2024-2025学年江苏省高一上学期12月阶段性考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省高一上学期12月阶段性考试数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合集合则（

）A．(-∞，0)∪[2，+∞) B．(0，2]C．(0，2) D．(0，+∞)2．函数为定义在上的偶函数，则实数等于（

）A． B．1 C．0 D．无法确定3．已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表.2则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、6．与角的终边相同的角的集合是A．B．C．D．7．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟（）A．12 B．14 C．16 D．188．已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数的取值范围是A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（

）A． B．C． D．10．下列说法不正确的是（

）A．已知方程的解在内，则B．函数的零点是，C．函数，的图象关于对称D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，则方程的根落在区间上11．下列结论中正确的是（

）A．终边经过点的角的集合是B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是C．若是第三象限角，则是第二象限角D．若，，则12．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为B．在上是增函数C．的解集为D．的解集为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为弧度.14．若对任意a＞0且a≠1，函数的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝.15．设，则.16．设满足，满足，则.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）计算：；（2）化简：18．已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数的值．19．设函数．(1)若不等式的解集，求a，b的值；(2)若，①，，求的最小值，并指出取最小值时a，b的值．②求函数在区间上的最小值．20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产（千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.21．已知函数.（1）若，解关于x的不等式；（2）已知为定义在R上的奇函数.①当时，求的值域；②若对任意成立，求m的取值范围.22．已知函数，．(1)求证：为R上的偶函数；(2)若函数在R上只有一个零点，求实数的取值范围1．D解二次不等式得集合；求函数定义域得集合，再由并集的概念，即可得出结果.【详解】因为，，因此.故选：D.本题主要考查求集合的并集，涉及二次不等式，以及根式型函数的定义域，属于基础题型.2．C【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称即可得解.【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，解得.故选：C.3．D【分析】先判断，然后根据弧度得到，最后比较大小即可.【详解】因为，，而，所以，所以，故选：D4．C【分析】根据对数的运算法则求出，结合对数的换底公式即可得出结果.【详解】由题意知，，所以，所以.故选：C5．B【分析】根据表中数据，结合函数的变化率，即可求解.【详解】解：由表可知，随着的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化，随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化，相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选：B.6．B【分析】在范围内找出与角终边相同的角，然后可得出与角终边相同的角的集合.【详解】因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为.故选B．本题考查终边相同的角的集合，一般要在范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.7．C【分析】先计算出，再根据条件计算即可.【详解】根据题意有：，∴.故选：C.8．C【分析】作出函数的图像，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图像得出其范围.【详解】解：作出函数的图像如下：

数，且函数有6个零点等价于有6个解，等价于或共有6个解等价于函数与共有6个交点，由图可得与有三个交点，所以与有三个交点则直线应位于之间，所以故选：C.根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.9．BC【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.【详解】当时，函数在上为减函数，则，解得；当时，函数在上为增函数，则，解得.综上所述，或.故选：BC.10．B【分析】利用零点的定义，零点存在性定理，反函数的定义及函数的单调性一一判定即可.【详解】对于选项A，令，易知在上是增函数，且，所以方程的解在，所以，故A正确；对于选项B，令得或，故函数的零点为和，故B错误；对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图象关于对称，故C正确；对于选项D，令，易知在上是增函数，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确.故选：B.11．ABD【分析】求出角的集合表示判断A；求出旋转角的弧度数判断B；举例说明判断C；分析两个集合判断D.【详解】对于A，当时，角终边为射线，该角的集合为，当时，角终边为射线，该角的集合为，所以所求角的集合为，A正确；对于B，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，B正确；对于C，取，满足是第三象限角，而是第四象限角，C错误；对于D，，，是整数，是整数，而是奇数，因此，D正确.故选：ABD12．AD【分析】分析可知为偶函数，研究时的函数的单调性和最值，即可得出AB的正确与否；研究函数的零点，结合单调性，奇偶性，即可判定C错误；分类讨论求解，即可得到不等式的解集，从而判定D正确.【详解】，所以是偶函数，在时，,图象为开口向下的抛物线的部分，对称轴为,在内单调递增，在上单调递减，最大值为,∴函数在R上的最大值为,在内单调递增，在内单调递减，故A正确，B错误；

由于,结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示.可知的解集为,故C错误；画出图象如图所示：

由图象可得不等式的解集为，故D正确.故选：AD.13．2【分析】根据扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的圆心角为，由题意得，，解得，所以扇形的圆心角为2弧度.故2.14．-2【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，可得函数（a＞0，a≠1）的图象经过定点P(－1,2)，所以点P在角θ的终边上，则tanθ＝＝－2.故－2.15．【分析】利用三角函数诱导公式化简所求代数式后，利用齐次化切法求值即可解决.【详解】又，则故16．【分析】根据给定条件，构造函数并探讨其单调性，借助函数零点确定与得解.【详解】令函数，而函数在上都是增函数，因此函数是增函数，由满足，得，即，于是，由满足，得，因此，而函数在上递增，于是，即，所以.故关键点睛：构造函数是基本的解题思路，观察题目所给式子的结构特点，合理构造函数，借助单调性是解题的关键.17．（1）；（2）1.【分析】（1）利用指数运算及对数的换底公式计算即得.（2）利用同角公式及诱导公式化简即得.【详解】（1）.（2）.18．(1)(2)【分析】（1）化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果；（2）由求出，再求出，然后根据列式可求出结果.【详解】（1）由得，得，所以，当时，由，得，所以，所以或，所以.（2）因为，所以，所以，即，由得，得，，所以，因为，所以，，解得.19．(1)(2)①，时，取最小值2；②当时，的最小值为，当时，的最小值为．【分析】（1）根据题意可知−1，1是方程的两根，结合韦达定理求解；（2）根据题意得，①利用基本不等式进行处理运算，注意“1”得运用；②分类讨论判断单调性求解．【详解】（1）由的解集是知−1，1是方程的两根，由根与系数的关系可得解得（2）由得，①，，，当且仅当，即，时取等号，的最小值是2．②由于，得，则，函数的图象对称轴为，当时，在区间上单调递增，则的最小值为，当时，在区间上单调递减，则的最小值为．20．(1)(2)100千台，最大年利润为5900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.【详解】（1）解：10000台=10千台,则，根据题意得：，解得，当时，，当时，，综上所述.（2）当时，当时，取得最大值；当时，，当且仅当时，因为，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.21．（1）；（2）①；②.（1）将代入函数解析式，不等式即为，令，不等式即为，解得，即，进而求得不等式的解集；（2）①根据其为奇函数，得到，求得，再根据，解得，从而求得函数解析式，利用换元思想，结合函数单调性求得函数值域；②利用函数单调性的定义证明其为增函数，结合奇函数的条件，将转化为相应不等式组，求得结果.【详解】（1），时，由可得，令，得，解得，即，所以.（2）①因为为上的奇函数，所以，即，则，所以，根据为上的奇函数可得.所以，即对任意恒成立，所以，令，令，则.所以原函数的值域转化为的值域，又因为在上单调递增，所以的值域为.②，设任意，且，则，所以在上单调递增.又因为对任意成立，且为上的奇函数，所以对任意成立，所以对任意成立.当时，满足题意；当时，解得，综上所述，.方法点睛：该题考查的是有关函数性质的问题，解题方法如下：（1）将参数代入函数解析式，解不等式即可得结果；（2）①根据奇函数的定义，求得参数值，进而求得函数的值域；②利用单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性以及奇偶性，将不等式转化，得到结果.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据偶函数定义，结合指数、对数的运算性质，即可得证（2）在R上只有一个零点，转化为有唯一实数根，令，可得在上有唯一实数根，分别讨论三种情况，根据二次函数的性质，即