2025届湖北省宜昌市协作体高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省宜昌市协作体2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】存在量词命题改写为否定形式的格式为存在量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为.故选：B.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.3.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以，所以.故选：D.4.已知x，y为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件；若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以.故选：.6.荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（）（参考数据：，）A.60天 B.65天 C.70天 D.75天【答案】C【解析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天，由题意得，即，由于，故，则（天），故选：C.7.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，令，解得，当时，由，得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，由，即恒成立，令，则，而，所以，即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.故选：D.8.在平行四边形ABCD中，，点为平行四边形ABCD所在平面内一点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设，则，，所以，所以，记，所以，所以，其中，，又，所以，即的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a，b,m都是负数，且，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为a，b都是负数，且，所以.对于A：，则，故A错误；对于B：，则，故B正确；对于C：，则，故C错误；对于D：，则，故D正确.故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象的一条对称轴方程为C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.函数在区间上单调递增【答案】AC【解析】，函数的最小正周期为，故A正确；由，得，不可能取到，故B错误；由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确；因为，而函数在上不单调，故在区间上不单调，故D错误.故选：AC.11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数 B.C.函数的图象关于点对称 D.【答案】BCD【解析】对A，因为，所以，所以函数是偶函数，故A错误；对B，因为为偶函数，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正确；对C，因为，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函数的图象关于点对称，故C正确；对D，因为，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，已知，为线段的中点，若，则______．【答案】【解析】根据题意，在中，已知，则，由于为线段的中点，则，又，、不共线，故，，所以．13.已知函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为_________.【答案】【解析】由，得，因为在区间上有且仅有3个零点，即在区间上有且仅有3个解.结合与的图象，知，解得，即的最小值为.14.设函数，正实数满足，则的最小值为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，又在定义域上单调递增，且值域为，在上单调递增，所以在定义域上单调递增，因为正实数满足，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知向量，且.（1）求;（2）求与的夹角.解：（1）因为向量，所以，由得，解得，所以.又，所以.（2）设向量与向量的夹角为，因为，所以，又，所以，即向量与向量的夹角是.16.已知（1）求值；（2）若，求的值.解：（1）因为，所以，又，所以,所以,故值为.（2）由（1），得，又，所以，又，所以，所以，.所以，故的值为.17.已知函数是定义域为的偶函数.（1）求a的值；（2）若，求函数的最小值.解：（1）则，因为是定义域为R的偶函数，则，即对任意x∈R恒成立，则；（2）由（1）知，则，令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，则原函数化为：，，①当即时，在上单调递增，则，即，；②当，即时，在单调递减，在单调递增，则；即，综上所述，.18.已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，．（1）若，求的面积；（2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理可得，故，又，故，因为，而为三角形内角，故，所以.（2）在中，由；在中，由；而，所以，故，而是锐角三角形，故，即，故，故即.19.设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．（1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；（2）证明：若的通项公式为，则不是数列；（3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．解：（1）是T数列，理由：由题知，即，所以，，当时，，所以是T数列．（2）假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，，所以对任意正整数，存在正整数满足：，显然时，存在，满足，取，得，所以，可以验证：当，2，3，4时，都不成立，故不是T数列.（3）已知是等比数列，其首项，公比，所以，所以，由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得，即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，若，则，任意，这不可能成立；若，故对任意，总存使得该等式成立，故必为整数，取，则有正整数解，故，若，则，此时方程对任意，必有正整数解；若，则，此时方程对任意，必有正整数解；综上，或．湖北省宜昌市协作体2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】存在量词命题改写为否定形式的格式为存在量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为.故选：B.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.3.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以，所以.故选：D.4.已知x，y为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件；若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以.故选：.6.荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（）（参考数据：，）A.60天 B.65天 C.70天 D.75天【答案】C【解析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天，由题意得，即，由于，故，则（天），故选：C.7.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，令，解得，当时，由，得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，由，即恒成立，令，则，而，所以，即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.故选：D.8.在平行四边形ABCD中，，点为平行四边形ABCD所在平面内一点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设，则，，所以，所以，记，所以，所以，其中，，又，所以，即的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a，b,m都是负数，且，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为a，b都是负数，且，所以.对于A：，则，故A错误；对于B：，则，故B正确；对于C：，则，故C错误；对于D：，则，故D正确.故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象的一条对称轴方程为C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.函数在区间上单调递增【答案】AC【解析】，函数的最小正周期为，故A正确；由，得，不可能取到，故B错误；由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确；因为，而函数在上不单调，故在区间上不单调，故D错误.故选：AC.11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数 B.C.函数的图象关于点对称 D.【答案】BCD【解析】对A，因为，所以，所以函数是偶函数，故A错误；对B，因为为偶函数，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正确；对C，因为，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函数的图象关于点对称，故C正确；对D，因为，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，已知，为线段的中点，若，则______．【答案】【解析】根据题意，在中，已知，则，由于为线段的中点，则，又，、不共线，故，，所以．13.已知函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为_________.【答案】【解析】由，得，因为在区间上有且仅有3个零点，即在区间上有且仅有3个解.结合与的图象，知，解得，即的最小值为.14.设函数，正实数满足，则的最小值为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，又在定义域上单调递增，且值域为，在上单调递增，所以在定义域上单调递增，因为正实数满足，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知向量，且.（1）求;（2）求与的夹角.解：（1）因为向量，所以，由得，解得，所以.又，所以.（2）设向量与向量的夹角为，因为，所以，又，所以，即向量与向量的夹角是.16.已知（1）求值；（2）若，求的值.解：（1）因为，所以，又，所以,所以,故值为.（2）由（1），得，又，所以，又，所以，所以，.所以，故的值为.17.已知函数是定义域为的偶函数.（1）求a的值；（2）若，求函数的最小值.解：（1）则，因为是定义域为R的偶函数，则，即对任意x∈R恒成立，则；（2）由（1）知，则，令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，则原函数化为：，，①当即时，在上单调递增，则，即，；②当，即时，在单调递减，在单调递增，则；即，综上所述，.18.已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，．（1）若，求的面积；（2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理可得，故，又，故，因为，而为三角形内角，故，所以.（2）在中，由；在中，由；而，所以，故，而是锐角三角形，故，即，故，故即.19.设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．（1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；（2）证明：若的通项公式为，则不是数列；（3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．解：（1）是T数列，理由：由题