f(x1)−f(x2又由函数f(x)关于(1,0)对称，所以f(x)在又f(π)=f(π−4)=f(4−π)，f(e)=f(e−4)=f(4−e),所以f(4−π)故选：BC【分析】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性．根据函数为奇函数可推出：f(−x+1)=−f(x+1)，据此可推出对称中心判断C选项；再结合函数为偶函数，可推出f(x)是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和对称性可求出f(2023)的值，判断B选项；根据题意可推出f(−x)=f(x)，据此可知f(x)为偶函数，据此可判断A选项；根据单调性可得函数f(x)在(1,12．【答案】(【解析】【解答】解：依题意，z=3+3i所以z=−32故答案为：(【分析】本题考查复数的乘法和除法运算，共轭复数，复数的几何意义.先利用完全平方公式将分母进行展开，再利用复数的除法运算分子和分母同时乘以2i，可求出复数z，利用共轭复数的定义可求出z，根据复数的几何意义可求出z的对应点的坐标.13．【答案】11π【解析】【解答】解：依题意，f(则g(x)=f(x−φ)得直线x=π8是函数g(x)解得φ=k⋅π2−π24,k∈故答案为：11π【分析】本题考查两角差的余弦公式，二倍角的余弦公式，辅助角公式，三角函数的图象变换，正弦函数的图象和性质.先利用两角差的余弦公式，二倍角的余弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：f(x)=sin(2x+π6)14．【答案】1【解析】【解答】解：设F1(−c,0)关于直线y=2x的对称点即A(3c5,−|AF2|=(3c5−c设|BF1|=m，则|则AF2平行于直线y=2x，从而AF2⊥A解得m=455故答案为：1【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先求出点F1(−c,0)关于直线y=2x对称点A的坐标，利用两点间的距离公式可求出|AF115．【答案】（1）解：在△ABC中，a+b+c=asinBsinA+sinB−sinC，

由正弦定理得整理得a2+b2−c2=−ab，所以C=2π（2）解：由D为边AB上一点，∠BCD=π6及（1）得∠ACD=π即有12b⋅CDsinπ2+12a⋅CD所以△BCD的面积S△BCD【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形

（1）先利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理可求出cosC=−12（2）根据题意可推出∠ACD=π2，利用三角形面积公式结合等面积法可列出关于CD的方程，解方程可求出CD，代入三角形的面积公式可求出16．【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，由点D是棱AA1的中点，BE=2EC，得则DC//EF，而EF⊂平面AB1E所以DC//平面A（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AC，显然直线Ax,AC以点A为原点，直线Ax,AC,令正△ABC的边长AC=12，则AAD(DC设平面B1ED的法向量n=(x,y令直线DC1与平面B1ED所成的角为所以直线DC1与平面B1【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求直线与平面所成的角.

（1）连接BD∩AB1=F，连接EF（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出向量DC1，求出平面17．【答案】（1）解：根据题意可得14+3a+14+a=1，解得a=1甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得X+Y=18，其概率为P1甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元可得X+Y=18，其概率为P2甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得X+Y=18，其概率为P3所以X+Y=18的概率P=P可得在X+Y=18的条件下，X≥Y的概率为P1（2）解：ξ的取值为0，3，6，9，15，18，P(ξ=0)=1P(ξ=3)=1P(ξ=6)=1P(ξ=9)=1P(ξ=15)=3P(ξ=18)=1随机变量ξ的分布列为ξ03691518P1375553所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×13【解析】【分析】本题考查概率的性质，相互独立事件的概率，随机变量的分布列和期望.

（1）根据概率的性质可列出方程组，解方程组可求出a,b，根据题意分析可得X+Y=18共有三种情况：甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元；甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元；利用相互独立事件的概率公式可求出各种情况的概率，据此可求出（2）根据X、Y的值可得ξ的取值，利用相互独立事件的概率公式可求出各取值对应的概率，据此可列出分布列、利用期望公式可求出期望.18．【答案】（1）解：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+8，由x2=2pyy=kx+8，消去y得：x设A(则x1+x2=2pk由OA⊥OB，得OA⋅OB=所以抛物线E的方程为x2（2）解：由（1）知，抛物线E：x2=8y，显然直线l的斜率k≠0，否则直线设C(x3,y3),而C,D在以AB为直径的圆上，则CA⊥CB，DA⊥DB，即CA⋅(x3−由