北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习（一模）数学试卷

北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习（一模）数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合1．已知集合A={0,1,2,A．{2,3} B．{0,1,2}2．在复平面内，复数z满足iz=3−4i，则z的虚部为（）A．3i B．−3i C．3 D．−33．下列函数中，既是奇函数又在(0A．y=x12 B．y=1x 4．已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为A．x2−y23=1 B．x5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3A．54 B．63 C．72 D．1356．设a>0，b>0，则“lg(a+b)>0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在△ABC中，∠A=120°，a=19，b−c=1，则△ABCA．332 B．32 C．38．在△ABC中，AB=4，AC=3，且|AB+ACA．16 B．−16 C．20 D．−209．在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线kx−y−3k+4=0A．2 B．3 C．4 D．610．如图，正方体ABCD−A1B1C①三棱锥A−D②直线AP与平面ACD③直线AP与A1④A1A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．(1x−2x12．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在C上，若|MF|=313．若函数f(x)=2sinx2cosx14．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，a1a3=16，S3=14，则a2=15．设a∈R，函数f(①当a=1时，f(x)②存在a>0，使得f(③存在a>0，使得f(④∀a∈(−∞,0)其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2（1）求证：EC//平面PAB（2）当PC=3时，求直线PC与平面BCE所成角的正弦值.17．设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，已知∀x∈R条件①：(π3,条件②：直线x=7π12为函数条件③：函数f(x)注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求ω,（2）当x∈[−π4,π418．2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到95%（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.项目斋堂出口清水出口安家庄出口雁翅出口火村出口西台子出口上班4082532旅游30201010128出行161010554（1）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；（2）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为X，求X的分布列和数学期望；（3）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“ξ1=1”表示此人从斋堂出口下高速，“ξ1=0”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“ξ219．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，椭圆（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P(2,0)且不过点Q(3,1x=4交于点C，试判断直线CN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．已知函数f(（1）当a=1时，求曲线y=f(x)（2）当a<0时，求f(（3）当12≤a≤1时，判断21．已知数列{an}:a1,a2,⋯aM，数列{bn}:b1（1）若{an}:2（2）若S={2,3,（3）若ai≤ai+1，bi≤b使得bi

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意可得，A∩B={2,故选：A【分析】本题考查集合的交集运算.根据集合交集的定义找出两个集合的公共元素，进而求出A∩B.2．【答案】D【解析】【解答】因为复数z满足iz=3−4i，所以z=3−4i所以z的虚部为-3，故选：D【分析】本题考查复数的除法运算.根据题目条件变形可得z=3−4ii，分子和分母同时乘以i，化简后可求出复数3．【答案】D【解析】【解答】A：y=x12B：y=1x定义域为(−∞,C：y=tanx为奇函数，定义域为{x|x≠πD：令y=f(x)=x|x|定义域为R，且f(−x)=−x|−x|=−x|x|=−f(x)，所以y=x|x|为奇函数，且当x>0时y=x2，函数在故选：D【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性.先判断函数的奇偶性，据此可排除A选项；再利用幂函数和正切函数的单调性判断函数在(0,4．【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2因为双曲线C经过点(0,1)，所以因为e=ca=2所以b2所以双曲线的标准方程为y2故选：C【分析】本题考查双曲线的方程.根据双曲线C经过点(0,1)，可求出5．【答案】B【解析】【解答】等差数列{an}中，由S3=30，得3所以S9故选：B【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式.根据给定条件，利用等差数列的性质求出a2，根据等差数列的前n项公式和等差数列的性质可得：S6．【答案】B【解析】【解答】解：若a>0,b>0，由lg(a+b)>0，取a=3，b=1而lg(ab)>0，则ab>1，又a>0,b>0，则若都小于等于1，根据不等式的性质可知，乘积也小于等于1，与乘积大于1矛盾，则a+b>1，故lg(a+b)>0，所以lg(a+b)>0是lg(ab)>0的必要而不充分条件.故选：B【分析】本题考查对数函数的性质，充分条件和必要条件的判断.采用特殊值法：取a=3，b=13，可得lg(a+b)>0，但lg(ab)=0，充分性不成立；根据不等式的性质可得lg(ab)>0时，7．【答案】A【解析】【解答】解：cosA=解得c=2，则b=3，所以S△ABC故选：A.【分析】本题考查余弦定理解三角形，三角形的面积公式.先利用余弦定理求出c，再代入三角形的面积公式可求出答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：因为|AB+AC即AB2所以AB⋅AC=0所以AB⋅故选：B【分析】本题考查平面向量的数量积.对式子|AB+AC9．【答案】D【解析】【解答】解：由直线l:kx−y−3k+4=0整理得k(而由P(cosθ，sinθ)知，点P可看成圆O:于是求点P(cosθ，sinθ)到直线kx−y−3k+4=0的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.如图知当直线l与圆相交时，P(cosθ，sinθ)到直线kx−y−3k+4=0的距离最小值为dmin要使点P到直线l距离最大，需使圆心O(0,又因直线l过定点A(3,4)，故当且仅当l⊥OA时距离最大，（若直线l与OA不垂直，则过点O此时|OA|=5，故点P到直线l距离的最大值为dmax=故选：D.【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先根据直线方程求出定点A(3,4)，而P(cosθ，sinθ)可看成单位圆上的一点，因此可将求点P10．【答案】C【解析】【解答】解：对于①，因为BC1//AD1，BC1⊄面ACD所以BC1上任意一点到平面AD1C对于②，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C对于③，设AD1∩A1D=M，则AD1⊥A1D，又又AP⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥AP，所以点P在直线对于④，因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，则AA1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD所以BD⊥平面A1AC，且A1C平面又A1B1⊥平面BB1C1C且A1B1∩B1C=B1且A1C⊂平面A1又BC1∩BD=B，BC1,BD⊂且DP⊂平面BDC1，所以故选：C【分析】本题考查棱锥的体积公式，直线与平面所成的角，异面直线的夹角，直线与平面垂直的性质.

由已知可证明BC1//面ACD1，可得BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，利用等体积法可判断①；点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面11．【答案】-160【解析】【解答】解：因为(1x−2x)令2r−6=0可得r=3，则展开式中的常数项为T4故答案为：−160【分析】本题考查二项式定理展开式的通项.先根据二项式展开式求出通项公式，令2r−6=0可求出r，再反代回通项公式可求出常数项.12．【答案】4【解析】【解答】解：由点M在C上，C：y2=4x的焦点为F，准线为x=−1，知M到直线x=−1而|MF|=3，故M到直线x=−1的距离为3.设M的坐标为(x0,y0)，由M到直线x=−1的距离为3，知|x0+1|=3所以M到直线x=−2的距离为|x故答案为：4.【分析】本题考查抛物线的定义.设M的坐标为(x0,y0)，利用抛物线的定义可得方程|x13．【答案】1；6【解析】【解答】解：f(x)=2sinx由最大值为2，A>0，则A=1，所以f(x)=sinx+cosx=2所以f(π故答案为：1；6【分析】本题考查二倍角公式和辅助角公式.利用二倍角公式和辅助角公式化简解析式，根据最大值为2，可求出A的值；据此可得解析式为：f(x)=2sin(x+π14．【答案】4；3或4【解析】【解答】解：等比数列{an}中，公比q>0；由a1⋅所以a1⋅a3=16若a1=2a3=8且a1,a2,…,所以不会存在n0使得a若a1=8a3=2且a1,a可知数列{an}单调递减，从第5前4项均为正数且大于等于1，所以存在n0=3或n0综上，可得n0的一个可能值是3或4故答案为：4；3或4【分析】本题考查等比数列的性质，等比数列的前n项和，数列的单调性.先利用等比数列的性质可求出a2=4，又S3=14，利用等比数列的前n项和可得方程组a1⋅a3=16a115．【答案】②③【解析】【解答】解：因为f(x)=2当x<1时f(x)=2x−a又函数y=x2−3ax+2对于①：当a=1时f(x)=2当x<1时0<2x<2，所以−1<2x对于②：当零点位于(−∞,1)时，则21此时0<3a若0<3a2≤1，即0<a≤23此时只需f(1)=1−3a+2a2>0，解得a>1或a<若3a2>1，即a>23时，此时Δ=9a2−8所以0<a<1当零点位于[1,+∞)，此时f(x)在(−∞,1)上无零点，则此时Δ>0且3a2要使函数f(x)只有一个零点，则只需f(1)=1−3a+2a2<0又a>2，显然a无解，所以此种情况不符合题意；综上可得当0<a<12时f(x)只有一个零点，故对于③：使得f(x)有三个不同零点，则必然是在(−∞,1)上有一个零点，在则21−a>0a>0所以当1≤a<2时f(x)有三个不同零点，故③正确；对于④：若f(x)在R上是单调递增函数，则21−a≤1−3a+2a所以当a≤1−32时f(x)在R故答案为：②③【分析】本题考查函数的零点，函数的单调性，函数的最值.当a=1时，分析函数在(−∞,1)上的取值范围，求出函数的值域据此可判断①；对零点在(−∞,1)、[1,+∞)讨论，进而求出实数a的取值范围，据此可判断②和16．【答案】（1）证明：取PA中点为M，连接ME,在△PAD中，因为M,E分别为PA,PD的中点，故又AD//BC,BC=12AD，故ME//BC又MB⊂面PAB,EC⊄面PAB，故EC//面（2）解：因为PA⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.又因为AD⊥AB，所以建立如图空间直角坐标系A~xyz如图所示：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为AB⊥AD，AD∥BC，所以AB⊥BC，又因为AB∩PA=A所以BC⊥平面PAB所以BC⊥PB在Rt△PBC中，PB=22，PC=3，可得BC=1，又因为BC=1由题意得B(2，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，所以PC设平面BCE的法向量为n=(x，y，z)，所以n⋅BC=0,令X=1，则z=2.所以平面BCE的一个法向量为n=(1，0，2).所以cos设直线PC与平面BCE所成角为θ，则sin所以直线PC与平面BCF所成角的正弦值为2【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求直线平面所成的角.（1）取PA中点为M，利用三角形的中位线定理可推出ME//BC,ME=BC，进而证明四边形MBCE为平行四边形，推出EC//（2）利用直线与平面垂直的性质定理可推出PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC，进而证明BC⊥平面PAB，推出BC⊥PB，利用勾股定理可求出BC，AD，结合已知条件建立如图空间直角坐标系A~xyz，求出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面BCE的法向量，利用空间向量求出直线与平面所成的角.17．【答案】（1）解：由f(x)≤f(π12)，知sin而f(x)在区间[π12，7π12这意味着7π12≤π12+注意到π12π2>φ=π所以π2>π3+2kπ，−π2从而π12ω+φ=π若选择条件①，则(π3，0)为函数y=f(x)所以sin(π3ω+π所以ω=−2+4k(k∈Z)，由0<ω≤2知ω=2，故f(x)=2sin(ωx+π2−若选择条件②，则直线x=7π12为函数y=f(x)的图象的一条对称轴，从而而f(x)在区间[π12，7π12从而2sin(7π12ω+所以ω=2+4k(k∈Z)，由0<ω≤2知ω=2，故f(x)=2sin(ωx+π2−若选择条件③，函数f(x)与y=sin2x的振幅不一致，无法通过平移得到，故不能选择；（2）解：条件等价于，关于x的方程f(x)=m即2sin(2x+π3)=m在[−π4，π4]上恰有一个解.

记2x+π3=u，则x=12(u−π3)，从而x∈[−π4，π4]和[−π6，5π6]一一对应，

这就表明条件等价于关于u的方程sinu=m2在[−π6，5π6]上恰有一个解.

设g(u)=sinu，则在[−π6，π2]上递增，在[π2，5π6]上递减，g(−π6)=−12，g(π2)=1，g(5π6)=12.

此时，若m>2，则g(u)=sinu≤1<m2，方程sinu=m2无解，不满足条件；

若m<−1，则当u∈[−π6，π2]时，g(u)≥g(−π6)=−12>m2；

当u∈[π2，5π6]【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，函数与方程的综合应用.（1）先根据正弦函数的单调性可列出不等式据此可求出0<ω≤2，根据正弦函数的最值可列出方程据此可求出π12ω+φ=π2，若选择条件①，利用正弦函数的对称中心的公式可求出ω，进而求出φ的值，求出解析式；若选择条件②，利用正弦函数的对称轴的公式可求出ω，进而求出φ的值，求出解析式；若选择条件③，函数（2）采用换元法记2x+π3=u，将条件转化为关于u的方程sinu=m2在[−π6，18．【答案】（1）解：样本中被调查的居民人数为200，其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10，

所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为10200=1（2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为23；从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为1由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3.PPPP所以随机变量X的分布列为：X0123P2279124所以X的数学期望EX=0×（3）D【解析】【解答】解：（3）由题意可知P(ξ所以Eξ所以D由题意可知P(ξ所以Eξ所以D故D【分析】本题考查古典型概率公式，二项分布.（1）先找出利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数，利用古典概型用清水出口下高速的人数除以总样本数可求出概率；（2）先找出随机变量X的所有可能为0，1，2，3，利用二项分布的概率计算公式分别求出对应的概率，据此可求出X分布列，利用期望公式可求出期望。（3）通过对ξ1，ξ2方差的估算，可得出19．【答案】（1）解：由题意可得1解得a=2所以椭圆E的方程为x（2）解：方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，代入椭圆方程x2不妨设此时M(2，1)，N(2，-1)，.则C(4，1)，直线NC的斜率k当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k(x-2)(k≠1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程x2+4由于点P在椭圆E内，所以必有△>0，则x直线MQ的方程为y−1=令x=4，得Ckk======因此k综上，直线CN的斜率为1.方法二：当直线l与x轴重合时，直线l的方程为y=0时，代入椭圆方程x28不妨设此时.M直线MQ的方程为y−l=令x=4，得C直线NC的斜率k当直线l与x轴不重合时，设其方程为x=my+2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程x2+4由于点P在椭圆E内，所以必有Δ>0，则y直线MQ的方程为y−1=令x=4，得Ck=====因此k综上，直线CN的斜率为1.【解析】【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.（1）根据椭圆的离心率公式，三角形的面积公式，和椭圆的关系式a2（2）设出两点坐标，先考虑直线l斜率不存在的情况求出CN的斜率为定值1，若CN的斜率存在，设出直线l的方程y=k(x-2)(k≠1)，与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示x1+x2,20．【答案】（1）解：当a=1时f(x)=xlnx−12x2，则所以f'所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（2）解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且令g(x)=f'(x)=a因为a<0，所以g'(x)<0恒成立，所以g(x)在即f'(x)在又f'所以当0<x<1时f'(x)>0，当x>1时则