2024-2025学年陕西省商洛市高二上学期期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省商洛市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．3．圆和圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．内切 D．相交4．在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（

）A． B．C． D．5．已知点是双曲线：的渐近线上在第一象限内的一点，为的左焦点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知点在直线上，那么的最小值为（

）A． B． C． D．28．已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（

）A．10 B．8 C．24 D．二、多选题（本大题共3小题）9．如图，已知正方体的棱长为1，则（

）

A．B．平面C．平面与平面的夹角为D．点到平面的距离为10．已知方程表示的曲线为，则（

）A．当时，曲线表示椭圆B．存在，使得表示圆C．当或时，曲线表示双曲线D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为11．已知圆，点是圆上的点，直线，则（

）A．直线与圆相交所得弦长是B．的最大值是C．圆上恰有个点到直线的距离等于D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．平行线与间的距离为．13．设、、，，，，且，，则.14．如图，双曲线：的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是．四、解答题（本大题共5小题）15．（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；（2）求点关于直线的对称点的坐标.16．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且______.(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.17．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．18．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为.(1)求这两条曲线的方程；(2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；(3)若为两条曲线的交点，求的余弦值.19．已知椭圆的离心率为，焦距为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于、两点，且.（i）试求、的关系式；（ii）证明：的面积为定值.

答案1．【正确答案】A【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选A.2．【正确答案】C【详解】解：将方程化为标准方程为，所以其焦点坐标为.故选：C3．【正确答案】D【详解】由，则，半径，由，则，半径，所以，即两圆相交.故选D.4．【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】．故选：D5．【正确答案】A【详解】由题意知，，，故的过第一象限的渐近线斜率为，且，又与原点连线的斜率为0，故斜率的取值范围为．故选：A．6．【正确答案】B【详解】

以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值等于.故选：B7．【正确答案】C【分析】将用表示，根据二次函数的性质即可得结果.【详解】由点在直线上可知，，当时取得最小值5，故选：C.8．【正确答案】B【详解】椭圆中，，因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以，又，故四边形为平行四边形，又，故四边形为矩形，即⊥，由勾股定理得①，由椭圆定义得②，式子②平方得，结合①得，故四边形的面积为.故选：B9．【正确答案】ACD【分析】根据正方体性质可利用线面垂直判定定理证明平面，由线面垂直性质可知A正确；易知平面即为平面，显然与平交于点，即B错误；根据二面角的定义可知即二面角的平面角为，即C正确；利用等体积法即可求得点到平面的距离为，可得D正确.【详解】连接，如下图所示：

对于A，由正方体性质可知，平面，又平面，所以；又因为是正方形，所以，又，且平面，所以平面；平面，所以可得，即A正确；对于B，平面即为平面，又平面，即与平交，所以B错误；对于C，平面平面，易知，，所以即为平面与平面夹角的平面角，显然，即平面与平面的夹角为，可知C正确；对于D，易知三棱锥与三棱锥的体积相等，设点到平面的距离为，即，可得，所以；即点到平面的距离为，可得D正确.故选：ACD10．【正确答案】BC【详解】A、B选项：当时，，，当时，，此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确；C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则椭圆的焦距，D选项错误；故选：BC.11．【正确答案】CD【详解】

如图所示，由已知圆，则圆心O0,0，半径，A选项：圆心到直线的距离，则弦长为，A错；B选项：可表示点Px0,y易知当直线与圆相切时，斜率取得最值，设斜率，则直线，即，则，解得，所以，其最大值为，B错；C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确；D选项：由圆可知圆心，半径，由切线长可知，所以当取得最小值时，取最小值，又，即的最小值为，所以的最小值为，D选项正确；故选：CD.12．【正确答案】/【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】将方程两边乘以2，得，所以两平行线间的距离为．故．13．【正确答案】【详解】因为、、，，，，且，，则，解得，则，由可得，解得，，则，所以，因此.故答案为.14．【正确答案】【详解】解：由为的中点，且，，可得，因为是的角平分线，即有，，由双曲线的定义可得，则，即有在直角三角形中，，即，由，可得，解得或，由于，则．故．15．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1）根据题意，设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，故所求直线方程为；（2）设点，由题意可知，，线段的中点在直线上，且直线的斜率为，所以，，解得，故点的坐标为.16．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.【详解】（1）方案一：选条件①.设圆的方程为，则，解得，则圆E的方程为.方案二：选条件②.直线恒过点.因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.方案三：选条件③.设圆E的方程为.由题意可得，解得，则圆E的方程为，即.（2）设.因为M为线段AP的中点，所以，因为点P是圆E上的动点，所以，即，所以M的轨迹方程为.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.18．【正确答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，.则，解得，，则，，因此，椭圆方程为，双曲线方程为.（2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，则，，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，因为，这两个等式作差可得，所以，，可得，所以，直线的方程为，即，检验：联立可得，则，合乎题意，因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为.（3）不妨设、分别为两曲线的