2024-2025学年内蒙古乌兰浩特高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年内蒙古乌兰浩特高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若直线与直线垂直，则（）A． B． C． D．2．已知，，，若，则（

）A．-2 B．2 C．-4 D．43．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．圆：与圆：的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．6．在四面体中，点E满足，F为BE的中点，且则实数λ=（

）A． B． C． D．7．某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（）A．米 B．米 C．米 D．米8．已知离心率为的椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短轴长为，直线过点且与椭圆交于、两点，若，则直线的方程为（A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若直线与直线平行，则的值可以是（

）A．0 B．2 C． D．410．已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（

）A．的离心率为B．C．的值可以为3D．若的面积为，则11．已知点及圆，点是圆上的动点，则（

）A．过原点与点的直线被圆截得的弦长为B．过点作圆的切线，则切线方程为C．当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为三、填空题（本大题共3小题）12．已知椭圆的左，右顶点分别为A，，上顶点为，则直线，的斜率之积为．13．圆：与圆：相交于、两点，则．14．在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，.(1)求直线的方程及的面积；(2)求的外接圆的方程.16．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上的点满足，求点的坐标.18．如图，三棱柱的所有棱长均相等为的中点．

(1)证明：AB⊥平面CDC1；(2)设·，求二面角的正弦值．19．给定椭圆:，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为(1)椭圆的方程；(2)是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值．

答案1．【正确答案】D【详解】因为直线与直线垂直,所以直线的斜率为0,所以.故选：D.2．【正确答案】A【详解】由题意，，因为，所以，解得，，所以.故选：A.3．【正确答案】B【详解】由题意可得，解得.故选：B.4．【正确答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系的判断方法求得正确答案.【详解】圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，因为，所以圆与圆内切.故选：D5．【正确答案】A【详解】直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选：A6．【正确答案】D【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F为BE的中点，得又因为所以，由得即所以故选D.

7．【正确答案】A【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设直线的方程为，将代入得，故直线方程为，设点关于直线的对称点为，则，解得，故，连接，与交于点，与圆交于点，则，所以即为机器人走过的最短路程，其中，故.故选：A8．【正确答案】B【详解】由题意可得，解得，所以，椭圆方程为，因为，则点在椭圆内，设点Ax1,y1、因为直线过点且与椭圆交于、两点，若，则为的中点，所以，，，若直线轴时，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，因为，这两个等式作差可得，即，可得，因此，直线的方程为，即.故选：B.9．【正确答案】AB【详解】因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10．【正确答案】AD【详解】对于A，椭圆中，，离心率为，A正确；对于B，由对称性可得，所以，B错误；对于C，设且，则，故，所以C错误；对于D，不妨设在第一象限，Ax0,y0，则，得，则则，故，故D正确.故选：AD.11．【正确答案】ACD【详解】圆的标准方程为，圆的半径.对于，如图，直线的方程为0，过点作于点，则点到直线的距离为，故直线被圆截得的弦长为故A正确；对于B，如图，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，由，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的直线故B错误；对于C，如图，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的圆的切线.因直线的斜率为2，可设该切线方程为，又直线的直线方程为，则可得解得故C正确；对于D，如图，连接,易得过点的切线所在直线方程为，故，又由圆的对称性可知,因,则,故直线的方程为，即，故D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【详解】由题意知，，，所以，即直线，的斜率之积为．13．【正确答案】4【详解】由圆：与圆：，两圆相减得公共弦AB所在直线方程为：，有圆：，可得圆心，半径，所以圆心到直线AB的距离，所以.故4.14．【正确答案】【详解】如图所示,建立空间直角坐标系，

则,设,则，因为,所以,即，所以,又,则，当时,取得最小值，此时,即，所以,设平面的一个法向量为，则即,令,解得,所以,则点到平面的距离为故答案为.15．【正确答案】(1)；9(2)【详解】（1）直线的方程为，即，因为，点到直线的距离为，所以的面积为.（2）设的外接圆的方程为，由题意，解得，所以的外接圆的方程为.16．【正确答案】(1)(2)．【分析】（1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可；（2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可.【详解】（1）以为原点，的方向分别作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值是．（2）由（1）知，，，设平面的法向量为n=x,y,z，则取，得，所以平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17．【正确答案】(1)(2)或或或.【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为，半焦距.又椭圆经过点，，故椭圆的方程为.（2）设点，因为，则，即，联立，解得.当时，，当时，，点的坐标为或或或18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由，得由余弦定理，得因为为的中点，所以又所以又平面所以平面（2）由（1）知，平面又平面所以又所以则四边形为正方形．由得又所以则所以四棱锥为正四棱锥．连接则设连接易证平面以为原点OB，OB1，OC所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则所以设平面的法向量为由取解得所以设平面的法向量