2023-2024学年北京某中学高三数学理一轮复习诊断考试含解析

2023年北京第七中学高三数学理一轮复习诊断考试含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.设了“）是定义在R上的奇函数，当xS呻（x）=2.->,则/3=

A.13B.一

1C.1D.3

参考答案：

A

略

2.在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，a、0为不同的两个平面）

①m_La,n〃a?m±n

②m〃n,n〃a?m〃a

③m〃n,n±3,m〃a?a_LB

④mCln二A,m〃a,m〃B,n//a,n〃B?a〃B

其中正确的命题个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

参考答案：

C

【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系.

【分析】根据线面垂直、线面平行的性质，可判断①；由m〃n,n〃a?m〃a或m?a可

判断②；

③根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判

断③

④由已知可得平面a,B都与直线m,n确定的平面平行，则可得a〃B,可判断④

【解答】解：①由线面垂直及线面平行的性质，可知m_La,n±a得巾〃储故①正确；

②m〃n,n//a?m//a或口？a,故②错误

③根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若

m〃n,n±P,则m_LB,又小〃^!?。，。，故③正确

④由mAn=A,m//a,n//a,m//B,n〃B可得平面a,B都与直线m,n确定的五面

平行，则可得a〃B,故④正确

综上知，正确的有①③④

故选C

【点评】本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系，考查了线线平行与线线垂直的条

件，解题的关键是理解题意，有着较强的空间想像能力，推理判断的能力，是高考中常见

题型，其特点是涉及到的知识点多，知识容量大.

/V2

2A-y=1(。>。力>0)

3.己知抛物线丁=4彳的准线过双曲线Jy'的左焦点且与双曲线交于

3

A、B两点，0为坐标原点，且AAOB的面积为5,则双曲线的离心率为

3

A.2B.4C.3D.2

参考答案：

D

4.已知全集U二口|工>0},A/=(x|/<2x),则G"=

A.{”C2}B,{^\x>2}c,3x40或x22}D.

{x|0<x<2}

参考答案:

A

略

5.函数了㈤:1nx有两个不同的零点，则实数。的取值范围是

C.卜"）D.（TN）

参考答案：

B

6.如果数列SJ（4€R）对任意稼/WN*满足/+.=%•%,且%=8,那么。10等于

（）

A.1024B.512

C.510D.256

参考答案：

A

7.如图，网格上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体是体

积为（)

A.6C.12D.18

参考答案:

B

8.关于函数(XGR)的反函数，正确的

是)

J—4-2,x>0

小/"2"之。尸⑶

(A)有反函数

[V4-X>2.X<0(B)有反函数

广⑶1场2.出。

(C)有反函数“Tin

(D)无反函数

参考答案:

B

anaIcosa=?ae(a»).

9.已知5'，则Eia=(

43

A,方

B.4

43

C.3D.彳

参考答案:

A

试题分析：由题设(sina+cosa)a=—,^J2sinacosa=--,i^(sioa-cosa)2=1+—=—,SrtA

25252525

7i„434

sina—cosa,与sioa+cosa=—联IZ解之可得sina=—,cosa=——,故tana,应选A.

55553

考点：同角三角函数的关系及运用.

10.三棱锥P-ABC中,PA_L平面ABC,ACXBC,AC=BC=1,PA=5P,则该三棱锥外接球的

表面积为()

B.&

A.5”C.20”

D.4%

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三楼锥称之为鳖嚅(bienao).已知

在鳖麻"-/6C中，心1平面加C,UA=AB=BC=2,则该鳖脯的外接球的表面积

为.

参考答案：

12M

12.不等式X2-5X+6^0的解集为.

参考答案；

{x|2<x<3)

由X2-5X+6W0,得*-9(X-2)M0,从而的不等式X2-5X+6《0的解集为

{x|2W3)

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.

13.执行右边的程序框图，若P=1°,则输出的5=

开始~

/输入p«7

参考答案:

81

由程序框图可知该程序是计算$=1+3+…+（方一］）.当P=10时，由月+1210得

(1+17)X9_

S=1+3+…+(2x97)---------ORI1

力29,所以所求的2

14,对于三次函数/⑶二一+我+cx+d（a*0）,给出定义设f（彳）是函数y=/㈤

的导数，广⑶函数八力的导数，若方程/'«）=°有实数解%,则称点（/J5））为

函数y二/«）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐

点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数

/(x)=-x5--+3彳一2

3212请你根据上面探究结昊，解答以下问题:

/(x)=-xJ--x3+3x--

(I)函数3212的对称中心坐标为

1、2、3、./,2012、

j(-----)♦，(------)+j(-----)+…♦J(------)

(2)计算2003201320132013=

参考答案:

(二.1)

对称中心2......3分；20122分

略

a&Q马cos(cv--)=—$in(--=--/,

15.若2,22,22,则8式仁+向的值等于_

参考答案：

,2

2

16.如图，3。是半径为2的圆。的直径，点户在3c的延长线上，刃是圆。的

切线，点力在直径3c上的射影是OC的中点，则/触尸二；

PBPC=

参考答案:

H12

6'"

点A在直径BC上的射影E是0C的中点，可得々。？=6（7,所以N3F=30\在

RtLAOP^,AP=2出,所以由切割线定理可得做箕*=力2=（2回2=12。

3335J53

17.观察下列等式：；p♦2+3・6、1+2+3+4-10；...,根据上述规

律，第界个等式为.

参考答案：

口+2$+）2）1

2

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.某校为了了解A,B两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长，分别从这两个班

中随机抽取5名学生进行调查，将他们观看的时长（单位：小时）作为样本，绘制成茎叶

图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.

（1）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时

间较长；

（2）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a,从B班的样本数据中随

机抽取一个不超过21的数据记为b,求a>b的概率.

4班3班

90

41112

02156

13

参考答案:

【考点】茎叶图.

【分析】（1）计算A、B班样本数据的平均值，比较即可得出结论;

(2)由A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，

B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个；

利用列举法求出从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个的基本事件数，计算对应的概

率.

【解答】解：(1)A班样本数据的平均值为5(9+11+14+2°+31)二”，

由此估计A班学生平均观看时间大约为17小时；

B班样本数据的平均值为8(1：1+12+21+25+26)=",

由此估计B班学生平均观看时间较长；

(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个,分别为：9,11,14；

B班的样本数据中不超过21的数据b有3个，分别为：11,12,21：

从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：

(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),

(11,21),(14,11).(14,12),(14,21)；

其中a>b的情况有(14,11),(14,12)两种，

_2

故a>b的概率为P=§.

19.(12分)

其

设A,8为曲线C：)=4上两点，A与3的横坐标之和为4.

(1)求直线A8的斜率；

(2)设M为曲线。上一点，C在何处的切线与直线平行，且求直线A8

的方程.

参考答案：

(1)

设牛1M.夙1Tjj,

心口"彳=*=1

则!-4巧4

斗■/小

(2)设I4),则C在M处的切线斜率X~X»2

..”2

则43),又AM1BM,

LiV-i

工«A_QJ—

"2"2…"2

二a-2肛短)=乜口或仁"4_]

1616

即ygf卜”・。

又设AB：y=x+m

代入/1/

得/.也-仁一。

3+X,¥T=T»

-4m+8+20=0

.,•m=7

故AB：x+y=7

/(x)=(l+l)[l+ln(x+l)]

20.(本小题12分)已知函数x,设

g(x)=?/f(x)(x>0)

(1)是否存在唯一实数aw(九州+1),使得g(a)=O,若存在，求正整数m的值;

若不存在，说明理由。

(2)当x>0时，/(x)>*恒成立，求正整数n的最大值。

参考答案:

解：⑴由"?'得gW=x-l-ln(x+l)(x>0),

则*1'因此g。)在(OR内单调递增。

4分

因为以2);l-E3<0,g(3)=2(l-ln2)>0,

即g(x)=0存在唯一的根ae(23),于是掰=2,6分

(2)由/*)>片得，且xe©"Ko)恒成立，由第(1)题知存在唯一的实

数ae(2»3),使得g(a)=O,且当时，以力<0,/'(x)<0；当x>a时，

g(x)>0J'(x)>0,因此当x=«时，/(>)取得最小值

/⑷=(a+12MM"明

a....................9分

由g(a)=0,得aT-ln(a+l)=0,即1+Eg+l)=a,于是/(a)=a+l

又由得〃a)e(3,4),从而月43,故正整数n的最大值为3。12

分

21.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为

坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫.此帮扶单位为了了解某地区贫

困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如

下：

贫困户贫困户贫困户贫困户

评分评分评分评分

编号编号编号编号

178118821793193

273128622833278

381139523723375

492147624743481

595159725913584

685167826663677

779178827803781

8841«82288338/6

963197629743985

1086208930824089

用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本，且在第•分段里随机抽到的评分数

据为92.

（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；

（2）计算所抽到的10个洋本的均值G和方差

（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在（了一品竟之间，则满意度等级为X

级”.运用样本估计总体的思想，现从（I）中抽到的10个样本的满意度为“级”贫困户中

随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度均评分均“超过80”的概率.

（参考数据：麻”5.他、33，5.7<05“5力）

参考答案：

3

（1）92,84,86,78,89,74,83,78,77,89；（2）83,33；（3）10.

【分析】

（1）根据系统抽样的规贝I，第一组编号为4,则随后第九组编号为4号好-1）,即可确定

系统抽抽取的样木编号，从而得到对应的样木的评分数据.

（2）利用平均数公式以及方差公式即可求得.

（3）先确定样本中符合月级的人数以及A级的人当中80分以上的人数，利用古典概型公

式即可求出对应概率.

【详解】(1)通过系统抽抽取的样本编号为：4,8,12,16,20,24,28,32,36,40

则样本的评分数据为:92.84,86,78,89,74,83,78,77,89.

(2)由(1)中的样本评分数据可得

x=—(92+84+86+78+89+74+83f78+77189)^83

10,则有

10

所以均值工=83，方差一-33.

⑶由题意知评分在⑻-后用+⑶)即(7726.的74)之间满意度等级为2级”，

由(1)中容量为10的样本评分在0726,8879之间有5人，

从5人中选2人共有10种情况，而80-分以上有3人，

从这3人选2人共有3种情况，

P-A

故10

【点睛】本题考查了系统抽样，平均数和方差的计算以及古典概型，属于中档题.

遮

22.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2,且经过点M(4,1),直线

1：y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.

(I)求椭圆的方程；

(II)求m的取值范围；

(III)若直线1不过点M,求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.

参考答案：

解：(I)设椭圆的方程为a,b2,

_V3

•・•椭圆的离心率为°-2,

.*.a2=4b:1,

又・・・M(4,1),

o十一1--+=1

••・&-,解得苗:5,窿20,故椭圆方程为205.…(4分)

22

y_=1

(II)将y=x+m代入205一，并整理得

5x2+8mx+4m2-20=0,

;直线1：y=x+m交椭圆于不同的两点A,B

/.△=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得・5VmV5.…(7分)

(HI)设直线MA,MB的斜率分别为一和k2,只要证明ki+k2=0.

设A(xi,yi),B(X2,y：),

+__8m二4m2-20

根据(I1)中的方程，利用根与系数的关系得：叼町一9'盯n一一—.

__--

y!1y21(yt1)(x2-4)+(y21)(x「4)

kl+k2+

-X1*4X2-4~(x1-4)(x2~

上式的分子一(Xi+m-1)(x>-4)+(x#m-1)(x1-4)

=2x1X2+(m-5)(X1+X2)-8(m-1)

2(4W2-20)8m(m-5)0,

-------------------------8(in-1)=0A

二55

所以ki+k2=0,得直线MA,MB的倾斜角互补

・•・直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.…(12分)

考点：直线与圆锥曲线的淙合问题.

专题：计算题；压轴题.

立

分析：(I)设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为2,得出a2=4b)再根据M：4,

1)在椭圆上,解方程组得b?=5,a2=20,从而得出椭圆的方程;

(II)因为直线1：y=x+ir交椭圆于不同的两点A,B,可将直线方程与椭圆方程消去y得

到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△>(),解得-5<mV5；

(ITT)设出A(X.,y.),B(x2,y2),对(II)的方程利用根与系数的关系得：

+二—题二4m2-20