2024届安徽省合肥市某中学、合肥十中高三年级下册第二次诊断考试数学试题试卷

2024届安徽省合肥市七中、合肥十中高三下学期第二次诊断考试数学试题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，若输入〃=lnl0,b=lge,则输出的值为（）

A.0B.1C.21geD.21gl0

2.下列不等式成立的是（）

.1.1

c.bg.vlog/D.

2不3£2

3.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又

称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（D）,

类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个

大正六边形，设4/'=2尸幺，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）

D

4.数列况｝的通项公式为/二|〃—d（〃eN）贝代c<2”是“｛凡｝为递增数歹小的（）条件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D,即不充分也不必要

22

5.已知椭圆£+｝=（，>八°）的焦点分别为小其中焦点用与抛物线丁=2川的焦点重合'且椭圆与抛

物线的两个交点连线正好过点用，则椭圆的离心率为（）

A.—B.V2-1C.3-2&D.73-1

2

7—1

6.设复数z满足——=i,贝ljz=（）

Z+Z

A.1B.-1C.I-ZD.1+/

7.关于圆周率不，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通

过下面的随机模拟方法来估计乃的值：先用计算机产生2000个数对（X,），），其中X,都是区间（0,1）上的均匀随机

数，再统计工，能与1构成锐角三角形三边长的数对（X,），）的个数〃？；最后根据统计数加来估计不的值.若m=435,

则,的估计值为（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

8.若x+W*,ywR）与」互为共匏复数，则x+y=（）

I-/

A.0B,3C.-1D.4

9.己知四棱锥E-A8co，底面45CZ）是边长为1的正方形，石。=1,平面ECOJ_平面A5CD,当点。到平面43E

的距离最大时，该四棱锥的体积为（）

&61「五n1

A•B•Cz•lz«1

633

10.已知随机变量X的分布列如下表:

X-101

Pahc

其中“，b,c〉o.若X的方差o（x）wg对所有。«0,1-3都成立，则（）

,I,2,1D.2|

A./?<-B.b<-C.b>-

333

11.集合4={x|x—2W0},B=N,则AB=()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

12.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为100cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

(附：y5yl.414,6*1.732,逐=2.236)

A.22个B.24个C.26个D.28个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.平面向量Q与0的夹角为餐同=1，网=1，，则|3。-2〃=.

14.若函数/（x）=sin2x+cos2x在也,］和⑶几对上均单调递增，则实数团的取值范围为.

15.若复数z满足刍=2+i,具中i是虚数单位，则z的模是_____.

1

16.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

।3

X=1+-Z

17.（12分）在直角坐标系xO），中，直线/的参数方程为」5A（/为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴

,4

y=1+—r

r5

为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕2=,2,点尸的极坐标为［夜,

l+sin~ek4；

（1）求C的直角坐标方程和P的直角坐标；

（2）设/与。交于A,3两点，线段A3的中点为M,求归闾.

18.(12分)已知函数/(x)=o+21nx,/(x)Wox.

（1）求。的值;

⑵令g（©=亚q在（七十功上最小值为，证明：6＜/（/??）＜7.

x-a

19.（12分）已知椭圆C:£+器=l（a〉b〉O）与x轴负半轴交于A（—2,0）,离心率e=；.

（1）求椭圆。的方程；

（2）设直线/：y=丘+机与椭圆C交于”（小）［）,%（毛,%）两点，连接4也AN并延长交直线x=4于

/、/、1111

七（巧,力）,尸（巧，乂）两点，若了+丁二丁十1，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是,

请说明理由.

20.（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为夕=，.（厂＞0）,直线/的方程为「cos10+7）=&.设直线/与

曲线C相交于A,8两点，且A8=2d7,求r的值.

21.（12分）已知函数,f（x）=lnx.

（1）设g（x）=/里，求函数g（x）的单调区间，并证明函数g（“有唯一零点.

（2）若函数加好="-寸*-1）在区间iu+/）上不单调，证明：

'7a。+1

22.（10分）如图，三棱锥P-A8C中，PA=PB=PC=6,CA=CB=RACYBC

（1）证明：面443_1_面43。；

（2）求二面角C—Q4-6的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解题分析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.

【题目详解】

输入a=lnlO,Z?=lge,

因为lnl0>l>lge,所以由程序框图知,

输出的值为。一:二皿10-J-=lnlO-lnlO=O.

bIge

故选：A

【题目点拨】

本题考杳了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.

2.D

【解题分析】

根据指数函数、对数函数、哥函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【题目详解】

对于A,0<—<一,sin—<cos—,4错误；

2422

对于4,),=(()在R上单调递减，.•.(；)<(g

4错误;

对于C,・・・log'=log23>l,logi=log32<l,log,|>log)C错误;

i3522332

1I

对于0,.・.),=%在/?上单调递增，.・.付)>0，Q正确.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和塞函数的

单调性.

3.D

【解题分析】

设A尸二。，贝IJA'尸'=2。，小正六边形的边长为A'尸'=勿，利用余弦定理可得大正六边形的边长为=再

利用面积之比可得结论.

【题目详解】

由题意，设A尸'=。，则Ab'=2a,即小正六边形的边长为AF=2〃，

所以，FF'=3a,ZAFrF=-,在AA尸户中，

3

由余弦定理得AF2=AF,2+FF2-2AFFFCOSZAF'F,

即人尸=々2+（3〃）2—2〃3〃〈os工，解得人尸=缶，

3

所以，大正六边形的边长为A”=缶，

所以，小正六边形的面积为S.=—x26,x2axx24-2^zx2\/3a=6\/3a2,

22

大正六边形的面积为S?=gxJ7ax】gx2+gax=二!^8/,

nH4

所以，此点取自小正六边形的概率0=肃=亍.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

4.A

【解题分析】

I3

根据递增数列的特点可知q用-。”>（）,解得。<〃+不，由此得到若｛qJ是递增数列，则。<不，根据推出关系可确

定结果.

【题目详解】

若”｛4｝是递增数列”，则=|«+l-6*|-|/?-c|>0,

即+>（〃一，化简得：C<n+^,

133

又〃wN*，•,*>，。<二，

222

则c<2&m｝是递增数列，｛%｝是递增数列=cv2,

“c<2”是“｛q｝为递增数列”的必要不充分条件.

故选：儿

【题目点拨】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.

5.B

【解题分析】

〃〔再利用/一即可求解.

根据题意可得易知。=!，且4

,解方程可得

2a

p2b2+4〃2。2=4a2b2/=电把

2

【题目详解】

a2-b2=-^-

4

易知c=4,且，4=>

2P/2+4〃2。2=4//

p~

2

故有=靛=3—2&,贝1J«二,3-2==42-1

故选：B

【题目点拨】

本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题

6.B

【解题分析】

利用复数的四则运算即可求解.

【题目详解】

7—I

由-——=i=z-i=i(z+i)=(l-i)z=i-l=z=-l.

Z+Z

故选：B

【题目点拨】

本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.

7.B

【解题分析】

先利用几何概型的概率计算公式算出%)'能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到五，)'

能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出乃.

【题目详解】

因为刀，了都是区间(0,1)上的均匀随机数，所以有0vx<i,0<><1,若X,y能与1构成锐角三角形三边长，

x+y>iIx1，.一

则，\I，由几何概型的概率计算公式知p4、兀m435,

〔）1X14n2000

435

所以）=4x（l一痛）=3.13・

故选：B.

【题目点拨】

本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.

8.C

【解题分析】

计算业=1+2"由共视复数的概念解得即可.

1-/

【题目详解】

V—=1+2/,又由共枕复数概念得：x=l,y=-2,

1-z

:.x+y=-\.

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查了复数的运算，共枕复数的概念.

9.B

【解题分析】

过点E作EH上CD,垂足为"，过〃作彼JLAB,垂足为广，连接因为C。//平面A3E,所以点C到平面

A5E的距离等于点”到平面ABE的距离〃.设将〃表示成关于。的函数，再求函数的最值,

即可得答案.

【题目详解】

过点E作E〃_LCD,垂足为H,过H作HF上AB,垂足为尸，连接EE

因为平面ECO_L平面45c。，所以硝_1_平面ABC。，

所以EH上HF.

因为底面A5CO是边长为1的正方形，HF//AD,所以“/=AQ=L

因为CDU平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.

易证平面EF”J_平面48E,

所以点〃到平面A8E的距离，即为“到E尸的距解〃.

不妨设/6石=。（0＜夕＜'）,则七H=sin〃，EF=dl+sH。.

因为SEHF=g.EFh=gEHFH,所以〃.Jj7而万=sin6,

_sin0_1（应

所以石*7="p~J-T，当e=W时，等号成立・

Ns"一

2

此时E”与ED重合，所以硒=1,VE_^CD=ixlxl=l.

故选：B.

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，

求解时注意辅助线及面面垂直的应用.

10.D

【解题分析】

根据X的分布列列式求出期望，方差，再利用4+〃+c=l将方差变形为Q(X)=-4。/-三)+1-6,从而可以利用二

次函数的性质求出其最大值为\-bW进而得出结论.

【题目详解】

由X的分布列可得X的期望为£(X)=-。+c,

又4+C=1,

所以X的方差O(X)=(-l+a—c1a+(a-c)2b+(l+a-c)2c

=(fl-c)~(a+Z?+c)-2(a-c)~+a+c

=-(«-c)-+a+c

=-(2rt-l+Z?)?+1-b

A(1-垃..

=-4a-----+1-b,

I2J

因为〃£(O,l-b),所以当且仅当〃=?时,D(X)取最大值「儿

又。(X)《g对所有。«0,l—。)成立，

I?

所以1—607,解得

33

故选:D.

【题目点拨】

本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法，结合了概率、二次函数等相关知识，需要学生具备一定的计算能力,属于中

档题.

11.D

【解题分析】

利用交集的定义直接计算即可.

【题目详解】

A={x\x<2}t故4[B={0,l,2},

故选：D.

【题目点拨】

本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.

12.C

【解题分析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为5五cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为0O+5ji(〃-l"cm,

得到不等式1。+5虚(〃-l)W100,计算得到答案.

【题目详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，框邻的四个球的球心连线构成棱长为l()cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为50cm,每装两个球称为“一层”，这样装〃层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为00+50(〃-1))cm,

若想要盖上盖子，则需要满足10+505-1）£100,解得〃工1+9企才13.726,

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【题目点拨】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

二、填空题，木题共4小题，每小题5分，共20分。

13.V13

【解题分析】

由平面向量模的计算公式，直接计算即可.

【题目详解】

因为平面向量。与〃的夹角为二，所以

2

所以pa-2。卜桃『+4此一12a..=V13；

故答案为JI5

【题目点拨】

本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.

5冗冗、

以匕，不

244

【解题分析】

化简函数，求出/（力在［0,句上的单调递增区间，然后根据/（无）在0,y和［3加，句上均单调递增，列出不等式求

解即可.

【题目详解】

由f(x)=sin2.x+cos2x=叵sin(2.r+工)知,

4

.，乃上单调递增,

当不£［0,句时，/（X）在［0,。和

OO

・."（%）在0,-和［3帆，句上均单调递增,

乙

-m-\--7-i

2一8

5乃，

3m>——

8

/兀

—54W,加W一,

244

「•〃?的取值范围为：—.

244

I「f+、,57r7i

故答案为：T—»—・

|_244J

【题目点拨】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于小的方程组，属中档题.

15.非

【解题分析】

先求得复数Z,再由复数模的计算公式即得.

【题目详解】

v-=2-Fi,

i

.•.z=2i+i2=-l+2i，则国=石・

故答案为：下

【题目点拨】

本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题.

16.—

2

【解题分析】

将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.

【题目详解】

如图所示，将正四面体补形成一个正方体，

则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球，

因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为上，

2

设球的半径为R,因为球的直径是正方体的对角线,

所以球的表面积为s=4»R2=4»X（苧2=手.

【题目点拨】

本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的

直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基

础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

255

17.（1）—v+/=1,（1,1）（2）\PM=—

【解题分析】

（1）利用互化公式把曲线。化成直角坐标方程，把点尸的极坐标化成直角坐标；

（2）把直线，的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数，的几何意义可得.

【题目详解】

2r2

（1）由「=不福得*P03=2,将p-2,产所8代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为E+V

=1,

设点尸的直角坐标为（x,y）,因为尸的极坐标为（血，

4

所以x=pcos0=5/2cos^=1,j=psin0=&sin?=1,

所以点尸的直角坐标为（L1）.

।3

X=14—/,

5V-

(2)将;代入二+J，2=1,并整理得41P+U0什25=0,

.42

y=\+—t

5

因为△=11（）2・4X41X25=8000>0,故可设方程的两根为A,h,

110

则fl,f2为A,8对应的参数，且力+力二,一

41

依题意，点M对应的参数为空久，

2

所以|PM|=|"^|二^!.

【题目点拨】

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题.

18.(1)4=2;(2)见解析.

【解题分析】

(1)将/(幻Wat转化为。一依+21nxW0对任意x>0恒成立，h(x)=a-ax+2\nxt故只需力(刀)“做W。，即可求

出〃的值；

(2)由(1)知g(x)=2八十2八p八(x>2),可得g'(x)=2aJ?：4),令=x-21nx—4,可证时)£(8,9),

x-2{x-2)~

使得S(/)=。，从而可确定g(X)在(2/。)上单调递减，在(X。,+8)上单调递增，进而可得g(X)mm=g(%)=Xo,即

团=%,即可证出f(m)=/(%)=2+2In%%-2£(6,7).

【题目详解】

函数/(力的定义域为(。,+8),因为力))《如对任意x〉0恒成立，

即21nxW0对任意x>0恒成立，

令〃(x)=a-ar+21nx,则〃⑺=-q+2=仆+2,

xx

当时,/Z(x)>0,故〃(x)在(0,+8)上单调递增，

又抑1)=0,所以当x>l时,2x)>版。=0,不符合题意；

2

当。>0时，令〃'(x)=0得x=一，

a

22

当0<x<一时，/Z(x)>0；当上>一时，//(x)<0,

aa

(2\(2}

所以〃“)在0,一上单调递增，在一,+8上单调递减，

\a)\ctJ

,2、22

所以〃(幻1皿=〃—=。-a•一+2hi—=。-2+2In2-2Ina,

\a)aa

所以要使〃(x)WO在x>0时恒成立，则只需4(x)皿WO,即a-2+21n2-21na40,

令尸(a)=a-2+21n2—21na,a>0,

所以F'(a)=l—女2=a~-2,

aa

当0<a<2时，b'(a)vO；当。>2时，F(tz)>0,

所以F(a)在(0,2)单调递减，在(2,+s)上单调递增，所以Ra)NF(2)=0,

即a-2-21n2-21n〃N0,又。一2+21n2-21naK0,所以4-2+21n2-21n〃=0,

故满足条件的。的值只有2

、xf{x)2x+2xlnx小g、i，/、2(x-21nx-4)

(2)由(1)知g(x)=上==----------(x>2),所以g(x)=---十一,

x-ax-2(x-2)

9X-2

令5。)=%—2111X一4,贝ijs'(x)=l——=----,

xx

当x>2,时s'(x)>0,即S(x)在(2,48)上单调递增；

又s(8)v0,s⑼>0,所以叫《(8,9),使得s(%)=o,

当2<“<:々)时，s(x)<0；当x>x()时，s(x)>0,

即g(x)在(2,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，且%-21n%-4=0

2%)+2XQInXQ2Ao+x0(x0-4)_x1-2x0

所以gOOmin=g®)=%)，

%—2玉一2占一2

即〃2=/，所以/Q〃)=/(Xo)=2+21n_r()=/一2w(6,7),即6v/(〃z)v7.

【题目点拨】

本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第⑵问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同

时考查转化与化归的思想，属于中档题.

19.(1):+]=1(2)直线MN恒过定点(1,0),详见解析

【解题分析】

(1)依题意由椭圆的简单性质可求出〃/，即得椭圆C的方程;

(2)设直线AM的方程为：工二乙)，-2,联立直线AM的方程与椭圆方程可求得点M的坐标，同理可求出点N的坐

标，根据的坐标可求出直线MN的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标.

【题目详解】

।22

（1）由题有。=2,e=£=二=・・・。2=/一。2=3.・・・椭圆方程为三+匕二

a243

x=-2

(2)设直线AM的方程为:『y-2,贝心2=>(3^+4)/-12^=0

143

八一⑵c12Ac6r.2-8r6/；-8⑵，

・・・)'=°或,=许'"二5一2"声-2=而'同理当=药，*赤

,6/6，16、1111

当冬=4时，由&=，r_2有%=「・•・£4,一,同理/4,一「又一十一=_+一

4Vt})t2)%>2%>4

.3f；+4।3$+4/|J=(。+，2)(3，4+4)=:

…12r,\2t266’12格-6

当乙+4工。时，，也=-4・・・直线MN的方程为）-X=9(iJ

12?,_⑵2

121_334-31+43]n），12r,_46彳-8

0)'

；「一3，；+4）

3r+46/8—83彳+4+t23f：+4

3彳+4-31+4

士戈.上.-+旦二上工—4（乎二4）_=,

2

八十，24+，23f：+43片+4t1+t2（3r1+4）（r1+/2）tx+t2

，直线MN恒过定点（1,0）,当乙+%=0时，此时也过定点（L0）..

综上:直线MN恒过定点（1,0）.

【题目点拨】

本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考

查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题.

20.r=3

【解题分析】

先将曲线。和直线/的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.

【题目详解】

以极点为坐标原点，极轴为X轴的正半轴建立平面直角坐标系工Ov,

可得曲线C：P=r（r>0）的直角坐标方程为一+）,2=，，表示以原点为圆心，半径为「的圆.

由直线I的方程pcosh9+-=V2,化简得pcos6>cos--psin6sin-=>/2,

I4J4444

则直线/的直角坐标方程方程为x-y-2=0.

记圆心到直线，的距离为d,则4=裳=后,

又r=d?+f竺］,即r=2+7=9,所以尸一3.

I2）

【题目点拨】

本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.

21.（1）X£（0,五）为增区间；X£（&,+OQ）为减区间.见解析（2）见解析

【解题分析】

（1）先求得月（工）的定义域，然后利用导数求得？（工）的单调区间，结合零点存在性定理判断山g（x）有唯一零点.

（2）求得力（X）的导函数月（X）,结合〃（X）在区间（1,1+浮）上不单调，证得1+-〃—lna>a,通过证明

—+—>\+e~a-\na,证得白+^—>〃成立.

a。+1a。+1

【题目详解】

（1）,・,函数g（x）的定义域为（0,+8）,由g'（%）=上芈>0,解得；V£（0,&）为增区间;

A

由，。）=匕詈<0解得了£（五,+8：|为减区间.

下面证明函数只有一个零点：

-HvO,gg总>0,所以函数在区间（0,⑻内有零点,

VA->+0O