（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第05课 平面向量（原卷版）

第第页第05课平面向量1、向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝eq\f(π,2)时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．2、平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零．3、平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a，b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．4、向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5、平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.6、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).考向一平面向量的夹角及模的问题【例1】已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【变式1-1】已知，当时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．【变式1-2】若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为.【变式1-3】已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是．方法总结：求向量的夹角，有两种方法：(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．考向二平面向量中的垂直【例2】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)【变式2-1】（多选）已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A． B．C．向量与的夹角为30° D．向量在上的投影向量为【变式2-2】（多选）若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是（）A． B．C．点､､…一定在一条直线上 D．､在向量方向上的投影一定相等方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。考向三平面向量的数量积的运算【例3】在中，，点E满足，则（）A． B． C．3 D．6【变式3-1】如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝．【变式3-2】在△ABC中，∠BAD＝60°，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝．【变式3-3】（多选）在中，，，其中，，，，，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.平面向量的应用1、向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(5)用向量方法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系．2、向量在解析几何中的应用(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝eq\f(a2,a1)；如果已知直线的斜率为k＝eq\f(a2,a1)，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝eq\f(a2,a1)(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－eq\f(a1,a2)(x－x0)．考向四平面向量在平面几何中的应用【例4】（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______心．（2）等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（）A． B． C．2 D．4（3）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝________.方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数考向五平面向量与三角综合【例5】在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．【变式5-1】已知点在圆上，点的坐标为，为坐标原点，则的最小值等于（）A． B． C． D．【变式5-2】的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.（1）求；（2）若，且，求的周长.方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．考向六平面向量与解析几何【例6】(1)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值为________．方法总结：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，对于解析几何中出现的垂直可转化为向量数量积等于0，对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等．平面向量随堂检测1.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（

）A．B．C．D．2.已知向量，若，则（

）A．B．C．D．3.已知向量a,b满足|a|=1,|bA．−2B．−1C．1D．24.已知向量，满足，，，则（）A．B．C．D．5.已知向量，则（）A.B.C.D.6.已知，为单位向量，且，则，的夹角为（）A．B．C．D．7.已知向量、满足，且在上的投影的数量为，则（）A．B．C．D．8.已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且，则的值为（）A．B．C．1D．9.在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是________三角形．()A.等边B.等腰C.直角D.等腰直角10.若O为△ABC所在平面内的任意一点，且满足（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))）·（eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝0，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.