人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算【课件】

6.2.3向量的数乘运算预学案共学案预学案一、向量的数乘❶定义实数λ与向量a的积是一个________记法λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向与a的方向________λ＜0方向与a的方向________向量相同相反【即时练习】判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.(

)(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.(

)(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．(

)(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(

)×××√二、向量数乘的运算律❷设λ，μ为任意实数①λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝________．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．(λμ)aλa＋μaλa＋λbλa－λbλμ1a±λμ2b【即时练习】3(2a－4b)＝(

)A．5a＋7b

B．5a－7bC．6a＋12b

D．6a－12b答案：D解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故选D.三、向量共线定理❸向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.b＝λa

答案：B

2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.

微点拨❶(1)向量数乘仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．(2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．(4)向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)λ倍或缩小(0<λ<1)λ；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)λ倍或缩小(|λ|<1)|λ|.微点拨❷(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义．微点拨❸(1)由a＝λb⇒a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行．若λ＞0，则a与b同向；若λ＜0，则a与b反向．(2)由a∥b⇒a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.(3)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据．共学案【学习目标】

(1)了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(2)理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(3)理解并掌握两向量共线的性质及判定方法．题型

1向量的数乘运算【问题探究1】

(1)如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？(2)λa的几何意义是什么？

例1

(多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(

)A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反B．当λ＝0时，λa与a是共线向量C．|λa|＝λ|a|D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同答案：ABD解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误．故选ABD.

跟踪训练1

设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(

)A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|

D．|－λa|>|λ||a|答案：B解析：对于A中，只有λ<0时，a与λa的方向相反，所以A不正确；对于B中，因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，所以B正确；对于C中，因为|－λa|＝|λ||a|，只有当|λ|≥1，才有|－λa|≥|a|，所以C不正确；对于D中，因为|－λa|＝|λ||a|，所以D不正确．故选B.题型

2向量的线性运算【问题探究2】已知向量a，请通过作图判断以下结论是否成立？你能据此归纳出向量数乘的运算律吗？(1)3(2a)＝6a；(2)(2＋3)a＝2a＋3a；(3)2(a＋b)＝2a＋2b.提示：(1)作图如下：故3(2a)＝6a成立．(2)作图如下：故(2＋3)a＝2a＋3a成立．(3)作图如下：故2(a＋b)＝2a＋2b成立．

题后师说向量线性运算的两种方法

答案：B

解析：原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________(用a，b表示)．

答案：3a＋2b

4a＋3b

题后师说用已知向量表示其他向量的两种方法

答案：D

题型

4向量共线定理【问题探究3】引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？提示：λa与a都是向量，当λ>0时，λa与a方向相同，|λa|＝λ|a|；当λ<0时，λa与a方向相反，|λa|＝|λ||a|.因此λa与a共线．

一题多变本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

答案：B

(2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)平行，则λ＝________．

随堂练习1．10(a＋b)－(a－b)＝(

)A．9a＋9b

B．9a＋11bC．11a＋9bD．11a＋11b答案：B解