2024-2025学年宁夏回族自治区高三上学期第四次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年宁夏回族自治区高三上学期第四次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．复数的虚部为（

）A． B．3 C． D．3i2．若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（

）A． B． C． D．3．已知向量，（），若，则（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（）A． B．C． D．无最大值6．如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为7．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（

）A．6 B．4 C．3 D．28．设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则10．已知直线：，圆：，以下正确的是（

）A．与圆不一定存在公共点B．圆心到的最大距离为C．当与圆相交时，D．当时，圆上有三个点到的距离为11．设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于原点对称C． D．的极小值为-3三、填空题（本大题共3小题）12．已知，若直线与直线相互垂直，则a=.13．如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为．14．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．记是公差不为0的等差数列的前项和，，且成等比数列.(1)求和；(2)若，求数列的前20项和.16．已知函数.(1)求的图象在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；(2)设函数，若在定义域内单调递减，求实数的取值范围.17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.18．在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．(1)求角B；(2)若，求面积的最大值；(3)求的取值范围．19．已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．(1)计算．(2)设函数．①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；②若且，函数，证明：．

答案1．【正确答案】B【详解】化简，得其虚部为3.故选：B2．【正确答案】A【详解】由题意可知圆锥的母线长，底面圆周长为，底面圆面积为，所以圆锥侧面积为，故该圆锥表面积为.故选：A.3．【正确答案】B【详解】因为，，所以，；因为，，即，解得或（舍去），所以，；故选：B.4．【正确答案】C【分析】由题意可知，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得，即可得答案.【详解】解：因为，所以.故.故选：C.5．【正确答案】B【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即，可得，则，故A错误；对于选项B：因为，则，所以，故B正确；对于选项D：因为，且，可知，当时，；当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，对于选项C：因为，所以，故C错误；故选：B.6．【正确答案】B【分析】对于A，根据正方体的性质判断；对于BD，利用空间向量判断；对于C，利用体积公式求解即可.【详解】对于A：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；如图建立空间直角坐标系，则，对于B：，设平面的法向量为，则，令，则，则，因为，所以，所以，因为在平面外，所以直线与平面平行，故B正确；对于C：，所以三棱锥的体积为，故C错误；对于D：，直线BC与平面所成的角为，，故D错误.故选B.7．【正确答案】D【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案.【详解】因为，，令，则，设，，则，所以是奇函数，最大值为，最小值为，则，由，解得.故选D.8．【正确答案】B【详解】，圆心，半径，过定点，过定点，且⊥，如图，设和BD中点分别为F、G，则四边形为矩形，

设，，则，则＝，当且仅当即时取等号.故选：B.9．【正确答案】AC【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，而，，则，，因此，A正确；对于B，由，，，得是平行直线或异面直线，B错误；对于C，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，由，得，又，则，因此，C正确；对于D，，，，当都平行于的交线时，，D错误.故选：AC10．【正确答案】ABD【详解】对于A，圆心到直线的距离为，当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确；对于B，因为直线，即，所以直线过定点，当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确；对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误；对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为，所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确.故选：ABD.11．【正确答案】ABD【详解】因为的图象关于对称，所以，即，则为偶函数，故A正确；由得，，两边取导数得，，即，所以，则是奇函数，所以图象关于原点对称，故B正确；由上可知，，又由得，所以，则，所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；又由，令得，，则，故C错误；由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，在上单调递减，所以在上单调递减，又的图象关于对称，所以在上单调递增，由周期性可知，在上单调递增，所以当时，取得极小值，即，故D正确，故选：ABD.12．【正确答案】0或2【详解】两直线垂直，故，解得或2.故或213．【正确答案】【详解】如图，延长相交于，连接，交于，延长相交于，连接交于，可得截面五边形，是边长为的正方体，且分别是棱的中点，，截面的周长为.故答案为.14．【正确答案】【详解】由，即，可得或，根据正弦函数图象性质可知，解得，则；将函数的图象向左平移个单位可得，又为偶函数，则，又，可得，因此；当时，可知，若函数在内恰有个极值点，可知，解得，所以实数的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】(1)，；(2)【详解】（1）设已知数列的公差为，则，由，得，即，所以或，显然不为0，所以，所以，.（2）由（1）知，又，，，所以.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，则.又因为，所以的图象在点处的切线为，与两个坐标轴的交点分别为和，所求的封闭图形的面积为.（2）的定义域为0,+∞，因为在定义域内单调递减，所以，即，所以.设，则.当时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，当时，ℎ′所以，所以的取值范围是.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）因为，，则，又平面，平面，则，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.

（2）因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、，设，，其中，显然平面的一个法向量为，依题意，，解得，于是为的中点，即，设平面的法向量为，，，则，取，得，而平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，根据正弦定理得：，且，可得，即，又因为，则，可得，整理可得，且B∈0,π，则，可得，解得.（2）由余弦定理得：，即，可得，解得，当且仅当时，等号成立，所以的面积为：，故面积的最大值为.（3）根据正弦定理得：，令，则，可得，将原式化为：，因为，则，可得，根据二次函数的图像性质得到，当时，原式取得最小值，；当时，原式取得最大值，；故的取值范围为.19．【正确答案】(1)18(2)①；②证明见解析【详解】（1）原式．（2）．

（i）．当或时，；当时，．

所以在和上是增函数，在上是减函数，所以的极大值点为，极小值点为1．

因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，所以，

则公差，所以，

所以．

（ii）因为，所以在上无零点，在上存在唯一零