（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第01课 一元二次不等式及基本不等式（原卷版）

第第页第01课一元二次不等式及基本不等式一元二次不等式及简单不等式的解法1、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))3、．简单分式不等式(1)eq\f(fx,gx)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(2)eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0【例1】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．4【变式1-1】关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【变式1-2】“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是()A．m>eq\f(1,4)B．m<eq\f(1,4)C．m<1D．m>1【变式1-3】不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.方法总结：解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).求出对应的一元二次方程的根.(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集考向二含参不等式的讨论【例2】(1)解关于实数的不等式：．(2)解关于实数的不等式：．方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；考向三恒成立问题【例3】若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0恒成立，则实数k的取值范围是()A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)【变式3-1】设a为常数，对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，则实数a的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.(0，＋∞)D.(－∞，4)【变式3-2】设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对任意x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，则实数m的取值范围为．【变式3-3】(多题)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a＜eq\f(1,2)D．a≥0方法总结：1.一元二次不等式在R上恒成立的条件：不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤02.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，若f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x)max≤a，即n≤a.3.一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.基本不等式及应用1、基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2、几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．考向四运用基本不等式求函数的最值【例4】(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．(3)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．【变式4-1】已知x>1，则y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值为．【变式4-2】（多题）下列函数中最小值为6的是（

）A．B．C．D．方法总结：(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．考向五基本不等式中1的运用【例5】若正数，满足，则的最小值是（）A.B.C.D.【变式5-1】已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．【变式5-2】已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（

）A．B．9C．D．2【变式5-3】正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则的最小值是（

）A．2B．C．D．不存在方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型考向六运用消参法解决不等式问题【例6】已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，则y的最大值为()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)【变式6-1】已知正实数，满足，则的最小值是______．【变式6-2】已知，则_________．【变式6-3】已知，，，则的最小值为（

）A．13B．19C．21D．27【变式6-4】（多题）若，且，则下列不等式恒成立的是（

）A．B．C．D．方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值一元二次不等式及基本不等式随堂检测1.已知集合，则=A． B． C． D．2.若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为（）A.-1，-7B.0，-8C.1，-1D.1，-73.在下列函数中，最小值为2的是（）A.B.C.D.4.已知，且，则的最小值为（

）A．B．C．D．5.下列函数中最小值为4的是（

）A．B．C．D．6.（多题）已知实数满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为16B．的最大值为9C．的最大值为9D．的最大值为7.已知不等式的解集