2024-2025学年辽宁省高二上学期11月期中数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年辽宁省高二上学期11月期中数学检测试卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．1.已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（）A.0 B. C. D.【正确答案】D【分析】由正方体可得，可得是异面直线直线与所成的角，进而求解即可.在正方体中，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线直线与所成的角，又易得是等边三角形，所以，所以，所以直线与所成角的正弦值为.故选：D.2.在空间直角坐标系中，已知，若共面，则的值为（）A. B.0 C.1 D.2【正确答案】A【分析】由空间向量共面定理代入计算，即可得到结果.由空间向量共面定理可得存在实数，使得，即，所以，解得.故选：A3.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求出斜率，进而可得倾斜角由直线得故直线的斜率为，又倾斜角范围为，所以倾斜角为．故选：A．4.圆和圆的公切线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【正确答案】B【分析】将圆的一般方程转化成标准方程，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.由题意得，圆，即以为圆心，为半径的圆，圆，即以为圆心，为半径的圆，则，故，因此两圆相交，则有2条公切线.故选：B.5.已知且，则的最大值为（）A.1 B. C. D.5【正确答案】D【分析】由三角换元代入计算，结合正弦型函数的值域，即可得到结果.令，则，其中，因为，则，所以的最大值为.故选：D6.若椭圆离心率为，则（）A.1 B.4 C.1或4 D.以上都不对【正确答案】C【分析】分焦点在轴和焦点在轴两种情况分别计算.当焦点在轴上时，，解得；当焦点在轴上时，，解得.故选：C7.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由正三角形特点用表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率.是正三角形，，.故选.本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形的特点求出.8.曲线所围成图形的面积为（）A.2 B. C.4 D.【正确答案】A【分析】根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，然后画出图形，结合图形即可求得结果.由可得，即，所以，又，即，当且时，则方程为，即，所以，当且时，则方程为，即，当时，则，所以方程为，即，画出如图所示图像，其中弓形与弓形相等，由割补法可知，围成图形的面积为.故选：A二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知且，则的值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】CD【分析】由的几何意义可求得其范围，即可得答案.因，则表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点.则表示到距离的平方.类比点到圆上距离的范围，可得，，结合，可得，则，.故，则只有CD满足条件.故选：CD10.在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（）A.若，则x，y，z满足：B.若，则x，y，z满足：C.若，则x，y，z满足：D.若，则x，y，z满足：【正确答案】BCD【分析】A由空间向量模长公式可判断选项正误；B由空间向量垂直坐标表示可判断选项正误；C由空间向量共线坐标表示可判断选项正误；D由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误.A由题，，因，则A错误；B因，则，故B正确；C因，则，故C正确；D因，则.即，故D正确.故选：BCD.11.现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM与底面直径MN的长度都是2.点是PM的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（）A. B.1 C. D.2【正确答案】ABC【分析】当平面与圆锥的旋转轴所成角度大于母线与旋转轴所成角度，小于直角时，圆锥被平面所截得的截线形状为椭圆。本题中可以通过轴截面做出椭圆长轴长度的最大值和最小值，从而确定答案.如上图，做出过点的轴截面，由已知条件可知，平面与轴截交得到的线段最短为，最长为，当平面与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面内时，长轴长或.根据已知的几何关系可以计算出，.当与圆锥所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面内时，长轴长度满足.对于A选项，长轴长度可以为；对于B选项，，长轴长度可以为；对于C选项，，长轴长度可以为；对于D选项，，长轴长度不可能为.故选：ABC方法点睛：过点做出轴截面可以得出椭圆长轴长度的取值范围，与选项进行对照求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是______.【正确答案】【分析】先根据两直线垂直求出斜率，再写出点斜式方程.直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以的方程为：，即.故13.已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是______．【正确答案】【分析】由题设圆的方程为：，代入，即可求得方程.因点B，C是直线与圆的交点，则设过B，C的圆的方程为：，代入，则，则过过点A，B，C的圆的方程是：.故14.已知点在棈圆上，点，则的取值范围是______.【正确答案】【分析】构造椭圆，椭圆分别与椭圆有相同的短轴和长轴，同时是两椭圆的焦点，利用图形关系可求的取值范围.由椭圆与椭圆有相同的短轴，由椭圆与椭圆有相同的长轴，又椭圆与椭圆有相同的焦点，即点，由椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，椭圆在椭圆上及其内部，当点在上时，，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在短轴的端点时取等号，当点在上时，，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在长轴的端点时取等号，所以的取值范围是.故答案为.关键点点睛：考查数形结合思想的应用，重点在于构知椭圆与原椭圆分别共长轴与短轴，并以为焦点，利用椭圆的定义可求解.四.解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知椭圆的长轴端点是和，离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用已知条件可求得，进而可求得椭圆方程；（2）设是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公可得，可求得点到点的距离的取值范围.【小问1详解】由题意得：，解得.故椭圆的方程为：【小问2详解】设是椭圆上的任意一点，所以，所以，其中.所以.故点到点的距离的取值范围是.16.如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为.（1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值；（2）在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由.【正确答案】（1）（2）在线段上存在点，点满足，使得.【分析】（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．设，利用侧棱与底面所成的角为，结合线面角的向量求法，求出参数，再利用面面角的向量求法即可求解.（2）设，验证是否存在使得.【小问1详解】设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知，.设，其中，则，向量是平面的法向量.由题意得，，解得.设平面的法向量为.因为，，所以，即，令，则，则则，故侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值为.【小问2详解】由（1）知，，设，则.因为，若，则.即，解得，故在线段上存在点，点满足，使得17.如图，在三棱柱中，点是棱AC的中点.侧面底面ABC，底面ABC是等边三角形，.（1）求证：平面ABC；（2）求平面与平面所成锐二面角平面角余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由侧面底面ABC结合面面垂直性质可证结论；（2）.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面与平面法向量，后由空间向量知识可得答案.【小问1详解】连结OB.在中，，所以，且.又因为，所以平面.从而．又因为平面平面ABC，AC是平面与平面ABC的交线，所以平面ABC【小问2详解】在中，，所以.设.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．有，，.设平面的法向量为，平面的法向量为.由题意得.则取平面的法向量为，平面的法向量为.则.故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是18.已知点与点关于直线对称.（1）求点坐标m，n（用表示）；（2）若点在曲线上，求点所在曲线的方程.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用对称特性列出方程组求解即得.（2）由（1）的结论，与联立消去即可得解.【小问1详解】依题意，，解得.【小问2详解】依题意，，所以.整理得：（其中），所以点所在曲线的方程为.19.在平面直角坐标系中，已知点，点满足.记的轨迹为.（1）求方程；（2）已知点，设点M，N在上，点M，N与点不重合，且直线MN不与轴垂直，记分别为直线AM，AN的斜率.（ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN经过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q，求点的轨迹方程.【正确答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）点的轨迹方程为直线（除去点）【分析】（1）根据，代入两点间距离公式即可求解