2025届湖南省益阳市一模数学试题

届湖南省益阳市一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={x|−2<x<2}，B=x|log2x<1，A．{x|x<2} B．{x|−2<x<2}C．{x|0<x<1} D．{x|0<x<2}2．已知复数z满足|z−i|=2，则复数A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线3．已知等比数列{an}中，a1+A．26 B．32 C．512 D．10244．已知f(x)=−x−1A．−32 B．0 C．125．已知椭圆E:x26+yA．52 B．32 C．546．在平行四边形ABCD中，BE=12BC，AF=A．13 B．12 C．57．已知抛物线C1:y2=4x，C2:y2=8x的焦点分别为F1、F2，若A．当|PQ|=12时，B．当|PQ|=43时，C．存在四边形F1D．存在四边形F18．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=eA．函数f(x)有两个零点 B．当x>0时，f(x)=−C．f(x)>0的解集是−2,0∪2,+∞ D．∀x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．已知函数f(x)=2sin2x+A．f(x)的最小正周期为πB．曲线y=f(x)关于直线x=πC．点−π12,0D．f(x)在(0,π)上单调递增10．已知函数f(x)=ex−x，对于任意实数aA．fB．函数f(x)=eC．曲线f(x)=ex−x在点D．若a=−b>0，则f(a)>f(b)11．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱A．若D1Q//平面A1PD，则动点B．不存在点Q，便得D1Q⊥C．三棱锥Q−A1D．若D1Q=62且D1Q三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若sinα=13，则cos2α=13．在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为.14．已知an是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k∈N*，定义集合Bk=i∈N*|（1）若an=3n（2）若数列bn是等差数列，则数列an的前50项之和为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a（1）求A；（2）若a=4，△ABC面积为23，求b+c16．某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2：3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.满意不满意总计男游客35女游客15合计100（1）完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?（2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为X.求出X的分布列及数学期望.参考公式：χ2=n参考数据：α0.100.050.0100.005x2.7063.8416.6357.87917．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD，EF//AD，AD=4，AB=2，BC=EF=2，AF=11，FB⊥平面ABCD，M为AD上一点，且FM⊥AD，连接BD、BE、（1）证明：BC⊥平面BFM；（2）求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.18．已知两点A(−2,0)，B(2,0)及一动点P，直线PA，PB的斜率满足kPA⋅kPB=−14，动点P的轨迹记为C.过点(1,0)的直线l与C交于M，N（1）求C的方程；（2）求△AMN的面积的最大值；（3）求点Q的轨迹方程.19．若函数f(x)=ln（1）若a=4，且曲线y=f(x)的切线l过点0,2e2，求直线（2）证明：若fx1=f（3）若G(x)=f(x)+x+lna2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由log2x<1，解得0<x<2，即集合B=x0<x<2，

因为集合故答案为：D.【分析】先解对数不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：设复数z=x+yix,y∈R，则因为|z−i|=2，所以x-02故复数z在复平面上对应的点的轨迹为以0,1圆心，2为半径的圆.故答案为：B.【分析】设复数z=x+yix,y∈R3．【答案】D【解析】【解答】解：设等比数列{an}因为a1+a所以a1+a由(a1+a1q2)q所以a10故答案为：D.【分析】利用已知条件和等比数列的通项公式得出首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式得出a104．【答案】D【解析】【解答】解：因为f(x)=−x−1所以ff故答案为：D.【分析】由题意，先求f−3=15．【答案】A【解析】【解答】解：由椭圆E:x26因为椭圆E:x26+y2=1则双曲线F的离心率为ca故答案为：A.【分析】由椭圆方程可得c，再根据椭圆与双曲线有相同的焦点，即a2+1=56．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：

因为BE=12BC，所以m=13,n=故答案为：B.【分析】由题意，利用平面向量的线性运算求出m,n即可m+n的值.7．【答案】C【解析】【解答】解：由线段PQ平行于x轴，不妨设P,Q在第一象限，如图所示：

设Pt24,t,QtA、当|PQ|=12时，即PQ=t2PF1⊥PQB、当|PQ|=43，即PQ=t2由于83+432=2，所以P,Q关于直线CD、先考虑四边形F1则PQ=F1此时PF2⊥所以四边形F1故答案为：C.【分析】设出P,Q的坐标并求得PQ，逐项分析，结合图象求解判断即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=exx+2，所以当x>0时，−x<0，所以f(−x)=所以−f(x)=e−x−x+2则函数fxA、因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f0当x<0时，令fx=0，解得x=−2，当x>0时，令fx=0，解得B、由上可知当x>0时，函数f(x)=−e-x−x+2，故B错误；

当x<0时，令f当x>0时，令fx>0，解得所以f(x)>0的解集为−2,0∪D、当x<0时，f'所以当x<−3时，f'x<0当−3<x<0时，f'x>0所以当x=−3时，函数fx取得最小值−当x>0时，f'所以当0<x<3时，f'x>0当x>3时，f'x<0，函数fx单调递减，所以当x=3时，函数当x=0时，f0=0，所以∀x1，故答案为：C.【分析】由题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可判断B；分情况令fx=0即可求解函数的零点即可判断A；令9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、函数f(x)=2sin2x+π6B、因为fπC、因为f−π12=2sinπD、由x∈0,π时2x+π6∈故答案为：AC．

【分析】由题意，直接求函数fx10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=ex−x定义域为令f'(x)=0，解得x=0，当x<0时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>0时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，则函数f(x)在B、由上述分析可知，(−∞,0)上函数f(x)单调递减，(0,+∞C、由f0=e0−0=1D、因为a=−b>0,b=−a<0，则f(a)=e则f(a)−f(b)=e令g(x)=ex−则g(x)在(0,+∞)单调递增，故g(x)>g(0)=0，即f(a)−f(b)>0，即故答案为：ACD.【分析】先求函数的定义域，再求导利用导数判断函数的单调性，求最值即可判断ABC；构造新函数，借助导数研究最值即可判断判定D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、分别在B1C1,CC可得EF//B1C，因为A因为A1D⊂平面A1PD，EF⊄平面A1又由D1F//A1P，且A1P⊂平面A1PD又因为EF∩D1F=F，且EF,D1F⊂平面且平面DEF∩平面BCC若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹为线段B、以D1为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A1(1,0,0),D(0,0,1),P(1,1,2设Q(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1)，可得D1设m=(a,b,c)是平面A1PD取c=3，可得z=3,b=−2，所以m=(3,−2,3)若D1Q⊥平面A1PD，则D1则x=z=−32∉[0,1]，所以不存在点Q，使得DC、由A1D=(−1,0,1),则cosA1D所以S△要使得三棱锥Q−A1PD的体积最大，只需点Q由A1Q=(x−1,1,z)，可得点Q到平面A因为0≤x≤1,0≤z≤1，所以当x+z=0时，即点Q与点C1重合时，可得d所以三棱锥Q−A1PDD、在正方体中，可得D1C1⊥平面BCC所以D1C1所以点Q的轨迹是以C1为圆心，以22为半径的圆弧，其圆心角为则C1Q=(x,0,z)，所以C又由D1Q=(x,1,z)，设D1Q所以sinθ=因为x2+z2=所以x+z≤1，即x=z=12时，D1Q与平面可得A1Q=(−12,1,1此时三棱锥Q−A1PD故答案为：BCD.【分析】由题意，在B1C1,CC1取点E,F，使得C1E=2B1E,C1F=2CF，证得平面DEF//平面A1PD，进而得到D1Q//平面A1PD即可判断A；以12．【答案】【解析】【解答】cos2θ=1−2【分析】本题利用余弦的二倍角公式求出二倍角的余弦值。13．【答案】0.33【解析】【解答】解：a获得冠军，第一轮中必须胜出，概率为0.6，由题意可得：第二轮比赛中可以分两种情况，c胜，概率为0.5，再a胜，

由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为0.6×0.5×0.5=0.15；第二种情况为d胜，概率为0.5，再a胜，

由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为0.6×0.5×0.6=0.18；由分类原理可得a获得冠军的概宰为0.18+0.15=0.33，故答案为：0.33.【分析】由题意，根据分步乘法和分类加法原理，分两种情况讨论求解即可.14．【答案】2.；1275.【解析】【解答】解：（1）由题可知，an=3n<10，因为n∈N*，所以B10=1,2，则b10=2.

（2）由题可知a1≥1，所以B1=∅，所以b1=0，

若a1=m≥2，则B1=∅，Bm+1={1}，

所以b2=0，bm+1=1，与bn是等差数列矛盾，所以a1=1，

设dn=an+1−ann∈N*，因为数列an是各项均为正整数的递增数列，所以dn∈N*，（2）由题意结合反证法和新定义、数列的单调性、等差数列的定义，从而判断出数列an15．【答案】（1）解：由3asinC−c因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以3sinA−又因为A∈(0,π)，所以A=π（2）解：因为△ABC面积为23，所以23=又因为a=4，A=π由余弦定理：a2=b即(b+c)2=16+3bc=40，解得【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化简可得3sinA−cosA−1=0，则（2）由△ABC面积为23，利用三角形面积公式可得bc=8，再由余弦定理得16=b2+c（1）由正弦定理得a=2RsinA，又3a∴3∵C∈(0,π)，∴sin∴3∴2sin∵A∈(0,π)，∴A=π（2）∵△ABC面积为23∴23∴bc=8，∵a=4，A=π由a2=b即(b+c)2∴b+c=21016．【答案】（1）解：因为调查的男游客人数为：22+3×100=40，所以，调查的女游客人数为100−40=60，于是可完成满意不满意总计男游客35540女游客451560合计8020100零假设为H0χ2根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为（2）解：由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知X的可能取值为0，1，2，并且X服从超几何分布，即P(X=0)=C20C3所以X的分布列为：X012P163E(X)=0×1【解析】【分析】（1）由题意，根据男游客与女游客的人数的比值，结合卡方计算公式计算判断即可；（2）由（1）的结论，根据超几何分布的性质，结合数学期望公式求解即可.（1）因为调查的男游客人数为：22+3×100=40，所以，调查的女游客人数为100−40=60，于是可完成满意不满意总计男游客35540女游客451560合计8020100零假设为H0χ2根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知X的可能取值为0，1，2，并且X服从超几何分布，即P(X=0)=C20C3所以X的分布列为：X012P163E(X)=0×117．【答案】（1）证明：因为FB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以FB⊥AD，

又因为FM⊥AD，且FB∩FM=F，所以AD⊥平面BFM.因为BC//AD，故BC⊥平面BFM；（2）解：作EN⊥AD，垂足为N，则FM//EN，因为EF//AD，所以四边形FMNE是平行四边形，

又因为EN⊥AD，所以四边形FMNE是矩形，又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4，EF=2，所以AM=1，由（1）知AD⊥平面BFM，所以BM⊥AD，又AB=2所以BM=1，在Rt△AFM中，FM=A在Rt△FMB中，FB=F以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A(−1,−1,0)，B(0,0,0)，F(0,0,3)，D(−1,3,0)，E(0,2,3)，所以AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(−1,3,0)设平面ABF的法向量为m=由m⋅AB=0m⋅设平面DBE的法向量为n=由n⋅BD=0n⋅因此，cos<依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为347【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作EN⊥AD，垂足为N，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，在Rt△FMB中，求得FB=FM2−BM2=3，再以BM，BC，BF（1）因为FB⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以FB⊥AD.又FM⊥AD，且FB∩FM=F，所以AD⊥平面BFM.因为BC//AD，所以BC⊥平面BFM.（2）作EN⊥AD，垂足为N.则FM//EN.又EF//AD，所以四边形FMNE是平行四边形，又EN⊥AD，所以四边形FMNE是矩形，又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4，EF=2，所以AM=1.由（1）知AD⊥平面BFM，所以BM⊥AD.又AB=2所以BM=1.在Rt△AFM中，FM=A在Rt△FMB中，∴FB=F由上可知，以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.则A(−1,−1,0)，B(0,0,0)，F(0,0,3)，D(−1,3,0)，E(0,2,3)，所以AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(−1,3,0)设平面ABF的法向量为m=由m⋅AB=0m⋅设平面DBE的法向量为n=由n⋅BD=0n⋅因此，cos<依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为34718．【答案】（1）解：设动点P(x,y)，因为直线PA，PB的斜率满足kPA所以yx+2⋅y即轨迹C的方程为x2（2）解：设过点(1,0)的直线l的方程为：x=ty+1(t∈R)，Mx1,联立x=ty+1x24+y由韦达定理可得：y1+yS△AMN令u=t2+3，则u≥3，设s(u)=6uu2所以当u≥3时，s'u<0，则所以s(u)的最大值为s(3即u=3，t=0时，△AMN的面积取最大值3（3）解：由已知可设直线AM的方程为y=y1x1+2x+2，即y=y1ty1+3(x+2)，直线BN的方程为y=y2x2−2(x−2)，

即y=y2ty2−1(x−2)，消去y，得y1(x+2)ty1+3=y2【解析】【分析】（1）设动点P(x,y)，利用直线PA，PB的斜率之积为−1（2）设出直线l的方程x=ty+1(t∈R)，并代入椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，由韦达定理得到y1+y2=（3）设出直线AM与BN的方程，联立后可整理得到x+2t+3y1=（1）设动点P(x,y)，因为直线PA，PB的斜率满足kPA∴yx+2⋅所以轨迹C的方程为x2（2）设过点(1,0)的直线l的方程为：x=ty+1(t∈R)，Mx1,由x=ty+1x24+y则y1+yS△AMN令u=t2+3，则u≥3，设s(u)=6uu2所以当u≥3时，s'u<0，则所以s(u)的最大值为s(3即u=3，t=0时，△AMN的面积取最大值3（3）由已知可设直线AM的方程为y=y1x直线BN的方程为y=y2x消去y，得y1(x+2)ty1由（2），得y1+y2=−2tt所以（*）式可化为x+2t+3y1=显然y≠0，否则AM,BN重合，不合题设，所以点Q的轨迹方程为x=4(y≠0).19．【答案】（1）解：函数f(x)=lnx−a2x设所求切线的切点为x0,y0，则直线即y−y0=2e即lnx令t(x)=ln可知y=t(x)在(0,+∞又t(e)=0，所以方程lnx0+2所以直线l的方程是y=1−4e2（2）证明：因为fx1=fx20<x1<x2，所以lnx1−a2x12=lnx2−a2x22，

即lnx1−lnx2x1−x2=ax1+x22，要证f'（3）解：由题意得G(x)=ln则G'令G'(x)=0，得x=1+在0,1