华师版七年级数学下册第8章三角形

第8章

三角形2024版华师版七年级数学下册教学课件瓷砖是生活中常见的装饰材料.你见过哪些形状的瓷砖？它们的形状有什么特点呢？你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗？

★本章将在探索与三角形有关的线段和角的基础上，研究多边形的有关性质，解开关于瓷砖铺设的一个个疑团，从中了解一些研究几何问题的基本思路和方法.8.1.1认识三角形第1课时

三角形的有关概念及其分类1.认识三角形的有关概念；（重点）2.会用几何语言表示三角形，了解三角形的分类.（难点）如图，酒店的地面和墙面由各种形状的瓷砖铺成，在这些地面或墙面上相邻的瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙.

如图，这些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，让我们从三角形开始，探究一下其中的道理.知识点1三角形的有关概念问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.问题2：三角形中有几条线段?有几个角?有三条线段，三个角边：线段AB，BC，CA是三角形的边.顶点：点A，B，C是三角形的顶点，角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角.ABC记法：三角形ABC用符号表示________.边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示

为________.△ABCc，a，b边c边b边a顶点C角角角顶点A顶点B例1辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？不符合不符合不符合①位置关系：不在同一直线上；②连结方式：首尾顺次.方法总结：三角形应满足以下两个条件：表示方法：三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,△CAB,△ACB等.基本要素：三角形的边：边AB、BC、CA；三角形的顶点：顶点A、B、C；三角形的内角：∠A、∠B、∠C.特别规定：三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？

ABCDE5个，它们分别是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.(2)以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE.(3)以E为顶点的三角形有哪些？△ABE、△BCE、△CDE.(4)以∠D为角的三角形有哪些？△BCD、△DEC.(5)说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.问题3：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.它与△ABC有何联系呢？

D☀归纳

像这样，三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫作三角形的外角.如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.

知识点2三角形的分类问题1：如图，三个三角形的内角各有什么特点？

第一个三角形中，三个内角均为锐角；第二个三角形中，有一个内角是直角；第三个三角形中，有一个内角是钝角.三角形可以按角来分类：所有内角都是锐角——锐角三角形；有一个内角是直角——直角三角形；有一个内角是钝角——钝角三角形.问题2：量一量，三个三角形的边各有什么特点？第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等；第三个三角形的三边都相等.我们把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.腰怎样对三角形进行分类？按是否有边相等分三角形不等边三角形等腰三角形两条边相等的等腰三角形三条边都相等的三角形——等边三角形按内角大小分三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形1.三角形是指（）A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次连结组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形C2.判断：（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（）（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（）（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）（4）等边三角形是锐角三角形.（）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）√×××√3.（1）如图所示，图中共有_______个三角形，它们分别是_______________________________________.（2）以AD为边的三角形分别是______________________.（3）∠C分别为△AEC，△ADC，△ABC中_____,_____,______边的对角.（4）∠B是______,______,______的内角；∠AED是______,______的内角.（5）∠ADB是______,______的一个外角；∠AEC是______,_______的一个外角.ABDEC6△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC△ABD,△ADE,△ADCAE

AD

AB

△ABD

△ABE

△ABC△ADE

△ABE△ADE

△ADC△ADE

△ABE定义及其基本要素三角形顶点、角、边1.按角分类2.按边分类分类8.1.1.认识三角形第2课时

三角形的中线、角平分线和高1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？只能画一条.2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的面积.

知识点1三角形的中线问题1

如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACB

问题2

如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．试说明什么叫三角形的中线？ABC定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.

D画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO

问题1

如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO

知识点2三角形的角平分线问题2

如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？BCDA((

答：相同点是：∠BAD=∠CAD;不同点是：前者是线段，后者是射线.画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察它们的交点有什么规律？画图发现三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO知识点3三角形的高问题1

什么是三角形的高？问题2

怎样画三角形的高？定义

如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.ABCD垂直符号垂足几何语言：∵AD是△ABC的边BC上的高，

∴AD⊥BC(或∠ADB=∠ADC=90°).ABCDEFABCDABCDEF◆画图发现

三角形的三条高所在的直线交于一点.（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；（2）直角三角形的高交于直角的顶点；（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.O(E,F)O画一画

如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？由前面的操作，我们可以发现，三角形的三条中线、三条角平分线和三条高（或所在的直线）分别____________；直角三角形三条高的交点就是____________；钝角三角形有两条高位于三角形的外部.交于一点直角顶点例1

如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90°,试求：（1）△ABE的面积；（2）△ACE和△ABE的周长的差.ABCDE

（2）∵AE是△ABC的中线，

∴BE=CE.

∴△ACE和△ABE的周长的差

（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm)ABCDE重要发现

三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差.例2

如图，在△ABC中，请作图:

（1）画出△ABC的∠C的平分线；（2）画出△ABC的边AC上的中线；（3）画出△ABC的边BC上的高.ABCDEF答：如图，CF是∠ACB的角平分线；BE是AC边上的中线；AD是边BC上的高.☀注意

画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.ADCBABCDABCDABCDABCDD1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高()2.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.ADBC解：∵CD是△ABC的中线，

∴BD=AD

.

∵BC-AC=5cm,

∴△DBC与△ADC的周长差是5cm,

又∵△DBC的周长为25cm，

∴C△ADC=25-5=20(cm).3.如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的BC边上的中线，BC边上的高，∠A的平分线.ABCDAD为中线（BD=DC）EAE为高（AE⊥BC）))AF为∠A的平分线（∠BAF=∠CAF）F答：如图，AD为所求中线，AE为所求高，AF为所求角平分线.中线三角形的重要线段1.会把原三角形面积平分2.一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线高注意：钝角三角形两短边的

高的画法8.1.2三角形的内角和与外角和1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°；2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；（重点、难点）3.掌握三角形的外角的性质及外角和.（重点、难点）

将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？

折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.可以将∠A，∠B剪下并移至顶点C处拼接成一个角.ABC三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观察与思考如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.知识点1三角形的内角和观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.CEAB123D解：如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA（同位角相等，两直线平行）

∵CD//BA,

∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.

∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.由此得到：你还能想出其它的方法推出这个结论吗？三角形的内角和等于180°.多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE例1

在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x

＋15)°，从而有3x

＋x

＋(x

＋15)＝180.解得x

＝33.∴3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.例2

如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD

问题1如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？ABC知识点2直角三角形的两锐角互余

应用格式：在直角三角形ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.☀归纳

直角三角形的两个锐角互余．例3

如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度数.（165°(ABDC解

在Rt△ABD中

∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠B=90°-∠1（等式性质）.

又∵∠1=45°（已知），∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.

在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的内角和等于180°）,∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.

又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.

我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：

有两个角互余的三角形是直角三角形.问题1

如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.那么，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？

我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.知识点3三角形的外角的性质∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB，∠A+∠B=180°-∠ACB.∴∠ACD=∠A+∠B.由此可知，三角形的外角有两条性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.例4

如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.解：∵∠B+∠C=∠CAD，

∴∠C=∠CAD-∠B，∴∠C=100°-30°=70°.ABC((((((213（4与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，如∠1和∠4.

从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.

如图所示，∠1+∠2+∠3

就是△ABC的外角和.问题2

如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：在图中，有∠1+∠ACB=180°，∠2+∠BAC=180°，∠3+∠ABC=180°，三式相加，可以得到∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°，而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°.ABC((((((213由此可知，三角形的外角和等于360°.∠1+∠2+∠3=360°.ABC((((((213ABDC

ABDC（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°)，

∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性质）.

又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知），

∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代换）.☀规律总结在三角形中求角的度数时，常用的知识点有三个：（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的每一个内角与它相邻的外角互补.1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______.2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.80°20°50°4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，则∠DAC的度数为________.34°5.如图，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：∠CAE=∠DBE.理由如下：

在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.内角和三角形的内角和与外角和三角形内角和等于180°直角三角形两锐角互余外角1.外角的性质2.三角形的外角和8.1.3三角形的三边关系1.掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用；（重点、难点）2.了解三角形的稳定性及应用.小明我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？为什么？邮局学校商店小明家知识点1三角形的三边关系作一个三角形，使它的三边长分别为4cm、3cm、2.5cm.如图，先作线段AB=4cm，然后以点A为圆心、3cm长为半径作圆弧，再以点B为圆心、2.5cm长为半径作圆弧，两弧相交于点C，连结AC、BC.△ABC就是所要作的三角形.A4cmB3cm2.5cmC试一试

现有12条已知长度的线段：三条长2cm、三条长3cm、两条长4cm、两条长5cm、两条长6cm．任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长.4cm5cm6cm2cm3cm2cm3cm2cm3cm如图，在作三角形的过程中，可能会发现下列几种情况：因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形，在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形.换句话说：三角形的任意两边之和大于第三边.ABC

想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？AB+AC＞BCAB＞BC-ACBC+AB＞ACBC＞AC-ABAC+BC＞ABAC＞AC-BC☀归纳

三角形任意两边之差小于第三边.三角形三边的关系定理的理论根据是？两点之间，线段最短.例1

已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？分析：题中没有明确4cm是腰长还是底边长，因此，要分两种情况进行讨论：①假设底边长为4cm；②假设腰长为4cm.根据题意列方程求解即可.解：①若底边长为4cm，设腰长为xcm，则2x+4=18，解得x=7.

②若一条腰长为4cm，设底边长为xcm，则2×4+x=18，解得x=10.∵4+4<10，所以4cm为腰不能构成三角形，

∴三角形另外两个边长都是7cm.☀方法总结

与等腰三角形有关的问题，当题中没有明确哪一边是腰或底边时，常常要分情况讨论，并根据三角形的三边关系检验能否构成三角形.问题：如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？答：三角形三边固定后，形状和大小不会改变，四边形四边固定后，形状和大小会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.知识点2三角形的稳定性果子沟大桥果子沟大桥位于中国新疆维吾尔自治区境内，它是新疆重要民生工程，其拉索就是三角形结构.例2

要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢?可以从多边形的一个顶点作对角线，把多边形分成若干个三角形.1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8（）（2）2，5，6（）（3）5，6，10（）（4）3，5，8（）不能能能不能4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线段为边长可以构成________个三角形.322cm18cm或21cm5.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？解：设第三根木棒长为xcm，有8-5＜x＜8+5

3＜x＜13∵x为偶数，∴小颖有5种选法.第三根木棒的长度可以是：4cm，6cm，8cm，10cm，12cm.三角形的三边关系三角形的三边关系：任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边.三角形具有稳定性8.2多边形的内角和与外角和第1课时

多边形的内角和1.掌握多边形的相关概念.2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）3.运用多边形的内角和计算公式解决问题.（重点）生活中的平面图形三角形

长方形

四边形

六边形

八边形知识点1多边形的相关概念

在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.

在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做四边形.

在平面内，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做n边形，也即我们通常所说的多边形.

在平面内，由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做五边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的边.相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.相邻两边组成的角叫作多边形的内角.顶点内角边对角线(连接不相邻两个顶点的线段)多边形的相关元素外角表示：五边形ABCDEACBDE如图1是凸多边形；图2不是凸多边形.图2

如果把多边形任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.图1ACBDACBD注意：由七年级上册3.4节可知，图2也是多边形，但不在我们目前的研究范围内.问题

观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？特点：各边相等，各内角都相等的多边形.知识点2正多边形☀归纳

一般地，如果多边形的各边相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.知识点3多边形的内角和问题

三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？

如图，四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和，即180°×2=360°.试一试

由图中可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么五边形的内角和等于多少呢？六边形、七边形呢？一般地，n边形的内角和等于多少呢？五边形六边形七边形八边形在前面各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有对角线，完成下表.多边形的边数分成的三角形的个数多边形的内角和31180°42360°567………n345n-23×180°=540°4×180°=720°5×180°=900°

☀归纳

n边形的内角和为(n-2)·180°.例1求八边形的内角和.解：八边形的内角和为

(n-2)·180°=(8-2)×180°=1080°.解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）×180°=2160°，解得

n

=14.

所以这个多边形的边数为14.例2

已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数.1.判断．（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．()（2）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形．()2.五边形的内角和为

，它的对角线有

条．540°53.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加________.180°4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°D多边形的相关概念多边形的内角和内角和计算公式

8.2多边形的内角和与外角和第2课时

多边形的外角和1.掌握多边形的外角及外角和的性质.（重点）2.经历把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想和从特殊到一般的认识问题方法.（难点）回答下列问题：(1)三角形的外角和的概念从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.(2)三角形的外角和等于______.360°问题1

根据三角形的外角和定义，你能说一说多边形的外角和的定义吗？

从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.

如图，∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形ABCD的外角和.ABCD12345678知识点1多变形的外角和问题2

你能根据下面的图形求出四边形的外角和吗？ABCD12345678从图中可知：(∠1+∠5)+(∠2+∠6)+(∠3+∠7)+(∠4+∠8)=4×180°=720°，又因为∠5+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=720°-(∠5+∠6+∠7+∠8)=720°-360°=360°.所以，四边形ABCD

的外角和等于360°.问题3

n边形的外角和等于多少度呢？

因为

n边形的每一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可以求出多边形的内角和与外角和的总和，再减去内角和就可得到外角和.请将数据填入表格：多边形的边数34567...n多边形的内角和与外角和的总和3×180°=540°...多边形的内角和180°...多边形的外角和360°...720°360°360°900°540°360°1080°720°360°1260°900°360°(180n)°(n-2)180°360°☀归纳

因此，任意多边形的外角和都为360°.这就是说多边形的外角和与边数无关，都等于360°.例1

一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？解：设这个多边形的边数为

n，根据题意，得n·72°=360°，解得

n=5.因此，这个多边形是五边形.例2

一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，这个多边形是几边形？解：设这个多边形是

n

边形，根据题意，得

(n-2)·180°=5×360°解得

n=12.因此，这个多边形是十二边形.知识点2多变形的内角和与外角和的综合应用

方法总结：用多边形的外角和除以一个外角的度数可直接求多边形的边数.例4

一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形是几边形？解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）×180°=360°×4，解得

n=10，因此，这个多边形是十边形.☀方法总结

已知多边形的外角和与内角和的关系，利用多边形的外角和等于360°和多边形的内角和公式求该多边形的边数.1.判断．（1）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加．()（2）三角形的外角和与八边形的外角和相等．()×√2.一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？解：360°÷45°=8，180°-45°=135°.答：这个多边形是八边形,它的每一个内角是135°.3.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7∶2，求这个多边形的边数.(一题多解)解法一：设这个多边形的内角为7x°，外角为2x°，根据题意,得7x

+2x

=180，解得

x

=20.∴7x=140，2x=40.∴360°÷40°=9.答：这个多边形的边数为9.

4.一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___.15

多边形的外角和定理多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.8.3用正多边形铺设地面1.用相同的正多边形1.理解用相同的正多边形铺设地面的理论依据，会用相同正多边形进行平面镶嵌.（重点）2.知道怎样的正多边形能无空隙的铺设地面.（难点）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就会发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某种正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，如图：那么，哪些正多变形可以密铺，哪些不能密铺呢？知识点

用相同的正多边形铺设地面使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既不留下一丝空白，又不互相重叠？问题1

正三角形能否铺满地面？由图可知，6个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面.60°×6=360°60°60°60°60°60°60°问题2

正方形能否铺满地面？由图可知，4个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面.90°90°90°90°90°×4=360°问题3

正五边形能否铺满地面？由图可知，正五边形不能无缝拼接，所以正五边形不能铺满地面.108°108°108°108°×3=324°问题4

正六边形能否铺满地面？由图可知，3个正六边形可以无缝拼接，所以正六边形能铺满地面.120°120°120°120°×3=360°一个内角度数能否铺满平面图形一个顶点周围正多形个数正三角形正方形正五边形正六边形643能能能不能90°108°60°120°☀归纳

使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面.问题5

还能找到其他正多边形铺满地面吗？分析：要用相同正多边形铺满地面的关键是看，这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种正多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里，用相同正多边形铺满地面的只有正三角形、正四边形、正六边形，而其他的正多边形不可以．☀归纳

用相同正多边形可以铺满地面的条件：

正多边形的每个内角都能被360°整除.

2.一个用正六边形铺满地面是，它在一个顶点周围的正六边形的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个DB1.用一种正多边形铺满地面的条件是（）A.内角是整数度数B.边数是3的倍数C.内角整除180°D.内角整除360°

3.

用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干图案，则n

=

8

时，白色地砖共有______块.

34正多边形的每个内角都能被360°整除.相同正多边形铺满地面条件8.3用正多边形铺设地面2.