广东省深圳市2024届高三第二次调研考试（二模）数学试题

广东省深圳市2024届高三第二次调研考试（二模）数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知n为正整数，且n2A．n=1 B．n=2 C．n=3 D．n≥42．已知正方体ABCD−A1B1C1DA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形3．对于任意集合M，N，下列关系正确的是A．M∪B．∁C．M∩D．∁4．已知a>0，且a≠1，则函数y=loA．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限5．已知z=21+i，其中iA．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i6．已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有A．72种 B．96种 C．144种 D．288种7．P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，F1、A．12 B．33 C．638．设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，xA．1e B．1 C．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，那么A．当m⊥β，或n⊥α时，α⊥βB．当m∥β，且n∥α时，α∥βC．当α⊥β时，m⊥β，或n⊥αD．当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行10．已知函数f(x)=sinωx+acosωx（A．a=B．函数f(x−πC．满足条件的正实数ω，存在且唯一D．f(x)是周期函数，且最小正周期为π11．设函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数y=f(x)的图象与圆(x−t)2+(y+t)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则x12，x13．已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为2，则该圆锥的表面积为．注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．14．已知△ABC中，tanB2=3tanC2，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面（1）证明：AA（2）若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A16．已知函数f(x)=(ax+1)ex，f'(x)是（1）若曲线y=f(x)在x=0处的切线为y=kx+b，求k，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：f(x)≥kx+b．17．某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B=“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知0<P(B)<1，证明：P(A|B)>P(A|B18．设抛物线C：x2=2py（p>0），直线l：y=kx+2交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线y=−2于点M．对任意（1）求C的方程；（2）若直线l'∥l，且l＇与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于19．无穷数列a1，a2，…，an，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是an﹔如果n是奇数，就对（1）写出这个数列的前7项；（2）如果an=m且（3）记an=f(n)，n∈N

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：令an=n当n≥4时，an+1an因此当n≥4时，n2所以n为正整数，且n2>2故答案为：C【分析】根据给定条件，构造数列an2．【答案】A【解析】【解答】解：连接AC,因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂所以BB又四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又BB1∩BD=B，B所以AC⊥平面BB因为B1D⊂平面所以AC⊥B同理可证明AD因为AD1∩AC=A，A故B1D⊥平面故平面α即为平面ACD则α截该正方体所得截面的形状为三角形.故答案为：A【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到DB1⊥平面ACD1，故平面3．【答案】B【解析】【解答】解：对于A：如图所知，

∁M∪NN为区域①，所以M∪∁M∪N对于B：∁M∪N(M∩N)为区域①和③；(∁M∪NM)为区域③，(∁M∪NN)为区域①，则对于C：(∁M∪NN)为区域①，M∩∁M∪NN为区域①，不等于区域②（区域对于D：∁M∪N(M∩N)为区域①和③；而(∁M∪NM)为区域③，(故答案为：B.【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果.4．【答案】D【解析】【解答】解：当x=0时，y=lo则当0<a<1时，函数图象过二、三、四象限；则当a>1时，函数图象过一、三、四象限；所以函数y=lo故答案为：D【分析】由函数y=loga5．【答案】B【解析】【解答】解：由题意知，z=2所以z=1+i所以z(故答案为：B【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=1−i，进而z=1+i6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况，若甲是第一名，则获得的名次情况可能是C3若乙是第一名，则获得的名次情况可能是C3所以所有符合条件的可能是72+72=144种.故答案为：C.【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：

设|PF1|=m，|PF2|=n，延长OQ由题意知OQ∥PF1，O为F1F2又PF1⋅PF又由∠QPA=π4，则故有m+n=2am2+n2代入m2+n即a2+b2=2所以e2=2故答案为：C.【分析】设|PF1|=m，|PF28．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得f(x1)=g(x2又f'(x)=1+ex>0即f(x1)=f(且|x令h(x)=lnx−x，则h'(x)=1令h'(x)=0，则当x∈(0,1)时，h'当x∈(1,+∞)时，h'所以当x=1时，h(x)有极大值，即最大值，所以h(x)≤h(1)=−1，|h(x)|≥1，所以|x故答案为：B【分析】根据题意，由条件可得f(x1)=f(lnx9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A：当m⊥β，m⊂α时，α⊥β；当n⊥α，n⊂β时，α⊥β，故A正确；B：当m//β，n//α时，又C：当α⊥β时，由m⊂α，得m//β或m与当α⊥β时，由n⊂β，得n//α或n与D：当α,β不平行时，可能m//β或m与β相交，n//故答案为：AB【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为f(x)=sinωx+acosωx=a又f(x)max=又f(0)=a>0，所以a=3则f(x)=sin又f(π4)=2结合图象可知πω4+π又T2>π4，所以2πω所以f(x)=2sin(2x+πf(x)是周期函数，且最小正周期T=2π故答案为：ACD【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及f(0)>0求出a，由f(π4)=1求出ω11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由(x−t)2+(易知该圆过原点，由f(x)得f(x)由图可知，当0<t<12时，圆与函数当t=12时，圆与函数当12<t≤5当52<t≤13根据圆与函数f(故答案为：ABD【分析】由题意确定圆心坐标和半径，易知该圆过原点，作出函数f(x)12．【答案】5【解析】【解答】解：由题意知，x1+x由(x1−2所以x1故答案为：5【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解.13．【答案】8π【解析】【解答】解：由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：设圆锥高为h，母线长为l，则在三角形SO1B中有h2又由△SDO∼△SO1B得Rr所以由①②得l=32所以圆锥的表面积为S=S故答案为：8π.【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.14．【答案】π3；【解析】【解答】解：如图所示，

设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c.设△ABC的内心为I，过点I向三边作垂线，垂足分别为M根据三角形内心的性质可知，|AP又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，所以||AC|−|AB||=2a，即||AN|+|CN|−|AP|−|BP||=||CN|−|BP||=||CM|−|BM||=2a，因为tanB2=3tanC所以点A在双曲线的左支上，所以|CM而|CM所以|CM所以M为双曲线的左顶点.所以tanB所以rc−a=3r所以ba=3所以两条渐近线的夹角为π3又因为tanA所以tanA而tanC所以14故答案为：π3；【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足M的位置，再由tanB2=3tanC15．【答案】（1）证明：取BC的中点M，连结MA、MA因为AB=AC，A1B=A1C由于AM，A1M⊂平面A1因此BC⊥平面A1因为A1A⊂平面A1又因为A1A∥B因为平面BB1C1C⊥且B1B⊂平面BB因为A1A∥B（2）解：（法一）因为∠BAC=90°，且BC=2，所以AB=AC=2以AB，AC，AA则A1(0,0,2)，所以A1B=(2,设平面A1BC的法向量为m=(x1令z1=1，则设平面A1BC1的法向量为n=(令z2=1，则设平面A1BC与平面A1BC所以平面A1BC与平面A1（法二）将直三棱柱ABC−A1B连接C1D，过点C作CP⊥C因为BD⊥平面CDD1C1，且所以BD⊥CP．又因为CP⊥C1D，由于BD，C1D⊂平面A1BD由于A1B⊂平面A1因为CQ，PQ⊂平面CPQ，且CQ∩PQ=Q，所以A1因为CQ⊂平面CPQ，所以CQ⊥A则∠CQP为平面A1BC与平面在ΔA1BC因为PQ=A1C因此平面A1BC与平面A1【解析】【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、MA1，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得BC⊥平面A1MA，进而由A1A∥B（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于A116．【答案】（1）解：因为f(x)=(ax+1)ex，所以则f'因为f'(x)−f(x)=2e则曲线y=f(x)在点x=0又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点x=0即得k=3，b=1．（2）解：设函数g(x)=(2x+1)ex−3x−1则g'设g'(x)=h(x)，则所以，当x>−52时，h'又因为g'所以，x>0时，g'(x)>0，−52<x<0时，g又当x≤−52时，综上g(x)在(−∞,0)上单调递减，在所以当x=0时，g(x)取得最小值g(0)=0，即(2x+1)ex−3x−1≥0，所以，当x∈R【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得a的值，再由导数意义可求切线，得到答案；（2）设函数g(x)=(2x+1)ex−3x−117．【答案】（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，则P(M)=mm+n，P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%计算得3m=n．所以P(M)=mX的可能取值为0，1，2，3，X~E(X)=3×1P(X=0)=C30P(X=2)=C32所以，X的分布列为：X0123P272791（2）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以P(B|A)>P(B|A即P(AB)P(A)因为P(A)>0，P(A所以P(AB)P(A因为P(A)=1−P(A)，所以P(AB)(1−P(A))>(P(B)−P(AB))P(A)．即得P(AB)>P(A)P(B)，所以P(AB)−P(AB)P(B)>P(A)P(B)−P(AB)P(B)．即P(AB)(1−P(B))>P(B)(P(A)−P(AB))．又因为1−P(B)=P(B)，所以P(AB)P(B因为0<P(B)<1，0<P(B所以P(AB)P(B)即得证P(A|B)>P(A|B【解析】【分析】（1）设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知X服从二项分布，写出分布列和期望即可.（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即P(B|A)>P(B|A18．【答案】（1）解：设点A(x1,由题可知，当k=0时，显然有kAM当k≠0时，直线OM的方程为y=−1kx联立直线AB与C的方程得x2−2pkx−4p=0，所以x1+x因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，所以y1即kx1+4化简得2(k将x1+x则p=2，所以曲线C的方程为x2（2）解：（法一）设直线l＇：y=kx+n，联立C的方程，得x2由Δ=0，得n=−k2，点设AB的中点为E，因为x1+x22因为2k所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以△AMN面积为△ABM面积的14记△AMN的面积为S，点M(2k,−2)到直线AB：kx−y+2=0的距离所以S=1当k=0时，等号成立．所以命题得证．（法二）设直线l＇：y=