2024-2025学年江西省高二上学期11月期中联考数学检测试题（北师大版）附解析

2024-2025学年江西省高二上学期11月期中联考数学检测试题（北师大版）一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足（i是虚数单位），则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，的夹角为，，，则（

）A．3 B．7 C． D．3．“”是“直线与直线互相垂直”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．5．已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（

）A．或 B．2或 C．2或4 D．或46．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．7．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知偶函数的定义域为R，，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设，对于直线，下列说法中正确的是（

）A．的斜率为B．在轴上的截距为－1C．不可能平行于轴D．与直线的距离是10．已知为坐标原点，，圆，则（

）A．圆恒过坐标原点B．圆与圆内切C．直线与圆相离D．圆的圆心在单位圆上运动11．点为抛物线上一点，为的焦点，为坐标原点，连接并延长交抛物线于点，且，则（

）A．的准线方程是B．点的坐标为或C．直线的方程是D．三、填空题（本大题共3小题）12．设，是函数的零点，则的值为.13．现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是.14．过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是，此时直线的方程是.四、解答题（本大题共5小题）15．阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足.(1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程；(2)若点，求的最小值和最大值.16．记内角、、的对边分别为，，，已知，.(1)求角的大小；(2)若角为锐角，且的面积为，求的边长.17．已知直线与抛物线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1.(1)试确定的值；(2)若直线与椭圆有公共点，且抛物线的准线与此椭圆的一个交点是，求的取值范围.18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点，且直线与轴垂直.(1)证明：；(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.19．法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理.(1)求椭圆的蒙日圆方程；(2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是.（i）证明：平分切点弦；（ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点S，，证明.

答案1．【正确答案】A【详解】由得，.在复平面内对应的点在第一象限.故选:A.2．【正确答案】D【详解】，.故选：D.3．【正确答案】A【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直，当直线与直线互相垂直时，，，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.故选：A4．【正确答案】D【详解】选项A：，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底，故A不符合题意；选项B：，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底，故B不符合题意；选项C：，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底，故C不符合题意；选项D：假设不能作为空间的一个基底，则共面，存在，使得，则向量共面，与题意矛盾，故不共面，因此可以作为空间的一个基底，故D符合题意.故选：D.5．【正确答案】C【详解】由题意得，，有四种情形：，，；，，；，，；，，.故选：C.6．【正确答案】D【详解】设，联立，消去化简整理得，所以，于是，解得，故直线的方程为，令，解得，所以直线在轴上的截距为，故选：D.7．【正确答案】B【详解】由原不等式得，，（1）时，，不等式成立，，（2）当时，，则原问题转化为求函数的最大值问题，令，则，其中，因为在单调递增，所以，因此，综合（1）、（2）可知，实数的取值范围是.故选：B.8．【正确答案】C【详解】，又是偶函数，则，可得，令为，则，因此，所以周期为4.因为，所以.又因为，所以.因为，所以.于是，.故选：C.9．【正确答案】BD【详解】时，的斜率为，时，直线的斜率不存在，A错.在中，令，则.B对.当时，直线，平行于轴，C错.与直线的距离是.D对.故选：BD.10．【正确答案】ABD【详解】对于A，满足，所以A对.对于B，两圆的圆心距是1，，所以B对.对于C，圆的圆心到直线的距离，所以C错.对于D，圆的圆心的坐标满足方程.所以D对.故选:ABD.11．【正确答案】BD【详解】由抛物线，则，即，所以，准线方程是，故A错误；设，则，而，则，，即，所以点的坐标为或，故B正确；当点的坐标为时，直线的的斜率为，此时直线的方程是，即；当点的坐标为时，直线的的斜率为，此时直线的方程是，即，故C错误；对于D，可以使用结论，下面进行结论说明：设抛物线，焦点，过焦点的直线与抛物线交于，显然直线的斜率不为，设直线的方程为，联立，得，则，则，，所以.所以，故D正确.故选：BD.12．【正确答案】【详解】由得，.即.而，所以.故.故答案为.13．【正确答案】【详解】设，，分别为第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，则；；，因此“恰有一名女志愿者”的概率为.故答案为.14．【正确答案】48【详解】设Aa,0，，其中，，则直线的方程为.在直线上，.又，即，.所以，当且仅当时取等号，再结合解得，，，所以面积的最小值为48，此时直线的方程为，即.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)最小值是，最大值是.【详解】（1）设动点，则就是，即，整理得，.故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为.（2）就是，其半径是4，圆心是，.

显然在圆外，故的最小值是，最大值是.16．【正确答案】(1)或(2)【详解】（1）设的外接圆半径为，由，得，于是，因为，所以，，因为，且，，所以，，因为，故或.（2）由题意可知，，因为，且，所以，解得，故.17．【正确答案】(1)1(2)【详解】（1）设，则，由，得，则，所以，解得.（2）由（1）知抛物线，准线方程为，因为抛物线C的准线与椭圆的一个交点是，所以，代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆方程为.又直线l与椭圆有公共点，由，得，，解得，即实数m的取值范围为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意知，将代入方程，得，即，由双曲线的定义知，，所以，所以，即证；（2），则，，由（1）知，，由双曲线定义可知：，由角平分线性质定理可得：，即，整理得，由解得，.

19．【正确答案】(1);(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【详解】（1）考虑边与椭圆长轴和短轴分别平行的矩形知，其对角线之半就是蒙日圆的半径，即，因