2021届中考数学压轴题提升训练：一次函数与反比例函数综合题【含答案】

2021届中考数学压轴题提升训练：一次函数与反比例函数综合题【含答案】【例1】.l：y=ax+bxA(3，0)yB(0，-3)，交反比例函数y于第一象限的点P，点P的横坐标为4.（1）求反比例函数y的解析式；（2）过点P作直线l的垂线l1，交反比例函数y的图象于点C，求△OPC的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵y=ax+bxA(3，0)yB(0，-3)，∴3a+b=0，b=－3，解得：a=1，即l1的解析式为：y=x－3，当x=4时，y=1，即P（4,1），将P点坐标代入y得：k=4，即反比函数的解析式为：y；（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E，D，∵OA=OB=3，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵l⊥l1，∴∠DPB=90°，∴∠ODP=45°，设直线l1的解析式为：y=－x+b，将点P(4,1)代入得：b=5，联立：y=－x+5，y，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即C(1,4)，∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE=×5×5－×5×1－×5×1=.【变式1-1】.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=–x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B（4,2），四边形OABC为矩形，∴OA=BC=2，在y=–x+3中，y=2时，x=2，即M(2,2),将M（2，2）代入得：k=4，∴反比例函数的解析式为：.（2）在中，当x=4时，y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON=4×2－×2×2－×4×1=4，∴S△OPM=4，即·OP·OA=4，∵OA=2，∴OP=4，∴点P的坐标为（4,0）或（－4,0）.【例2】.已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△DBP=27，.（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出x取何值时，一次函数y=kx+3的值小于反比例函数y的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交，∴令x=0，解得y=3，∴D的坐标为（0，3）；（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，∠DCO=∠ACP，∠DOC=∠CAP=90°，∴Rt△COD∽Rt△CAP，∴，OD=3，∴AP=OB=6，∴DB=OD+OB=9，∵S△DBP=27，即＝27，∴BP=6，∴P（6，-6），把P坐标代入y=kx+3，得到k=，则一次函数的解析式为：y＝x+3；把P坐标代入反比例函数解析式得：m=－36，则反比例解析式为：y＝−；（3）联立y＝−，y＝x+3得：x=－4，y=9或x=6，y=－6，即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6），∴当x＞6或－4＜x＜0时，一次函数的值小于反比例函数的值．【变式2-1】.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABDC的顶点D，C在反比例函数y=上（k＞0，x＞0），横坐标分别为和2，对角线BC∥x轴，菱形ABDC的面积为9．（1）求k的值及直线CD的解析式；（2）连接OD，OC，求△OCD的面积．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接AD，∵菱形ABDC的顶点D，C在反比例函数y=上，横坐标分别为和2，∴D(,2k)，C(2,),∵BC∥x轴，∴B(－1，),A(,－k),∴BC=3，AD=3k，∵S菱形ABCD=9，∴×3×3k=9，解得：k=2，∴D(,4)，C(2,1),设直线CD的解析式为y=mx+n，∴m+n=4，2m+n=1，解得：m=－2，n=5，即直线CD的解析式为y=－2x+5.（2）设直线y=－2x+5交x轴、y轴于点F，E，则F(,0),E(0,5)，∴S△OCD=S△EOF－S△OED－S△OCF=×5×－×5×－×1×=，即△OCD的面积为：.【例3】.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2），∵F为AB的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y=的图象上，∴k=3，即函数的解析式为y=；（2）E，F两点坐标为：E（，2），F（3，），∴S△EFA=AF•BE=×（3﹣），=，∴当k=3时，S△EFA有最大值，最大值．【变式3-1】.如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的纵坐标为6，AC＝3CB．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式组＜kx+b＜4的解集；（3）点P（x，y）是直线y＝k+b上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，若△BPQ的面积记为S，求S的最大值．【答案】见解析．【解析】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，则∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，即，解得：BE＝2，CE＝1，∴A（1，6），∴反比例函数解析式为y＝；（2）将A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，即直线解析式为：y＝2x+4，由B（﹣3，﹣2），得不等式组＜2x+4＜4的解集为：﹣3＜x＜0；（3）设P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），则PQ＝﹣m，△BPQ中PQ边上的高为2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，∴S＝•（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，S取得最大值，最大值为．1..如图所示，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A在点B左侧，已知A点的纵坐标为2.（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出x>的解集；（3）将直线y=x沿y轴向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y=x中，y=2时，x=－4，即A(－4,2)，∵反比例函数y=的图象过点A，∴k=－8，即反比例函数的解析式为：y=；（2）联立y=，y=x，解得：x=－4，y=2（点A）；或x=4，y=－2，即B（4，－2），∴x>的解集为：x<－4或0<x<4；（3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接AD、BD，∵CD∥AB，∴△ABC的面积等于△ABD的面积，等于30，∴S△AOD+S△BOD=30，∴·OD·|yA|+·OD·|yB|=30，∴OD=15，即D（15,0），设平移后直线的解析式为：y=x+m，将D（15,0）代入得：m=，即平移后的直线函数表达式为：y=x+.2..如图，已知函数y=（x>0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C在A点的下方），过点C作CD∥x轴，与函数y=（x>0）的图象交于点D，过点B作BE⊥CD于E，E在线段CD上，连接OC、OD.（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(1,2)代入y=得：k=2，∵AC∥y轴，AC=1，∴C(1,1),∵CD∥x轴，D在y=上，∴D(2,1)，∴S△OCD=×1×1=.（2）∵BE=AC，∴BE=,∵BE⊥CD，∴点B的纵坐标为，∵B点在函数y=上，∴B(，)，∴CH=－1=，∵DH=1.5,∴CD=+1.5，在Rt△CDE中，∠CED=60°，∴CE==4+（米）.3..如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（不与A、B重合），过点F的反比例函数y=（k>0）的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB边的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积为？【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，AB=OC=2，BC=OA=3，∵F是AB中点，∴F(3，1)，将F(3，1)代入y=得：k=3，即反比例函数的解析式为：y=.（2）由图象知，点F位于B点下方，B(3,2)，∴当x=3时，y<2，即k<6，∴0<k<6，由题意知，F点横坐标为3，即F(3,)，同理，得E点坐标为（，2），∴S△EFA=∴解得：k=2，或k=4，当k为2或4时，△EFA的面积为.4..如图，A，B分别在反比例函数y（x＜0）和y（x＞0）的图象上，AB∥x轴，交y轴于点C．若△AOC的面积是△BOC面积的2倍．（1）求k的值；（2）当∠AOB=90°时，直接写出点A，B的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB∥x轴，∴S△AOC=，S△BOC=，∵△AOC的面积是△BOC面积的2倍，∴=，∴k=2（舍）或k=－2.即k的值为：－2.（2）∵∠AOB=90°，∠ACO=90°，∴∠A+∠ABO=∠B+∠BOC=90°，∴∠A=∠BOC，∴△AOC∽△OBC，∵△AOC的面积是△BOC面积的2倍，∴,设B(a，)，∴=a，解得：a=或a=－（舍），即B(1,),∴A(－2，).5.（2019·周口二模）如图，点A(-2，a)，C(3a-10，1)是反比例函数（x＜0）图象上的两点．（1）求m的值；（2）过点A作AP⊥x轴于点P，若直线y=kx+b经过点A，且与x轴交于点B，当∠PAC=∠PAB时，求直线AB的解析式．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点A(-2，a)，C(3a-10，1)是反比例函数上，∴－2a=3a－10，解得：a=2，∴A(-2,2),C(-4,1)，∴m=-4；（2）分两种情况讨论：①当点B在AP左侧时，∵∠PAC=∠PAB，∴A、C、B三点共线，将A(-2,2),C(-4,1)代入y=kx+b，并解得：k=，b=3，即直线AB的解析式为：y=x+3；②当点B在AP右侧时，∵∠PAC=∠PAB，∴此时直线AB与①中的直线AB关于直线AP成轴对称，此时k=-，将（-2,2）代入y=-x+b，得：b=1，即直线AB的解析式为：y=-x+1；综上所述，直线AB的解析式为：y=x+3，y=-x+1.6.如图，已知双曲线y=经过点B（3，1），点A是双曲线第三象限上的动点，过B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC．（1）求k的值；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的解析式；（3）在（2）的条件下，写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）把B（3，1）代入y=中得，∴k=3，（2）设△ABC中BC边上的高为h，∵BC⊥y轴，B（3，1），∴BC=3，∵△ABC的面积为6，∴BC•h=6，解得：h=4，∴点A的纵坐标为﹣3，把y=﹣3代入y=，得：x=－，即A（﹣，﹣3），设直线AB的解析式为：y=mx+n，把A（﹣，﹣3）和B（3，1）代入y=mx+n，并解得：m=，b=－2，∴直线AB的解析式为y=x﹣2.（3）由图象可得：x＜﹣或0＜x＜3.7..如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（2，6）和B（m，1）（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．【答案】（1）y=﹣x+7，y=；（2）见解析.【解析】解：（1）把点A（2，6）代入y=，得k=12，即反比函数解析式为：y=．∵点B（m，1）在y=上，∴m=12，即B（12，1）．∵直线y=﹣x+b过点A（2，6），∴b=7，∴一次函数的表达式为y=﹣x+7．∴答案为：y=﹣x+7，y=．（2）设直线AB与y轴交于点P，点E的坐标为（0，a），连接AE，BE，则点P的坐标为（0，7），∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，∴×|a﹣7|×（12﹣2）=5，∴|a﹣7|=1，解得：a=6或a=8，即点E的坐标为（0，6）或（0，8）．8..如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，在y=﹣x+3中，当y=2时，x=2，∴M（2，2），将x=4代入y=﹣x+3得：y=1，∴N（4，1），∵反比例函数y=的图象经过点M（2，2），∴k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4；∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，∴OP×AM=4，而AM=2，∴OP=4，∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．9..如图，直线y＝kx+b与反比例函数y=的图象分别交于点A（﹣1，2），点B（﹣4，n），与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A（﹣1，2）代入y=，得m＝﹣2，∴反比例函数解析式为：y＝．将B（﹣4，n）代入y＝中，得：n＝；B点坐标为（﹣4，）．将A（﹣1，2）、B（﹣4，）代入y＝kx+b中，得：-k+b=2，-4k+b=，解得：k=，b=，∴一次函数的解析式为y＝x+；（2）在y＝x+中，当y＝0时，x＝﹣5，∴C（﹣5，0），即OC＝5．S△AOC＝S△AOC﹣S△BOC＝•OC•|yA|﹣•OC•|yB|＝．10..如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝12，即反比例函数解析式为：y＝；（2）如上图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC＝4，AC＝3，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA＝5，∵AB∥x轴，AB＝OA＝5，∴点B的坐标为（9，3）；（3）∵B（9，3），∴可得OB所在直线解析式为y＝x，联立：y＝x，y＝，解得：x=6，y=2或x=-6，y=-2（舍），∴P（6，2），如上图所示，过点P作PD⊥x轴于D，∴S△OAP＝S梯形PDCA=5．11..如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）交于第二、四象限的A，B两点，过点A作AD⊥y轴于点D，OD=3，S△AOD=3，点B的坐标为(n，-1)．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出的自变量x的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵AD⊥y轴，OD=3，∴S△AOD=OD·AD，S△AOD=3∴AD=2，即A(-2,3),将A(-2,3)代入中，得：k=-6，即反比例函数解析式：.当y=-1时，x=6，即B(6,-1)，将A(-2,3),B(6,-1)代入y=ax+b得：-2a+b=3,6a+b=-1,解得：a=，b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2.（2）观察图象可知，的解集为：x≤-2或0<x≤6.12..如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝（k≠0）相交于A，B两点，且点A的横坐标是3．（1）求k的值；（2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双曲线y＝（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝x﹣2中，当x＝3时，y＝1，∴A（3，1），∵点A（3，1）在双曲线y＝上，∴k＝3；（2）联立y＝x﹣2，y＝，解得：或，即B（﹣1，﹣3），如下图所示：当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣3＜n＜0．13..如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．【答案】见解析．【解析】解：（1）反比例函数y＝图象经过点（1，4），∴m＝4，即反比例函数的表达式为：y=.∵反比例函数的图象过点Q（﹣4，n），∴n=－1，∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点Q（﹣4，－1），∴b=－5，即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣5；（2）联立y＝﹣x﹣5，y=，解得：x=－4，y=－1或x=－1，y=－4，∴P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，当y＝0时，x=﹣5，∴点A（﹣5，0），∴S△OPQ＝S△OPA﹣S△OAQ＝＝．14..如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵S△ABC＝•BC•（xA－xB）=×2×（2﹣n），∴×2×（2﹣n）=5，即n=－3，∴A（2，3），B（﹣3，﹣2），∴k2＝6，即反比例函数的解析式是y＝.把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y＝k1x+b得：，解得：k1＝1，b＝1，即一次函数的解析式是y＝x+1；（2）∵当﹣3＜x＜0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴不等式k1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；（3）在y＝中，当x>0时，y随x增大而减小；当x>0时，y>0，当x=－2时，y2=－3，即Q（－2，－3）∴若y1≥y2，实数p的取值范围是：p≤﹣2或p＞0.15..如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．【答案】见解析．【解析】解：解：（1）把A（﹣1，n）代入y1＝﹣2x，得n＝2，∴A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y2＝，可得k＝﹣2，∴反比例函数的表达式为y2＝﹣，由反比例函数图象性质，知点B与点A关于原点对称，∴B（1，﹣2）．（2）由图象可知，y≤2时自变量x的取值范围是：x＜﹣1或x＞0；（3）过B作BM⊥x轴于M，过P作PN⊥x轴于N，∵S梯形MBPN＝S△POB＝1，设P（m，﹣），则（2+）|m﹣1|＝1，解得：m＝或m＝，综上所述，P点的横坐标为或．16..如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．【答案】见解析．【解析】解：（1）过点D作DE⊥y轴于E，∵点D的坐标为（4，3），∴DE＝4，OE＝3，由勾股定理得：OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为（4，8），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝32；（2）由D(4，3)知，当平移后落在y＝的图象上，则y=3，即=3，即x=，∴平移的距离为：－4=，即菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为.17..如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF＝12，CF＝13．（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；（2）求四边形OAFC的面积？【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得：点B（3，4），点D（3，2），将D（3，2）代入，得k＝6．即反比例函数的解析式为；在中，当y=4时，x=，即E(，4)，设直线OE的解析式为：y＝mx，将（，4）代入得：m＝，即直线OE的解析式为y＝x；（2）连接AC，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝4，由勾股定理得：AC＝5，∵AF＝12，CF＝13．∴AC2+AF2＝CF2，∴∠CAF＝90°，∴S四边形OAFC＝S△OAC+S△CAF＝×3×4+×5×12＝36．18..如图，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A的横坐标为4．（1）求反比例函数的解析式；（2