华师版七年级数学下册第9章轴对称平移与旋转

第9章

轴对称、平移与旋转2024版华师版七年级数学下册教学课件世界充满着运动，从天体、星球的运行，到原子、粒子的作用，其中最基本的是轴对称、平移、旋转等运动.轴对称、平移与旋转等合成了大千世界千姿百态的运动.★本章将探究在轴对称、平移与旋转的图形变化下图形的不变性质，并应用轴对称、平移与旋转等方法进行图案设计，从中体会图形变化在几何研究中的作用.9.1.1生活中的轴对称1.通过欣赏、折叠等活动，认识轴对称图形的共同特征，能识别简单的轴对称图形及对称轴.2.通过实践操作，理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别.3.判别一个图形是否是轴对称图形，轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系.欣赏生活中的图片：这些美丽的图形来自生活，把这些图形沿着某条直线对折一下，看看对折后的两部分能完全重合吗？如果折一次得不到你想要的结果，那再多折几次试试.生活中有很多类似的现象，如从镜子里看到自己的像，把手掌盖在镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起，这些都可以称为对称，你还能举些例子吗？那么，什么是对称？对称的特点是什么？轴对称图形的概念：如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两部分完全重合，像这样的图形，叫做轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴.轴对称图形对称轴知识点1轴对称图形1.“完全重合”的意思是__________.2.这条直线可以不经过这个图形本身吗？3.圆的直径是圆的对称轴吗？完全相等不可以.不是.直径所在的直线是圆的对称轴.试一试

用一张半透明的纸描出如图所示的星形图，然后用不同的方式对折，可知这颗星有_____条对称轴，请你在图中画出来.6例1

找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多....圆的对称轴最多.☀温馨提示：(1)对称轴是一条直线，而不是线段或射线.(2)一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有两条，还可以有无数条，要视图形具体分析判定.知识点2两个图形成轴对称下面的两组图形有什么共同特点？A′ABC对称轴对称轴

把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.如图点A、A′就是一对对称点.轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系：轴对称图形两个图形成轴对称图形区别联系有特殊位置关系的两个相同图形1.都是沿着某条直线折叠后能重合；2.可以通过分割或整合互相转化.具有特殊形状的一个图形A1ABB1C1例2

请你标出图中A、B、C三点的对称点A1、B1、C1.C知识点3轴对称图形的基本性质如图，点A1、B1、C1即为所求.☀归纳轴对称图形(或成轴对称的两个图形)沿对称轴对折后的两部分是完全重合的.轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对称线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后能够重合的角)相等.1.下列图形中，一定是轴对称图形的是（）

A.锐角三角形B.曲线

C.线段D.直角三角形C2.如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称()ABCDC3.下列交通标志中哪些是轴对称图形？×√×√4.判断下列图形是否为轴对称图形？解：(1)(3)(4)(7)

不是轴对称图形.轴对称图形轴对称两个图形成轴对称基本性质9.1.2轴对称的再认识1.通过折叠的方式认识线段和角等图形的轴对称性，通过探索得到轴对称图形的对称轴的画法.（重点）2.通过画对称轴，掌握基本的作图方法.3.会用尺规作图作已知线段的垂直平分线和作已知角的平分线.（重点、难点）如果一个图形沿着某条直线对折后，对折的两部分是完全重合的，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴.2.什么是两个图形成轴对称？把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点.1.什么是轴对称图形？我们已经学会了什么是轴对称图形，那么线段、角是轴对称图形吗？知识点1线段的对称性问题1请你在半透明纸上画出线段AB，对折线段AB，使点A与点B重合，在折痕上任取两点P、Q，然后用直尺画出折痕PQ，直线PQ与线段AB相交于点O.对折后，线段OA与OB是否重合？∠POA与∠POB是否重合？你能说明直线PQ与线段AB的关系吗？ABPQ∟OABPQ∟O通过上面的操作可以看出，线段OA和线段OB互相重合，∠POA=∠POB=90°.因此，直线PQ是线段AB的垂直平分线.可知：线段是轴对称图形，其对称轴就是该线段的垂直平分线.注意：线段的垂直平分线是直线.问题2

根据前面的发现，你能利用尺规作图作出已知线段的垂直平分线吗？（1）分别以点A和B为圆心、相同长（大于线段AB长的一半）为半径作弧，两弧分别相交于点P和点Q；（2）作直线PQ.直线PQ就是所要求作的线段AB的垂直平分线．

如图，已知线段AB，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出线段AB的垂直平分线.BAPQ如图，作△ABC的边BC的垂直平分线.ABCEF答：直线EF就是要求作的垂直平分线.知识点2角的轴对称性问题3

如图，在半透明的纸上画出∠AOB，对折∠AOB，使角的两条边完全重合，然后在折痕(角的内部)上任取一点P，用直尺画出折痕OP，显然射线OP是该角的平分线，看看直线OP与∠AOB是什么关系.AOBP

从上面的操作中可以看出，角也是轴对称图形，其对称轴是这个角的平分线所在的直线.思考我们已经能利用尺规作图作出已知线段的垂直平分线，那么如何作出已知角的平分线，从而得到已知角的对称轴呢？（1）以点O为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点；（2）分别以M、N为圆心、相同长（大于线段MN长的一半）为半径作弧，在∠AOB内，两弧相交于点P；（3）作射线OP.射线OP就是所要求作的∠AOB的平分线.ABONMP做一做

如图，已知∠AOB，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出∠AOB的平分线.ADECB

如图，∠B即为所求.知识点3确定轴对称图形的对称轴

试一试

方格纸内的两图形都是轴对称图形，请画出它们的对称轴.做一做

如图，点A和点A´关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析

根据线段的对称性，若连结AA´，线段AA´关于其垂直平分线对称，则点A、点A´关于线段AA´的垂直平分线也对称.（1）连结AA´；（2）作AA´的垂直平分线l；直线l就是点A和点A´的对称轴.AA´l

用前面的方法试着分别画出如图所示图形的对称轴.

对称轴的画法(1)找出轴对称图形的任意一组对称点并连结.(2)画出对称点所在线段的垂直平分线，则这条线就是它的对称轴.即：如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.1.

正方形的对称轴有

()A.

1

条

B.

2

条 C.

3

条

D.

4

条2.

下列说法正确的是

()A.

角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴B.

全等三角形一定能关于某条直线对称C.

直角三角形不是轴对称图形D.

等边三角形有三条对称轴DD3.

如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有()A.

1

条B.

3

条C.

5

条D.

无数条4.

①正方形；②等腰三角形；③长方形；④圆；⑤等边三角形，都是轴对称图形，按对称轴由少到多的顺序排列是()A.

①③②⑤④

B.

①②③④⑤C.

②③⑤①④

D.

④①⑤③②CCBA

5.四等分已知线段AB.如图，线段AB被四等分.6.下列各图中，画出你认为是轴对称的图形的对称轴.图2、图3是轴对称图形，对称轴如图所示：线段的对称性轴对称线段的垂直平分的作法角平分线的作法角的轴对称形轴对称图形确定图形的对称轴9.1.3作轴对称图形1.能按要求作出简单平面图形关于直线对称的图形，探索作一般的轴对称图形的方法；（重点）2.探究较复杂的轴对称图形的作法.（难点）

怎么画轴对称图形的对称轴？(1)找出轴对称图形的任意一组对称点并连结.(2)画出对称点所在线段的垂直平分线，则这条线就是它的对称轴.下列图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴.是我们本节课就来研究一下如何画轴对称图形.将画好的轴对称图形遮掉左边一半或右边一半后，你能还原出原来的图形来吗？试一试

如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，试画出已知图形的轴对称图形.画好之后，你可以通过折叠的方法来验证你画得是否正确.在格点图中，可以通过找到格点关于对称轴的对称点，作出已知图形的轴对称图形.(1)需要找到_____个关键点，然后顺次连结即可；(2)需要找到_____个关键点，然后顺次连结即可.53做一做

如果没有上述的格点图辅助，我们该如何做呢？如图，已知点

A

和直线l，试画出点

A

关于直线l

的对称点

A′.﹒lA﹒A′O作法：(1)过点

A

作l的垂线，垂足为点

O；(2)在垂线上l的另一侧截取

OA′=OA.则点

A′

就是点

A

关于直线l

的对应点.

知识点1画已知点的对称点

前面我们已经能利用尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，那么如何利用尺规作图，过已知点作出已知直线的垂线？已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上；点在直线外.现分别按这两种情况作图.如图，已知点C在直线AB上，因此所要求作的垂线正好是平角∠ACB的平分线所在的直线.试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.（1）作平角∠ACB的平分线CP；（2）反向延长射线CP.直线CP就是所要求作的垂线.CBAP1.经过直线上一点作已知直线的垂线如图，经过已知直线AB外一点C，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.（1）以点C为圆心、适当长(大于点C到直线AB的距离)为半径作弧，交直线AB于M、N两点；（2）分别以点M、N为圆心，相同长(大于线段MN长的一半)为半径作弧，两弧相交于点P;（3）作直线CP.直线CP就是所要求作的垂线.CBAMNP2.经过直线外一点作已知直线的垂线如图，点P在∠O的一边上，试过点P作该角两边的垂线.AOPB如图，PA、PB即为所求作的垂线.知识点2画轴对称图形例1

已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l对称的图形.你能否从上面的画法中得到启示，帮助你解决例题？分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对应点，连结这些对应点，就能得到要作的图形.ABC作法：(1)

过点A

作直线

l

的垂线，垂足为点

O，在垂线上截取

OA′=OA，A′就是点

A

关于直线

l

的对应点；(3)

连结

A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′即为所求.(2)

同理，分别画出点

B，C关于直线

l

的对应点

B′，C′；ABCA′B′C′O1.画轴对称图形的依据：对称轴是对称点连线的垂直平分线，即一对对称点到对称轴的距离相等，所以只要过一个点向对称轴画垂线并截取相等的垂线段便可以得到它的对称点．2.画轴对称图形的方法步骤：(1)找出已知图形中的特殊点

(如线段的端点、角的顶点、折线的拐点等)；(2)作出特殊点关于对称轴的对称点；(3)依次连结各对称点，得到的图形就是所要求作的图形．1.下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的

是()B2.下列说法中，正确的是()A.作一个图形的对称图形只能作一个B.作一个图形的对称图形能作有限个C.因为选取对称轴的位置不同，所以作一个图形的对称图形可有无数个D.不规则的，复杂的图形不存在对称轴C3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，其中点

A，A′是一组对称点，AA′交MN于点O，若AA′=8cm，则

A′O=____cm，∠A′OM=____度．4904．如图是由三个小正方形组成的图形，若在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，则共有____种补法．45.在平面镜里看到其对面墙上电子钟示数如图所示，那么实际时间是_________．5:016.如图，作△ABC边BC上的高.ABCDAD就是要求作的高.1.画轴对称图形的依据：对称轴是对称点连线的垂直平分线，即一对对称点到对称轴的距离相等，所以只要过一个点向对称轴画垂线并截取相等的垂线段便可以得到它的对称点．2.画轴对称图形的方法步骤：(1)找出已知图形中的特殊点

(如线段的端点、角的顶点、折线的拐点等)；(2)作出特殊点关于对称轴的对称点；(3)依次连结各对称点，得到的图形就是所要求作的图形．9.1.4

设计轴对称图案1.能设计简单的轴对称图案，感受轴对称在生活中的应用；（重点）2.利用轴对称设计较复杂的图案.（难点）

请同学们动手尝试下图中的剪纸，试着自己设计一个剪纸，比比看谁的最好看！知识点1图案的轴对称性在生活中，我们可以看到丰富多彩的装饰图案，仔细观察这些装饰图案，你会发现其中有许多轴对称图形.1.请观察下面的图形，并思考问题.(1)有_____条对称轴.(2)它的四部分均是轴对称图形吗？4它的四个部分均是轴对称图形.(3)能否利用对称性通过只作一部分画出这个图形？可以利用对称性通过只作一部分画出这个图形.请准备一张正方形纸片，按以下5个步骤来作：(1)在正方形纸片上用虚线作出4条对称轴.(2)在其中一个三角形中，作出图形形状的基本线条(注意：不同的线条最终会得到不同的图案，你可以自己设计线条).(3)按照其中一条斜的对称轴画出图(2)中图形的对称图形.知识点2设计轴对称图形(4)按照另一条斜的对称轴画出图(3)中图形的对称图形；(5)按照水平(或垂直)的对称轴画出图(4)中图形的对称图形，得到图(5)，从而得到完整图形.画好之后，可以在图案上涂上你喜欢的颜色，擦掉其他多余的线条，一幅轴对称图案就完成了.☀归纳

画轴对称图案，首先要画出对称轴，其次要画出图形形状的部分线条，然后根据对称性画出对称图形.具体步骤：(1)

画出对称轴；(2)

画出图形的基本形状的部分线条；(3)

按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；(4)

按照另一条对称轴继续画对称图形；(5)

完成对称图案设计.1.正确洗涤衣服，可以延长衣服的穿着时间.

在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用轴对称知识的是()C2.长城是我国古代劳动人民创造的伟大奇迹，是中国悠久历史的见证，是中华民族的象征，被列为世界文化遗产.下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是()A3.下列四幅图案中，能通过轴对称由下面左图得到的是()D4.如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余12个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有_____个.35.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点.(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)写出AA1的长度.C1A1B1AA1=101.怎样画轴对称图案？画轴对称图案，首先要画出对称轴，其次要画出图形形状的部分线条，然后根据对称性画出对称图形.2.画轴对称图案的具体步骤是什么？(1)

画出对称轴；(2)

画出图形的基本形状的部分线条；(3)

按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；(4)

按照另一条对称轴继续画对称图形；(5)

完成对称图案设计.9.2.1

图形的平移1.通过各种丰富的实例，让学生体会图形的平移现象.2.进一步探索平移的概念，理解平移的基本内涵；理解对应点、对应线段、对应角的识别.（重点）在日常生活中，我们经常可以看到下面这些现象：滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑行；大楼电梯上上下下地迎送来客；火车在笔直的铁轨上飞驰而过；飞机起飞前在跑道上加速滑行；上面这些现象都给我们以物体平行移动的感觉.你能说说它们有什么样的共同特征吗？上述现象中的物体只发生了位置的变化，形状、大小均未改变.你还能举出一些生活中类似的例子吗？知识点1平移的识别ABMN如图，在同一平面内，三角板沿着由点A到点B的方向，从M处平行移动到N处.☀归纳

像这样的运动叫做平移.平移由移动的方向和距离决定.1.平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点.2.平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.3.平移既可以表示物体(图形)运动的过程，也可以表示物体(图形)运动后最终的位置与原先位置的关系.☀温馨提示知识点2平移的对应元素在一张纸上用直尺和三角板作AB∥A′B′.找出对应点，并观察AB与

A′B′、BC与

B′C′、∠A与∠A′之间有什么联系.分析：当使用直尺与三角板画平行线时，△ABC沿着直尺PQ平移到△A′B′C′的位置，就可以画出AB的平行线A′B′了.☀归纳我们把点A与点A′叫做对应点，线段AB与线段A′B′叫做对应线段，∠A与∠A′叫做对应角.填空：点B的对应点是点_____；点C的对应点是点_____；线段AC的对应线段是线段_____；线段BC的对应线段是线段_____；∠B的对应角是_____；∠C的对应角是_____.△ABC平移的方向就是由点B到点_____的方向，平移的距离就是线段BB′的_____.B′C′A′C′B′C′∠B′∠C′B′长度试一试

在下图中，△ABC沿着由点A到点A′的方向，平移到△A′B′C′的位置.你知道线段AC的中点M以及线段BC上的点N平移到什么地方去了吗？请在图上标出它们的对应点M′和N′的位置.M′N′图形的平移在图案设计中具有很大作用．如图所示的两幅美丽的图案都可以看成是由某一基本的图案，在同一平面内沿着一定的方向平移若干次而产生的结果.知识点3图形的平移1.如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块()A.

向右平移

1

格，向下平移

3

格B.

向右平移

1

格，向下平移

4

格C.

向右平移

2

格，向下平移

4

格D.

向右平移

2

格，向下平移

3

格C2.

在以下现象中：①

在笔直的公路上行驶的汽车；②

用打气筒给自行车打气时，气筒里活塞的运动；③

随风摆动的旗帜；④

小河里流动的水流.属于平移的是

()A.

①

B.

①②C.

①②③

D.

①②③④B3.下面有六幅图，在(2)(3)(4)(5)(6)中，通过平移图案(1)可以得到图案_____.

(4)4.如图，平移方格纸中的图形，使A平移到点A′处，画出平移后的图形.AA′定义平移平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移.要素移动的方向和距离9.2.2平移的特征1.理解平移的特征.（重点）2.能根据所给条件作简单的平面图形平移后的图形.（难点）如图，在画平行线的时候，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置上.动手做做：做一做

用三角板、直尺画平行线.PQDEFA观察：线段

AB

与

DE

的位置关系与数量关系怎样？∠B与∠E呢？AB//DEAB=DE∠B=∠E观察：线段

AC与

DF的位置关系与数量关系怎样？∠A与∠D呢？AC//DFAC=DF∠A=∠DBCF直尺

PQ

是倾斜放置，用三角板能画出平行线吗？注意：在平移过程中，对应线段也可能在同一条直线上(如BC与EF).知识点1平移的特征☀归纳

平移的特征：平移后的图形与原来图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等，图形的形状和大小不变.注意：(1)连结对应点的线段的长度就是平移距离(上述中的BE)；(2)从原图上一点到其对应点的方向即起始点到终止点的方向为平移方向；(3)平移前后图形的对应边平行且相等，对应角相等.1.观察下图，△ABC沿着PQ方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象？可以发现：AA′∥_____∥_____；AA′=_____=_____.线段的中点M平移到

.BB′CC′BB′CC′B′C′

的中点☀归纳

平移后对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等.试一试

将图中的△ABC沿PQ方向平移到△A′B′C′的位置，其平移的距离为线段PQ的长度.PQABCA′B′C′观察所得到的对应线段和对应点所连的线段是否符合上述我们所得到的平移的特征？符合.例

如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置.指出平移的方向，并量出平移的距离.(精确到1mm)解：由于点A与点A′是一对对应点，因此，如图，连结AA′，平移的方向就是点A到点A′的方向，平移的距离就是线段AA′的长，经测量可知，约25mm.知识点2平移作图试一试

在如图的方格纸中，作出将图中的△ABC向右平移4格后的△A′B′C′，然后再作出将△A′B′C′向上平移3格后的△A″B″C″.ABCA′B′C′A′′B′′C′′△A″B″C″是否可以看成是△ABC经过一次平移而得到的？如果是，那么平移的方向和距离分别是什么？ABCA′B′C′A′′B′′C′′可以看成是△ABC经过一次平移而得到的，平移方向是沿点C到点C″或点A到点A″或点B到点B″的方向，平移距离是线段CC″或线段AA″或线段BB″的长度.1.如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)则空白部分表示的草地面积是()A.

70

B.

60

C.

48

D.

18B2.如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为()A.

16cm

B.

18cmC.

20cm

D.

22cmC3.如左图，AD是△ABC的中线，将△ABC沿射线BC方向平移2cm得到△EDF，则DC的长为_____cm.

24.如右图，根据图中的数据，计算阴影部分的面积为_____.

1045.如图所示，平移四边形ABCD，使点A移动到点A′，画出平移后的四边形A′B′C′D′，并指出平移的方向和平移的距离.解：(1)连接AA′；(2)过点B、C、D分别作AA′的平行线l1、l2、l3；(3)在l1上截取BB′=AA′，在l2，l3上按同样的方法截取CC′=AA′，DD′=AA′；(4)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′得到的四边形A′B′C′D′即为所求的四边形,如图所示.平移的方向为射线AA′的方向，平移的距离为线段AA′的长.平移的特征1.平移后的图形与原来图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等，图形的形状与大小不变.2.平移后对应点所连的线段平行且相等.9.3.1

图形的旋转1.了解图形的旋转变换的意义.2.理解旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.（重点）3.观察图形，判断两个图形是否能通过旋转后重合，以及旋转中心和旋转角度的识别.（难点）在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多物体的旋转现象.例如，时钟上的秒针在不停地转动；大风车的转动给人们带来快乐；飞速转动的风扇叶片给人们带来丝丝凉意.知识点1旋转的识别如图，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，像这样的运动就叫做旋转，这个悬挂点O就叫做小球旋转的旋转中心.显然，旋转中心O在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转的方向决定.在旋转过程中，图形的_____和_____没有改变.形状大小下列四个图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是()C☀方法总结

旋转必须有的三要素：（1）定点，即旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度.试一试

如图，用一张半透明的薄纸覆盖在作有任意△AOB的纸上，在薄纸上作出与△AOB重合的一个三角形.

然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉

(即点O)逆时针旋转45°，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上点A′、B′，我们可以认为△AOB逆时针旋转

45°后变成△A′OB′.在这样的旋转过程中，你发现了什么？知识点2图形的旋转分析：可以看到点A旋转到点_____，OA旋转到_____，∠AOB旋转到________，OB的中点D旋转到_____的中点，这些都是相互对应的点、线段与角.那么点B的对应点是_____；线段OB的对应线段是线段_____；线段AB的对应线段是线段_____；∠A的对应角是_____；∠B的对应角是_____；旋转中心是点_____；旋转的角度是_____.A′OA′∠A′OB′OB′B′OB′A′B′∠A′∠B′O45°☀归纳

(1)从上面图形中我们可以发现：旋转中心在旋转过程中不动，图形的旋转是由旋转角度和旋转方向决定的.(2)将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，意味着图形上每个点同时按同一方向旋转相同角度.例1

如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置.(4)图中的对应线段有：线段AB的对应线段为_____，线段AD的对应线段为_____，线段BD的对应线段为_____.∠BAC60°AAC的中点ACAECE(1)旋转中心是点_____.(2)旋转的角度可以用_____来表示，旋转了____°.(3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M

转到了__________.例2

如图①，点M是线段AB上一点，将线段AB绕着点M顺时针方向旋转90，旋转后的线段与原线段的位置有何关系？如果逆时针方向旋转90呢？ABABAMBMM①②③解如图②，顺时针旋转90°，A′B′与AB互相垂直.如图③，逆时针旋转90°，A′B′与AB互相垂直.☀提示(1)图形在旋转的过程中，其形状和大小不发生变化，只是位置发生了改变．(2)在旋转的过程中，图形上的每一个点同时按相同的方向旋转相同的角度．(3)旋转角是大于0°而小于360°的角，旋转的方向通常说顺时针或逆时针，一组对应点与旋转中心的连线所成的角即为旋转角．(4)旋转中心可以是平面内的任一点．1.如图，若叶片A绕O顺时针旋转到叶片B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度.OACDEFO∠AOB60B2.△A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20°,∠A′OB=24°，则旋转中心是_____,旋转角等于

,点A的对应点是_____,线段AB的对应线段是_____.OA′44°A′B′3.如图，如果把钟表的指针看作三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：(1)

旋转中心是什么？旋转角是什么？(2)

经过旋转，点

A，B

分别移动到什么位置？解：(1)旋转中心是点O，∠AOE，∠BOF是旋转角.(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置.识别图形的旋转旋转中心、旋转角度、旋转方向对应元素对应点、对应角、对应线段9.3.2旋转的特征1.掌握旋转的特征；（重点）2.能用旋转的特征解决旋转作图的相关问题.（难点）

如图，将△ABC绕点C逆时针方向旋转，请说出：旋转中心是点____；点B的对应点是点____；CA的对应边是______；∠A的对应角是_______;点A的旋转角是∠_______，点B的旋转角是∠_______.CECD∠DACDBCE思考：这些对应点、线段与角之间有什么关系呢？知识点1旋转的特征在下图中,△AOB绕点O(点O是三角形的顶点)逆时针旋转到△A′OB′处，你发现有哪些线段相等?有哪些角相等?45°A′B′OAB如图，在旋转过程中,图形上的每一点绕着点O转过的角度都相等，即可得∠AOA=∠BOB′.除此之外，我们还可以发现：OA=OA′,0B=OB′，AB=A′B′;∠AOB=∠A′OB′,∠A=∠A′，∠B=∠B′.45°A′B′OABA′B′C′O60°BCA在下图中,△ABC绕点O(点O不是三角形的顶点，而是在三角形外)逆时针旋转到△A′B′C′处，你发现有哪些线段相等?有哪些角相等?A′B′C′O60°BCA如图，在旋转过程中，我们也可以发现类似的结果：∠AOA′=∠BOB′=∠COC′;OA=______,OB=______,OC=______;AB=______,BC=______,CA=______;∠CAB=__________,∠ABC=__________,∠BCA=__________.OA′OB′OC′A′B′B′C′C′A′∠C′A′B′∠A′B′C′∠B′C′A′☀旋转的特征：（1）图形中每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，都等于旋转角;（2）对应点到旋转中心的距离相等;（3）对应线段相等，对应角相等；（4）旋转不改变图形的大小和形状．2.如右图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′,若AC⊥B′C′,则∠C的度数是

.

30°1.如左图，点D是等边△ABC内一点,若将△ABD旋转到△ACP,则旋转中心是

;旋转角是

=

度，若连结DP，则△ADP是

三角形.点A∠BAC60等边ABCDP例1

如图所示,在8×8的正方形网格中有一个△ABC,画出以点B为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转90°后的图形(画图不写画法).解:如图所示,△A′BC′即为所求.知识点2旋转作图☀归纳总结

旋转作图的方法：(1)先确定图形的关键点;(2)利用旋转的特征画出关键点的对应点;(3)按原图形中的方式顺次连结对应点.画图时一定要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度.1.如图所示,在由边长为1的小正方形组成的方格纸上,将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,请画出旋转后得到的△AB′C′.解:旋转后得到的△AB′C′如图所示.2.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,画出将△ABC以点A为旋转中心,逆时针旋转45°后的图形.解:如图所示,△AB′C′就是所画的图形.做一做

如图，作△ABC和过点P的两条直线PQ、PR.作出△ABC关于PQ对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于PR对称的△A″B″C″.BACPRA′B′C′A′′B′′C′′

观察△ABC和△△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗？△A″B″C″可以看作是把△ABC绕点P旋转2倍∠QPR得到的.Q①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.BACO②不同图形变换运动方向运动量的衡量平移直线移动一定距离旋转顺时针或逆时针转动一定的角度平移和旋转的异同1.一个图形经过平移或旋转，有以下的说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化，其中正确的是（）A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④D2.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC,则∠AED的度数为()A.105° B.120° C.135° D.150°B3.如图所示,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1.则它的旋转中心一定是()A.点A B.点B C.点C D.点DB4.如图所示,四边形ABCD是正方形,△ADE旋转后能与△ABF重合.旋转中心是哪一点?顺时针旋转了多少度?解:旋转中心是点A,顺时针旋转了90°.5.如图所示,请画出将△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°后的图形.解:如图所示,△A′B′C′就是所画的三角形.旋转的特征对应线段相等，对应角相等对应点到旋转中心的距离相等旋转角都相等9.3.3旋转对称图形1.通过具体实例认识旋转对称图形.2.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.（重点）3.会求一个旋转对称图形绕着旋转中心旋转多少度(小于周角)后，能与原图形重合.（难点）

旋转的特征有哪些？(2)对应点到旋转中心的距离相等；(4)图形的形状和大小不变；(1)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度；(5)旋转中心是唯一不动的点.(3)对应线段相等，对应角相等；知识点1旋转对称图形的识别在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合.如图所示，电扇的叶片旋转120°、螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合.你能再举出一些这样的实例吗？那么这样的图形，我们该如何称呼它呢？试一试

用一张半透明的薄纸，覆盖在如图所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度(小于周角)后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合.由上述操作可知：该图形围绕圆心旋转_____°、_____°、_____°、_____°、_____°后都能与自身重合.60120180240300☀归纳

像这样旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形.旋转对称图形顺时针或逆时针旋转一定角度后，均能与原图形重合，因此可以淡化旋转方向.旋转角度可以在0°到360°之间.下列图案中是旋转对称图形，但不是轴对称图形的是()C知识点2确定旋转图形的旋转角做一做设计一个旋转90°后能与自身重合的旋转对称图形.将如图①所示的图形绕圆心旋转90°,再将旋转后所得到的图形绕圆心旋转90°，然后再重复旋转一次，可以得到图②所示的图形.①②将如图所示的图形绕圆心旋转90°后，可以发现旋转以后的图形能与原来位置上的原图形重合，因此该图形是旋转对称图形.当然该图形绕圆心旋转180或270°后的图形也能与原图形重合，也可得出该图形是旋转对称图形.☀归纳

旋转的度数称为旋转角度.例1

下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处.旋转角度是多少？这些图形是轴对称图形吗？

答：这些图形都是旋转对称图形；旋转中心和其中一个旋转角度如图所示；这些图形都是轴对称图形.☀归纳(1)绕着某一点转动一定角度后，能与自身重合的图形称为旋转对称图形.其中这一点就是旋转中心，这个角度就是旋转角度；(2)如果一个图形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，那么它的旋转中心就是对称轴的交点；(3)正n边形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，所以它的旋转中心就是对称轴的交点，并且其中一个旋转角度等于360°除于n所得的商.下图可以看做是一个或几个菱形通过多次旋转得到的.由一个菱形通过6次旋转得到，每次旋转60度.由两个菱形旋转3次得到，每次旋转120度.由三个菱形旋转2次得到，旋转180度.1.如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为()A.45

B.60

C.72

D.144C2.如图，在图

①～④

中是旋转对称图形的有()A.4

个

B.3

个C.2

个

D.1

个A3.如图，其中不是旋转对称图形的是()A.①

B.②C.③

D.④A4.下列多边形中，旋转60°后可以和原图形重合的是()A.正六边形

B.正五边形C.正方形

D.正三角形5.等边△ABC绕着它的中心旋转，要使其与本身重合，至少旋转(

)A.60°

B.120°

C.180°

D.360°6.正方形绕它的________________旋转____度与自身重合；正六边形至少旋转____度，才能与自身重合.AB对角线的交点9060定义旋转对称图形旋转一定角度后能与自身重合的图形.确定旋转对称图形的旋转角度9.4中心对称1.理解中心对称图形与成中心对称的两个图形的概念，并且知道两者之间的区别与联系.（重点）2.掌握它们的性质，会判断两个图形是否成中心对称，会画一个图形关于一个点成中心对称的图形.（难点）在上一节，我们已经看到有不少图形绕某一中心旋转一定角度后，可以与自身重合.如图所示的三个图形都是这样的旋转对称图形.它们的旋转角度分别是多少？120°180°108°知识点1中心对称图形像中间的图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形.这个中心叫做对称中心.所以，中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形.你能举出日常生活中旋转180°后能与自身重合的例子吗？线段、三角形、平行四边形、正方形、圆分别是中心对称图形吗？如果是，那么对称中心又分别在哪里？线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.圆形是中心对称图形，对称中心是圆心.☀温馨提示(1)

中心对称图形的对称中心一定在图形内；(2)

中心对称图形是针对一个图形而言的；(3)

中心对称图形上所有的点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上；(4)

中心对称图形一定是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形.你能根据两个图形成轴对称的定义总结一下什么叫两个图形成中心对称吗？知识点2两个图形成中心对称把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点.观察图形，并回答相应问题：1.这个图形是中心对称图形吗？2.△ABC与△ADE有什么特点吗？是中心对称图形.△ABC旋转180°后和△ADE重合.你能根据中心对称和两个图形成轴对称的定义总结一下△ABC与△ADE的这种特点吗？ADCEB☀归纳

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.如图，△ABC与△ADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心，点B关于对称中心A的对称点为_____，点C关于对称中心A的对称点是_____，点A关于对称中心A的对称点为_____，B、A、D在___________上，AD=_____，C、A、E在___________上，AC=_____，ED______________.DEA同一条直线ABAE同一条直线平行且等于CBADCEB观察图形：可以发现，点A绕中心O旋转180°后到点A′,于是_________在同一直线上,并且AO=_____.另外分别在同一条直线上的三点还有________和________；并且BO=_____，CO=_____，AB=_____，AC=_____，BC=_____.A、O、A′B、O、B′C、O、C′A′OB′OC′OA′B′A′C′B′C′△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称.你能从图中找到哪些等量关系？知识点3成中心对称的图形的特征☀归纳

在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.填写下表：区别联系成中心对称中心对称图形②成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上.若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把成中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体也就是中心对称图形.①成中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形.知识点4中心对称作图例如图，已知△ABC和点O，作△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.ABCO解：(1)

连结AO并延长AO到点D，使OD=

OA，于是得到点A关于点O的对称点D；(2)同样作出点B和点C关于点O的对称点E和F；(3)顺次连结DE、EF、FD.如图，△DFF即为所求的三角形.ABCODEF如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.ABCA′B′C′解法1：根据观察，B、B′应是对应点，连接BB′，用尺规作图找出BB′的中点O，则点O即为所求（如图）.ABCA′B′C′O解法2：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则点O即为所求（如图）.ABCA′B′C′O注意：如果限制只用直尺作图，我们用解法2.1.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有

（）

A.1组

B.2组

C.3组D.4组C2.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（）A.2

B.4

C.6

D.8ABCDOB3.如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称.ABCDA′B′C′D′O如图，四边形A′B′C′D′即为所求.定义中心对称旋转180°后与自身重合1.对称中心与两对称点三点共线；2.成中心对称的两个图形是全等形.性质作图应用1：作中心对称图形；应用2：找出对称中心.9.5图形的全等1.理解全等图形的定义.2.探究全等图形的性质与判定.(难点）3.从全等图形的判定到全等三角形的判定.（重点）问题

1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？形状没有发生改变，大小发生了改变，无法完全重合问题2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？轴对称平移旋转变换前后图形的对应线段相等，对应角相等，它们的形状和大小并没有改变,可以完全重合.那么像这种可以完全重合的两个图形，我们应该如何称呼呢？全等图形回到问题1中，下列两组图形是不是全等图形，为什么？两个图形形状相同，但大小不同两个图形面积相同，但形状不同它们不能重合，不是全等图形注意：全等图形的特征是完全重合.知识点1全等图形我们知道，同一底片冲洗出来的相同尺寸的两张照片是全等的，不同尺寸的两张