2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城名校联考2025届高三上学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可解得，即则.故选：B.2.设命题，则的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，所以命题的否定为“”.故选：D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，设集合，，则为的真子集.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定：①行程在3以内的（含3），车费10元；②行程在3以上且不超过10的，前3车费10元，以后每增加1车费增加2元（不足1的按1计算）；③行程超过10，则超过的部分每公里车费3元（不足1的按1计算）.小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】设行程为km，车费为元，当时，，当时，，当时，.小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，所以，解得km.故选：C5.某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下：（十万元）56789（十万元）5560707580由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（）A.85.5 B.86.5 C.87.5 D.88.5【答案】C【解析】因为：，.由线性回归方程经过点且得：.所以.当时，.故选：C6.设，已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，（），则，当时，，所以在0,1上单调递减.所以，所以，即；再设（），则，当时，，，所以，在0,1上单调递增，所以，所以，即.综上可知：，故选：C.7.某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（）A.420种 B.840种 C.476种 D.896种【答案】D【解析】由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，由分步乘法计算原理可知，共有种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有种；由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D.8.已知，不等式恒成立，则最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】.令，则易知在上单调递增，，令，问题转化为求在的最小值.因为，当时，（当且仅当时取“”）.所以在上单调递增，.所以的最大值为.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数的定义域为，则函数的定义域为B.与表示同一个函数C.关于的不等式的解集为，若，则D.若，则的取值范围为【答案】ACD【解析】对A：因为函数的定义域为0,1，所以，由，所以函数的定义域为-1,1，故A正确；对B：因为函数的值域为，函数的值域为，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；对C：当时，或，所以或；当时，无解，所以∅；当时，，所以.又，所以，只有∅时满足题意，此时，故C正确；对D：因为，所以，，所以，即，故D正确.故选：ACD10.已知为正实数，，则（）A.的最小值为4 B.的最小值为C.的最小值为8 D.的最小值为2【答案】BCD【解析】对A：因为为正实数，且，所以，因为，所以，故A错误.对B：因为为正实数，且，所以（）.所以（当且仅当，即时取“”），故B正确；对C：因为（都是当且仅当时取“”），故C正确；对D：因为，故，所以（当且仅当时取“”），故D正确.故选：BCD.11.已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.点是函数的一个对称中心C.当时，D.函数恰有6个零点【答案】AC【解析】由题意可知关于轴，1,0对称，当，则，且f1=0，故，对于A,，，故A正确；对于B，对称中心为，故B错误；对于C，函数y=fx在0,1和上的图像关于点中心对称，当时，，故C正确；对于D，由图像可知函数y=fx与函数有7个交点，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中第5项为__________.【答案】15【解析】展开式通项为，.13.若函数，在R上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为在R上单调递增，所以，解得．14.已知函数有两个零点，实数的取值范围为__________.【答案】【解析】函数的定义域为0,+∞，令，即有两个不同的正实数根，即有两个不同的正实数解，即有两个不同的正实数解，令，则，令，而在上为增函数，故直线与函数的图像有两个交点，其中，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，当，根据的图像可知，当，即时，直线与函数的图像有两个交点，因此，实数的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知公差不为0的等差数列的首项为1，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前项和.解：（1）设数列的公差为，，，数列的通项公式为；（2）令，则，又，，，，则，，.16.研究表明，人在23点之前入睡最有益身体健康，熬夜通常会导致睡眠时间不足或规律作息被打乱.某中学为研究熬夜与短期记忆力减退是否有关联，在高三年级随机抽取两个班共90名学生调查，列表如下：短期记忆力熬夜不熬夜合计较差3050良好25合计（1）完善列联表，根据概率值的独立性检验，分析熬夜与短期记忆力减退是否有关联？（2）从样本中熬夜的学生中随机选取2人，其中短期记忆力较差的人数为随机变量，求的分布列与期望；（3）以样本频率估计概率，从该校300个熬夜的学生中随机抽取5名学生，用表示这5名学生中恰有名短期记忆力较差的概率，求取最大值时的值.附：参考公式：，其中.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）表格如下：短期记忆力熬夜不熬夜合计较差302050良好152540合计454590零假设为：熬夜与短期记忆力减退无关，因为，所以依据的独立性检验，可以认为熬夜与短期记忆力减退有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05.（2）由题意可得的可能取值有：，，，的分布列如下表所示，012所以.（3）由题意可得满足二项分布，，，若最大，则，所以或.17.如图，在四棱锥中，底面.（1）若，证明：平面；（2）若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由.解：（1）在四棱锥中，由平面，平面，得，又平面，则平面，而平面，于是，由，得，则，又平面平面，所以平面.（2）由（1）知，过点作平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，假设存在点满足条件，令，，设平面的法向量，则，令，得，由平面，得为平面的法向量，由二面角的正弦值为，得，即，而，解得，所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为.18.已知为曲线上一动点，动点到和的距离之和为定值，且点在曲线上.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线交曲线于两点，求面积的取值范围.解：（1）依题意，，可知故点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，曲线的方程为；（2）如图，由题可得直线斜率存在，①当直线斜率为0时，，，②当直线斜率不为0时，设直线的方程为，将直线与椭圆联立得，消元整理得：因设Ax1则有，，则设点到直线的距离为，则，故令，则，且则，，在上单调递减，，则，综上，面积的取值范围为.19.已知.（1）求的定义域；（2）若恒成立，求能够取得的最大整数值；（3）证明：.解：（1）要使函数有意义，需满足，令，则，令解得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，∴fx的定义域为0,+（2）由恒成立得，，当时，不等式恒成立；下面说明当且为整数时不等式成立的情况.当时，不等式显然成立，当时，等价于恒成立，此时恒成立，令，则，令得，当即且为整数时，无解；当即且为整数时，若，则，若，则，即hx在上单调递增，在上单调递减，则要使不等式恒成立，须使恒成立，令则故单调递增，从而，当且仅当时取等号，此时恰有原不等式恒成立，综上所述，能够取得的最大整数值是1；（3）由（2）可知，当时，恒成立，即，即，当时，，即，令，则有即于是，，得证.四川省成都市蓉城名校联考2025届高三上学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可解得，即则.故选：B.2.设命题，则的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，所以命题的否定为“”.故选：D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，设集合，，则为的真子集.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定：①行程在3以内的（含3），车费10元；②行程在3以上且不超过10的，前3车费10元，以后每增加1车费增加2元（不足1的按1计算）；③行程超过10，则超过的部分每公里车费3元（不足1的按1计算）.小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】设行程为km，车费为元，当时，，当时，，当时，.小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，所以，解得km.故选：C5.某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下：（十万元）56789（十万元）5560707580由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（）A.85.5 B.86.5 C.87.5 D.88.5【答案】C【解析】因为：，.由线性回归方程经过点且得：.所以.当时，.故选：C6.设，已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，（），则，当时，，所以在0,1上单调递减.所以，所以，即；再设（），则，当时，，，所以，在0,1上单调递增，所以，所以，即.综上可知：，故选：C.7.某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（）A.420种 B.840种 C.476种 D.896种【答案】D【解析】由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，由分步乘法计算原理可知，共有种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有种；由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D.8.已知，不等式恒成立，则最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】.令，则易知在上单调递增，，令，问题转化为求在的最小值.因为，当时，（当且仅当时取“”）.所以在上单调递增，.所以的最大值为.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数的定义域为，则函数的定义域为B.与表示同一个函数C.关于的不等式的解集为，若，则D.若，则的取值范围为【答案】ACD【解析】对A：因为函数的定义域为0,1，所以，由，所以函数的定义域为-1,1，故A正确；对B：因为函数的值域为，函数的值域为，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；对C：当时，或，所以或；当时，无解，所以∅；当时，，所以.又，所以，只有∅时满足题意，此时，故C正确；对D：因为，所以，，所以，即，故D正确.故选：ACD10.已知为正实数，，则（）A.的最小值为4 B.的最小值为C.的最小值为8 D.的最小值为2【答案】BCD【解析】对A：因为为正实数，且，所以，因为，所以，故A错误.对B：因为为正实数，且，所以（）.所以（当且仅当，即时取“”），故B正确；对C：因为（都是当且仅当时取“”），故C正确；对D：因为，故，所以（当且仅当时取“”），故D正确.故选：BCD.11.已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.点是函数的一个对称中心C.当时，D.函数恰有6个零点【答案】AC【解析】由题意可知关于轴，1,0对称，当，则，且f1=0，故，对于A,，，故A正确；对于B，对称中心为，故B错误；对于C，函数y=fx在0,1和上的图像关于点中心对称，当时，，故C正确；对于D，由图像可知函数y=fx与函数有7个交点，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中第5项为__________.【答案】15【解析】展开式通项为，.13.若函数，在R上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为在R上单调递增，所以，解得．14.已知函数有两个零点，实数的取值范围为__________.【答案】【解析】函数的定义域为0,+∞，令，即有两个不同的正实数根，即有两个不同的正实数解，即有两个不同的正实数解，令，则，令，而在上为增函数，故直线与函数的图像有两个交点，其中，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，当，根据的图像可知，当，即时，直线与函数的图像有两个交点，因此，实数的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知公差不为0的等差数列的首项为1，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前项和.解：（1）设数列的公差为，，，数列的通项公式为；（2）令，则，又，，，，则，，.16.研究表明，人在23点之前入睡最有益身体健康，熬夜通常会导致睡眠时间不足或规律作息被打乱.某中学为研究熬夜与短期记忆力减退是否有关联，在高三年级随机抽取两个班共90名学生调查，列表如下：短期记忆力熬夜不熬夜合计较差3050良好25合计（1）完善列联表，根据概率值的独立性检验，分析熬夜与短期记忆力减退是否有关联？（2）从样本中熬夜的学生中随机选取2人，其中短期记忆力较差的人数为随机变量，求的分布列与期望；（3）以样本频率估计概率，从该校300个熬夜的学生中随机抽取5名学生，用表示这5名学生中恰有名短期记忆力较差的概率，求取最大值时的值.附：参考公式：，其中.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）表格如下：短期记忆力熬夜不熬夜合计较差302050良好152540合计454590零假设为：熬夜与短期记忆力减退无关，因为，所以依据的独立性检验，可以认为熬夜与短期记忆力减退有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05.（2）由题意可得的可能取值有：，，，的分布列如下表所示，012所以.（3）由题意可得满足二项分布，，，若最大，则，所以或.17.如图，在四棱锥中，底面.（1）若，证明：平面；（2）若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存