（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第02课 函数的性质（教师版）

第第页第02课函数的性质函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值常用结论1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．考向一函数的单调性区间【例1】函数eqy＝log\s\do(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的单调递增区间是______．【答案】(1，＋)【解析】由题意，令x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1，因为t＝x2＋2x－3在(1，＋)上单调递增，所以函数eqy＝log\s\do(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的单调递增区间为(1，＋)．【变式1-1】函数y＝logeq\f(1,2)(－x2＋x＋6)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.(－2，3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【答案】A【解析】由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logeq\f(1,2)t，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向二函数的最值【例2】设m∈R，若函数f(x)＝|x3－3x－2m|在区间[0，2]上的最大值为4，求实数m的值．【解析】令g(x)＝x3－3x，0≤x≤2，则g′(x)＝3x2－3.令g′(x)＝0，则x＝1.列表如下：x0(0，1)1(1，2)2g′(x)－0＋g(x)0↘－2↗2故g(x)min＝g(1)＝－2，g(x)max＝g(2)＝2，所以x3－3x－2m∈[－2－2m，2－2m].①当－1≤m≤1时，|－2－2m|＝4或|2－2m|＝4，解得m＝±1；②当m<－1时，f(x)max＝f(2)＝|2－2m|>4；③当m>1时，f(x)max＝f(1)＝|－2－2m|>4.综上，实数m的值为－1或1.【变式2-1】设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.方法总结：研究函数的单调区间，进行讨论求解求解.【变式2-2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是________．【答案】[0，eq\f(1,2)).【解析】：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域为R，∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＞0，,1－2a＋3a≥1，))解得0≤a＜eq\f(1,2).【变式2-3】函数在上是减函数，则实数的范围是_______.【答案】【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解【详解】函数，定义域为，又，因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，因此，解得.故答案为：.函数的奇偶性与周期性、对称性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2、周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．3．函数对称性常用结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点(eq\f(a＋b,2)，0)对称．考向三函数的周期性及应用【例3】已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.【答案】-2【解析】因为图像关于对称，则，，故是以8为周期的周期函数，.故答案为：.【变式3-1】函数满足，且在区间上，则的值为．【答案】【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间上，，所以．【变式3-2】已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，；当时，；当时，，则f(6)=（）A．−2 B．−1 C．0 D．2【答案】D【解析】当时，为奇函数，且当时，，所以．而，所以，故选D．【变式3-3】若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))则f(2023)＝________.【答案】－1【解析】当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．

(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等.考向四函数奇偶性与单调性、周期性的应用【例4】已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减；丁：函数f(x)的周期为2．如果只有一个假命题，则该命题是A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】由函数f(x)的特征可知：函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，则f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D．【变式4-1】函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(3)当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．【解析】(1)由题意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝0，所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，即f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．(3)由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝f(1)＝0，所以f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))).不妨设x1>x2>0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))＝f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．又f(x)为偶函数．所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．因为f(x－1)<2＝f(16)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－16<x－1<16.,x－1≠0，))解得－15<x<1或1<x<17，所以该不等式的解集为(－15，1)∪(1，17).【变式4-2】已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因为为偶函数，所以函数图象关于轴对称，由图可得时，时，时；又当时，时，时，时，不等式等价于或，所以或或，即不等式的解集为；故选：A.【变式4-3】设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．故选：D方法总结：1.已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．2.函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．函数的性质随堂检测1.下列函数中是增函数的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.2.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.3.设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.4.已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，得为奇函数，，所以在R上是增函数．选A．5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或，所以的定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，故选：D.6.(多选)如果函数eqf(x)＝log\s\do(a)|x－1|在(0，1)上是减函数，那么A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数D．f(x)的图象关于直线x＝1对称【答案】AD【解析】由|x－1|＞0得，函数eqy＝log\s\do(a)|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝EQ\B\lc\{(\a\al(\l(x－1，x＞1，),\l(－x＋1，x＜1，)))则在(－，1)上为减函数，在(1，＋)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a＞1，所以eqf(x)＝log\s\do(a)|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故选项A正确，选项B错误；又feq(－x)＝log\s\do(a)|－x－1|＝log\s\do(a)|x＋1|≠f(x)，所以选项C错误；综上，答案选AD．7.已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以.故选：D8.设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是偶函数，所以等价于．又在上单调递增，