考点串讲04 圆【12大考点串讲+25种题型+方法专题圆的切线的证明与圆中的多解问题】

串讲04圆九年级人教版数学上册期末大串讲思维导图知识串讲常用技巧/结论思维导图知识串讲考点一、与圆有关的概念1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.·COAB经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．

1.弦和直径都是线段.2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.注意·COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．劣弧与优弧·COAB半圆3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作

AB

，读作“圆弧AB”或“弧AB”．(小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC

;(大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.(知识串讲4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

知识串讲B

题型一：理解圆的有关概念．知识串讲题型二：会利用半径相等解题．知识串讲1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.考点二、垂径定理及其推论知识串讲2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.知识串讲在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：4.弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·知识串讲题型三：会求圆的半径．知识串讲D

题型四：会求弦的长．知识串讲题型五：会证明弧相等．知识串讲1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：2.圆心角∠AOB所对的弧为AB.⌒圆心角弦弧考点三、圆心角及相关概念知识串讲题型六：会求圆心角的度数．知识串讲同样，还可以得到：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.考点四、圆心角、弧、弦之间的关系知识串讲B

题型七：理解弧、弦、圆心角的关系．知识串讲题型八：会证明两条弧相等．知识串讲考点五、圆周角及其定理、推论（两个条件必须同时具备，缺一不可）1.概念：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.知识串讲2.圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.知识串讲3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.知识串讲4.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.知识串讲5.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.知识串讲D

题型九：理解圆周角的概念．知识串讲B

题型十：能运用圆周角定理、推论和圆内接四边形的性质解决相关问题．知识串讲知识串讲点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.不在同一直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，考点六、点与圆的位置关系知识串讲题型十一：会判断点和圆的位置关系．知识串讲题型十二：会确定圆的圆心．知识串讲题型十三：会用反证法证明简单命题．知识串讲考点七、直线与圆的位置关系如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.知识串讲交点个数

位置关系

数量关系

相交两个公共点只有一个公共点没有公共点d＜r相切相离d＝rd＞r知识串讲题型十四：会判断直线和圆的位置．知识串讲B

题型十五：会利用直线与相切的定义解决问题．知识串讲1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.考点八、切线的性质和判定知识串讲2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.知识串讲(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法有切线时常用辅助线添加方法

见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识串讲题型十六：会判定圆的切线．知识串讲知识串讲题型十七：会用切线的性质证明或计算．知识串讲切线和切线长是两个不同的概念：1.切线是一条与圆相切的直线；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.考点九、切线长定理和三角形的内切圆1.如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.知识串讲2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.知识串讲3.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.知识串讲题型十八：理解切线长的概念，掌握切线长定理并能运用．知识串讲题型十九：理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内心的性质并能运用．知识串讲我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，

外接圆的半径叫做正多边形的半径，

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心；OD是正六边形ABCDEF的半径；∠AOF是正六边形ABCDEF的中心角；OG是正六边形ABCDEF的边心距.考点十、正多边形和圆知识串讲1.正n边形的每一个内角的度数__________.3.正n边形的中心角__________.2.正n边形的每一个外角的度数__________.4.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？5.边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？其中l为正n边形的周长.知识串讲B

题型二十：会判断正多边形的对称性．知识串讲题型二十一：会进行正多边形的有关计算．知识串讲知识串讲考点十一、弧长和扇形面积1.弧长公式：半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l2.扇形面积公式：半径为R，圆心角为n°的扇形面积S知识串讲弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形知识串讲题型二十二：掌握弧长公式，并能进行有关计算．知识串讲题型二十三：掌握扇形公式，并能进行有关计算．知识串讲圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆面，它的侧面是一个曲面.

我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高.母线有无数条，且都相等.圆锥的底面半径、高、母线长三者之间的关系：考点十二、圆锥的侧面积和全面积知识串讲如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为___，扇形的弧长为_____，因此圆锥的侧面积为_____，圆锥的全面积为___________.l2πrπr2+πrlπrl知识串讲B

题型二十四：会求圆锥的侧面积．知识串讲题型二十五：会求圆锥的全面积．知识串讲方法专题圆的切线的证明

方法专题圆