2024-2025学年辽宁省协作体高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省协作体高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量X−Nμ,σ2，若其对应的正态密度函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且P(X≤0)=0.1，则P(1≤X≤2)=A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.12.已知直线l:ax+2y+3=0的倾斜角为α，若α∈0,π3，则实数a的取值范围是A.0,23 B.0,23 C.3.x+y−18的展开式中，含xy4的项的系数为A.240 B.−280 C.560 D.3604.如图，正方形ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,G,E分别是CC1,AB的中点，P是四边形CC1DA.35 B.47 C.55.某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中(1)班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有(    )种分配方法．A.90 B.60 C.126 D.1206.已知菱形ABCD的边长为23,∠BAD=60∘，以BD为折痕把▵ABD折起，使点A到达点A′的位置，且平面A′BD⊥平面BCD.若点A.16π B.20π C.24π D.28π7.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2A.33 B.32 C.8.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为13，不下雨的概率均为23，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为(

)A.1681 B.2081 C.827二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2的直线l交双曲线C的右支于A、B两点，其中点A在第一象限．ΔAF1F2的内心为I1，AA.若双曲线渐近线的夹角为60∘，则双曲线的离心率为2或233

B.若AF1⊥AF2，且|BF1|−|AF1|=2a，则双曲线的离心率为102

C.10.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CD的中点，N为线段BM上的动点(A.若直线A1M与直线AN所成角为α，则cosα的最大值为23．

B.若点N到平面ABC1D1的距离为d，则d+CN的最小值为23+425．

C.若在该正方体内放入一个半径为12的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是2−π2．

D.点T从B点出发匀速朝D1移动，点S从三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知ξ∼N4,52，且Pξ≤3=Pξ≥a+1，则12.已知两条互相垂直的直线l1，l2分别经过点A(−4,0)，B(2,2)，公共点为T，O(0,0)，则当OT取最小值时，S△TAB=13.已知e1,e2是空间单位向量，e1⋅e2=12.若空间向量b满足b⋅14.数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.若正整数n=a0⋅2k+a1⋅2k−1+⋯+ak−1⋅21+ak，其中a0=1,ai=0或1i=1,2,⋯,k，则n可以用k+1位二进制数a0四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设(3x−1)(1)a(2)a016.(本小题12分)已知圆M的圆心在直线y=3x+1上，且点A1,2，B−1,4在M(1)求圆M的标准方程；(2)若倾斜角为π4的直线l经过点C0,4，且l与圆M相交于D，E两点，求DE17.(本小题12分)如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，AB=AD=12DC=1，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.如图2，BD(1)求证：AO⊥平面BCD;(2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为3出点H的位置;若不存在，请说明理由．18.(本小题12分)对于形如“Ax+By+C=γ”的绝对值方程，我们可以考虑将其与点到直线的距离公式：d=(1)设集合U=x,y∣x2+y2≠0,x∈R,y∈R，点P的坐标为x,y，满足“存在a,b∈U，使得ax+by(2)已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标x,y满足关系式4x+y+1=x−3y+1=tx219.(本小题12分)某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设p1(i)求乙连胜两局获得最终胜利的概率；(ii)求比赛结束时乙获胜的概率；(2)若p1+20.(本小题12分)如图1，在抛物线y=x2x>0上任选一动点Px0,y0，可认为其纵坐标y0=x(1)如图3，在拟柱体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=4,EF=12AB，点E到底面ABCD的距离为2(2)已知类似于圆锥的空间几何体Ω具有圆锥的一切对称性，且其顶点为O，底面为π，高为H，将Ω置于空间直角坐标系Oxyz中，使其顶点与坐标原点重合，π与平面xOy平行且π上任意一点坐标均可表示为x0,y0,H.若用任一平行于平面xOy的平面D′截Ω所得的截面的面积与D′到平面xOy的距离ℎ有关系：S=4πℎ,ℎ∈0,H(i)求Ω的体积V关于ℎ的表达式及C在平面yOz中的方程；(ii)在平面yOz中，过点P−2,1作两条互相垂直的弦PA,PB，分别交C于A,B两点，A,B都在第一象限内且A在B的右侧，AO,BO分别交z=−2于M,N两点.设▵MON的面积为S1,▵AOB的面积为S2，当B点的横坐标yB参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.C

6.B

7.D

8.D

9.ABD

10.BD

11.9412.413.2；214.45；4095

15.(1)由条件，取x=0，得到a0取x=1，得到a取x=−1，得到a两式相加得到a0所以a2(2)根据(1)知：a(3x−1)7展开式的通项为：故当r为偶数时，对应系数为正；当r为奇数时，对应系数为负，故a==8256−−8128

16.(1)设线段AB的中点为N，则N0,3因为直线AB的斜率为4−2−1−1所以线段AB的垂直平分线的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y=x+3，由y=x+3y=3x+1得所以圆心M1,4，半径为MA所以圆M的标准方程为x−12(2)因为直线l的倾斜角为π4，所以直线l的斜率为1又直线l经过点C0,4，所以直线l的方程为y=x+4即x−y+4=0，所以点M到直线l的距离为1−4+4所以DE=2

17.解：(1)证明：因为AB=AD，BD的中点为O，所以AO⊥BD，

又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

根据面面垂直的性质可得AO⊥平面BCD；

(2)取DC的中点为M，连接MO，则MO//BC，由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，

BM=CM=1，BD=BC=2，DC=2，∴BD⊥BC，BD⊥OM．

由(1)AO⊥平面BCD，可知OD，OM，OA两两互相垂直，

分别以OD，OM，OA为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，G(24,0,24)，B(−22,0,0)，C(−22,2,0)，A(0,0,22)，

设AH=λAC(0≤λ≤1)，∴H(−22λ,2λ,−22λ+22)

GH=(−22λ−24,2λ,−22λ+24)，GB=(−342,0,−118.(1)因为U=x,yax+by+所以Px,y的轨迹为到直线ax+by=0和bx−ay=0的距离之和不大于4如图：因为a×b+b×−a所以直线ax+by=0和bx−ay=0垂直，不妨设E,F分别为点P在直线ax+by=0,ax−by=0上的投影，则存在a,b∈U，满足OE对OE+OF=4当OE+OF=4因为0≤OE≤4，所以当0<OE+OF因为集合U表示除原点外平面内的点，所以P不能在原点，所以OE≥0，OF≥0，所以OEOF≥0，但OE，所以OP|2=所以P点的轨迹Ω是以原点为圆心，半径在0,4范围内的圆形的内部区域(原点除外)，故Ω的面积为π⋅4(2)由已知得t>0，整理得4x+y+1问题可看成有且仅有三条直线满足A4,1和B1,−3到直线l:xa+yb+1=0(不过原点)的距离又AB=①当t=AB2=52，此时易得符合题意的直线l为线段AB②当t<AB2=52时，有4条直线l注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A到l的距离为d，(i)作为增根被舍去的直线l，过原点和A,B的中点M52,−1，其方程为2x+5y=0(ii)作为增根被舍去的直线l，过原点且与AB平行，其方程为4x−3y=0，此时t=d=13③当t>AB2=52综上，t可取132929

19.(1)(i)P=(1−0.6)×0.6=0.24．(ii)P==0.4×0.6+0.4×0.4×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6×0.4=0.336，(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B为“第一局乙对甲最终乙获胜”，第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，故PA同理可得PBP===p由于p1+p所以PB

20.(1)如图，用平行于底面的平面π截拟柱体ABCDEF得矩形A′B′C′D′，设点E到π的距离为ℎ，由相似的基本定理得矩形A′B′C′D′面积S=ℎℎ+2建立如图的平面直角坐标系ℎOS，由主题干信息得，拟柱体ABCDEF的体积V即函数S=ℎ与ℎ轴正半轴所围成的阴影部分面积，由抛物线的“三分之一”原则：S阴影即拟柱体ABCDEF的体积V=20(2)(2)(i)由主题干信息得，类锥体Ω的体积即底面π的面积S与ℎ轴正半轴