2024-2025学年江苏省南京市高三上学期11月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省南京市高三上学期11月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则的虚部为（

）A． B．3 C． D．3．已知向量，，则（

）A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（

）A． B． C． D．5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．6．已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则（

）A． B． C． D．7．已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知点，，直线.为圆：上的动点，下列选项中正确的是（

）A．若圆关于对称，则 B．与圆总有公共点C．面积的最大值为 D．面积的最小值为10．根据气象学上的标准，从秋季进入冬季的标志为连续5天的日平均温度均低于.现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（

）A．平均数为3，极差为2 B．中位数为7，众数为9C．众数为5，极差为6 D．平均数为4，方差为211．若数列满足，则称数列为项数列，集合是由所有项数列构成，现从集合中任意取出两个数列，，记随机变量，下列选项中正确的是（

）A．中有16个元素B．的所有可能取值为0，1，2，，C．D．若的期望，则的最小值为32三、填空题（本大题共3小题）12．的展开式中的系数为.（用数字作答）13．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为14．在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知等差数列的首项，且满足.(1)求数列的通项；(2)若，记数列的前的和为，求满足的最小整数.16．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点.(1)若点为中点，证明：平面；(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.17．在直角梯形中，已知，，，，.(1)求；(2)若动点，分别在线段，上，且与面积之比为，试求的最小值.18．已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与.(1)求的方程；(2)当斜率为1时，求直线的方程；(3)求证：为定值.19．已知函数，其中.(1)讨论的单调性；(2)若函数.（i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合.（ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围.

答案1．【正确答案】C【详解】因为集合，令，则，令，则，所以或，且，所以.故选：C2．【正确答案】D【详解】因为复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，所以，所以，虚部为.故选：D3．【正确答案】B【详解】若，则，解得；若，则，解得或；故ACD错误，B正确；故选：B.4．【正确答案】B【详解】从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为，，，，，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.故选：B.5．【正确答案】C【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积.故选：C6．【正确答案】D【详解】因为函数为偶函数，则，因为，所以，则解析式为，由函数解析式可知，，因为，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，所以在中，，所以最高点的纵坐标为，即，所以解析式为，所以.故选：D7．【正确答案】A【详解】由题意得，，令，则∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故选：A.8．【正确答案】A【详解】由，则，因为，是函数在定义域上的两个极值点，则，，因为，代入，，得，解得.故选：A9．【正确答案】BC【详解】对于A，若圆关于对称，则直线过圆心，则，解得，故A错误；对于B，因为直线：，即恒过点，又，所以点在圆的内部，所以与圆总有公共点，故B正确；对于C，D，因为，且,则直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，即点到直线的距离的取值范围为，所以面积的取值范围为，故C正确，D错误；故选：BC10．【正确答案】ABD【详解】关键点：“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：，A选项，，，若，则，与平均数为矛盾，所以A选项正确.B选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是，第个数为，所以个数据都小于，所以B选项正确.C选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以C选项错误.D选项，，，，若，则，矛盾，所以D选项正确.故选：ABD11．【正确答案】ACD【详解】对于A，数列中每一项均为1或2，只有两种可能，，所以中有个元素，A正确；对于B，数列，为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，所以不能取0，的所有可能取值为1，2，，，B错误；对于C，根据数列中1的个数可得，集合中元素的个数共有个，故中共有个元素，当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同，从项中选择项，和在项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反，由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况，所以，故，C正确；对于D；所以随机变量的分布列为：123因为，所以，令，所以数列是递增函数，，D正确.故ACD12．【正确答案】56【详解】第一个括号内取1时，第二个为；第一个括号内取时，第二个为，所以展开式中的系数为，故56.13．【正确答案】【详解】若函数有三个不同的零点，即有3个不同的根，即y=fx与的图象有3个不同的交点，作出y=fx则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为.14．【正确答案】【详解】，∴∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵为锐角，∴∴,当且仅当，即时等号成立.故15．【正确答案】(1)(2)40【详解】（1）设公差为，方法1.，，，.2..2.，，.（2）由（1）知，.，即，，.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图所示：连接，点、分别是，的中点，，又，且，四边形是平行四边形，，，又平面，且平面，面.（2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A2,0,0，，，，，，，设，，，设平面的一个法向量是，则，取得，因为直线与平面所成的角的正弦值为，所以，解得（负值舍去）故，则平面的一个法向量是，，设平面的一个法向量是m=x,y,z则，取得，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.17．【正确答案】(1)6(2)4【详解】（1）作，垂足为，设，，，由于，则，，又，所以，解得（舍去），所以.（2）设，由（1）.由题：，.又，..当且仅当时取等号.18．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由，得，又因为，所以，所以，所以.（2）由题知：，设Ax1,y1联立，消去可得，则，所以，则，又直线，互相垂直，则，设，则，联立，消去可得，则，所以，则，所以.（3）由题意可知，的斜率不为0，设：，Ax1,y1，由可得，.所以，，，所以.所以，所以.同理可得：，.令，得.当，，时，直线的斜率.所以：，化简得：，即为.所以到的距离，所以到的距离，所以.由（2）知，当时，，所以.19．【正确答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）的定义域为，由，得，①当时，，在上单调递增；②当时，则当时，，单调递增；则当时，，单调递减；综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）（i）由，得，设点和点，不妨设，则曲线在点处的切线方程为，即；同理曲线在点处的切线方程为；假设与重合，则，化简得，.两式消去，得，则，令，，由，所以在上单调递增