广东省佛山市2023-2024学年高三下学期4月教学质量检测（二）（二模）数学试题

广东省佛山市2023-2024学年高三下学期4月教学质量检测（二）（二模）数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线x2A．y=±12x B．y=±22x2．已知集合A={x|x2−x≥0}，B={x|x<a}，且A⋃B=R，则实数A．a>0 B．a≥0 C．a>1 D．a≥13．某圆锥高为3，母线与底面所成的角为π3A．3π B．4π C．5π D．6π4．劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列无并列名次共有()A．12种 B．24种 C．36种 D．48种5．已知P是过O(0，0)，M1(-1，3)，M2(-3，-1)三点的圆上的动点，则|PO|的最大值为()A．5 B．25 C．5 D．206．已知角θ满足2sin2θ+A．-59 B．-19 C．197．已知0<a<1且a≠12，若函数f(x)=2logax-log2ax在（0，+∞）上单调递减，则实数A．(14，12) B．(0，C．(14，12)⋃(12，1) D．(0，14)8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c.0)，F2(c，0)，点A，BA．223 B．63 C．2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知复数z1，z2满足A．z1=z2 B．z1z10．已知平面α∩平面β=l，A，B∈α且A，B∉l，C，D∈β且C，D∉l，EA．若AC⊥β，则CE⊥B．若AB//CD，则几何体ACE-BDF是柱体C．若CE⊥l，DF⊥l，则几何体ACE-BDF是台体D．若α⊥β，且AC=AD，则直线AC，AD与11．在一个有限样本空间中，假设P(A)=P(B)=P(C)=13，且A与B相互独立，A与CA．P(A∪B)=2B．PC．PD．若P(C|B)+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(1)=2，则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为.13．统计学中通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3.μ+3σ]14．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB=2π3，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方；则t=秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．已知数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn（1）求数列{an}，{b（2）若cnan16．如图，三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与平面ABC垂直，O为AC的中点，G是△PBC的重心，且OG⊥BC，G到平面（1）证明：AB//平面POG；（2）证明：△ABC是直角三角形；（3）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．17．如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置X（1）求P(X4（2）求E(Xn（3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．18．已知f（1）当a=3时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)+19．两条动直线y=k1x和y=k2x分别与抛物线C：y（1）求p；（2）若k1k2=−4，弦AB中点为P，点M(-2，0)关于直线AB的对称点

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为双曲线方程为x2−y所以a2所以该双曲线的渐近线方程为y=±b故答案为：C.【分析】根据双曲线方程，找出a,2．【答案】D【解析】【解答】解：A={x|x2−x≥0}={x|x≥1因为A∪B=R，B={x|x<a}，则a≥1.故答案为：D.【分析】先化简集合A，根据并集运算即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】解：设圆锥的高为h，母线与底面所成的角为θ，圆锥底面圆半径r，母线为l，

则h=3,θ=所以圆锥的表面积S=πr故答案为：A【分析】设圆锥的高为h，母线与底面所成的角为θ，圆锥底面圆半径r，母线为l，根据已知条件求出r,4．【答案】B【解析】【解答】解：因为冠军是甲、乙当中的一人，所以排第1名有C2丁和戊都不是最差的，所以排丁和戊有A3排剩下2人的排法有A2根据分步乘法计数原理有这5名同学的名次排列（无并列名次）共有C2故答案为：B【分析】根据题意可知完成该事件满足分步乘法计数原理，利用排列组合综合计数计算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由题意如图所示，因为O(0,0)，M所以OM则OM因此线段M1且|M因为点P是该圆上的点，所以|PO|的最大值为圆的直径25故答案为：B【分析】画出图形根据题意，写出OM1,OM2的坐标，利用向量乘法坐标公式计算出OM6．【答案】C【解析】【解答】解：因为tanθ=且由二倍角的正弦公式sin2θ=2sinθcosθ所以2=6co又因为sin2θ≠0，所以3si即(3sin则sinθ=−23由sinθ∈[−1,1]故sinθ=−则cos2θ=1−2si故答案为：C.【分析】根据sin2θ=2sinθcosθ,tanθ=sinθcosθ,7．【答案】D【解析】【解答】解：因为0<a<1且a≠1所以函数f=2因为函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，根据函数单调性的性质可得：ln4a因为0<a<2a<4a，则ln4a<0或ln解得0<a<14或所以实数a的取值范围为(0故答案为：D【分析】利用对数函数的换底公式化简函数f(x)8．【答案】B【解析】【解答】解：如图，因为F1所以BF2//AF则BF所以四边形BMF所以|BM|=所以|BM因为F1B所以F1因为F1所以4c从而|AM|=由椭圆定义知|A所以|A又|BF2由BF2//所以cos∠A在△AF1F|F即(2c化简整理得：2a2=3所以C的离心率为e=c故答案为：B【分析】画图，取AF1的中点M，由四边形BMF1F2为平行四边形以及椭圆焦距可得|BM|=9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为z2−2z+2=0，所以(z−1令z1=1+i，z2=1−i，显然复数|z1|=|z1|z故答案为：ABD【分析】根据共轭复数和复数的运算的判断即可.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：因为AC⊥β，且l⊂β，则AC⊥l，又AE⊥l，AC⊂平面ACE，AE⊂平面ACE，且AC∩AE=A，因此l⊥平面ACE，而CE⊂平面ACE，所以CE⊥l，故A正确；平面α∩平面β=l，C,D∈β且C,D∉l，而棱柱的每个侧面都是平行四边形，因此几何体ACE−BDF不一定是柱体，故B错误；由CE⊥l，DF⊥l，而AB,l⊂α，AB与l不一定相交，CD,l⊂β，即使AB、CD与l都相交，但交点也不一定重合，因此几何体ACE−BDF不一定是台体，故C错误；平面α∩平面β=l，A∈α且A∉l，E∈l，则AE⊂α，而α⊥β，AE⊥l，因此AE⊥β，又C,D∈β，连接CE、DE，则∠ACE,∠ADE分别是直线AC、而CE,DE⊂β，AE⊥β，因此AE⊥CE,AE⊥DE，而AC=AD，于是所以∠ACE=∠ADE，即直线AC，AD与β所成角的大小相等，故D正确.故答案为：AD【分析】根据线面垂直性质即可判断A；利用棱柱和棱台的结构特征判断B，C；利用线面角，结合线面垂直的性质判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由已知A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，P(AB)=由概率加法公式可知P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，P(A∪B)=1因为A与C互斥，所以A⊆CP(C|A)=P(所以P(CP(C|AB)=P(CAB)P(AB)，因为A与所以P(CA)=P(A)，所以显然P(C)=P(BC)+P(BC)=1由P(C|B)+P(C|B)=1解得P(BC)=0，所以B与C互斥，所以D正确.故答案为：BCD.【分析】概率加法公式判断A选项；由条件概率计算公式判断B选项；利用A与C互斥，故P(CA)=P(A)可判断C选项；P(BC)=0，即B与12．【答案】(-1，1)【解析】【解答】解：因为f(1)=2，由f(x)在[0,+∞)上单调递减，故当f(x)>2可得故f(x)是偶函数，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，故当f(x)>2故当f(x)>2，可得x∈(−1,又f(−x)=f(x)，故f(x)+f(−x)>4等价于f(x)>2，故x的取值范围为(−1,故答案为：(−1,【分析】根据函数的奇偶性和单调性计算即可得.13．【答案】5【解析】【解答】解：因为400<415，

所以400+3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.故答案为：5【分析】根据已知条件列出不等式，求解即得.14．【答案】13​​​​​​​；【解析】【解答】解：如图建立平面直角坐标系，

因为角速度ω=2πrad/s，圆上两点A、B始终保持∠AOB=2π设点A(cos(则B(cos(要使A、B两点的竖直距高为0，所以纵坐标相等，则sin(2πt−π2)=f==|故答案为：13；【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标关系结合和角的正弦公式化简即得.15．【答案】（1）解：因为Sn+an=2，∴令n=1，得S1+a1=2，即2a1=2，即a1=1，

∴b1=a1=1，

设等差数列{bn}的公差为d，

由T4=4T2得4b1+4×32d=2b1+2×12d，即d=2b1=2（2）解：由cnan−bn=1得cn(12)n−1−(2n−1)=1，

则cn(12)n−1=2n，

∴cn【解析】【分析】（1）根据已知求得等差数列的基本量，即得通项公式；由Sn和a（2）运用错位相减法结合等比数列的求和公式即可得到所求和．16．【答案】（1）证明：连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，因为G为△PBC的重心，所以D为BC的中点，又因为O是AC中点，则OD//AB，又OD⊂平面ABC，AB⊄平面POG，所以AB//平面POG（2）证明：因为△PAC是正三角形，O是AB的中点，所以PO⊥AC，又因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，所以PO⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PO⊥BC，又OG⊥BC，又PO，OG⊂平面POD，PO∩OG=O，所以BC⊥平面POD，又OD⊂平面POD，所以BC⊥OD又由(1)知OD//AB，所以BC⊥AB，所以△ABC是直角三角形.（3）解：过B作BF⊥AC于F，同(2)可证BF⊥平面PAC因为G为△PBC的重心，且G到平面PAC的距离为1，所以B到平面PAC的距离为3，即BF=3，在Rt△ABF中，sinA=BFAB所以在Rt△ABC中，AC以O为原点，以OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，则A(0，-23，0)，B(3，3，0)，C(0，23，0)，P(0，0，6)设平面PAB的法向量为m=(所以AP∙m令z1=1，则x1设平面PBC的法向量为n=(x2,令x2=1，则y2所以cos<m【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直可得BC⊥AB即可证明.（3）利用平面法向量夹角余弦和面面角余弦的关系计算即可.17．【答案】（1）解：设质点n次移动中向右移动的次数为Y，则Y∽B(n，12)，XP(X4=-2)=P(Y=1)=（2）解：E(Xn)=2E(Y)-n=2(n∙（3）解：P(Y=k)=C若n为偶数，Cnk中间的一项Cnn2所以质点最有可能位于位置0，若n为奇数，Cnk中间的两项Cnn+12，C此时Xn【解析】【分析】（1）利用二项分布概率计算公式计算即可.

（2）利用二项分布的期望公式结合期望的性质计算即可.

（3）利用二项式系数的性质结合二项分布即可得解.18．【答案】（1）解：当a=3时，f'(令f'(x)>0故f(x)的单调递增区间为(0，ln3)，单调递减区间为(-∞，0)和(ln3，+∞)（2）解：f'(x)=−则−t2+4t−a=0则△=16-4a>0，t1+t知ex1则f(x1)+