2024-2025学年河北省石家庄市高三上学期天域联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河北省石家庄市高三上学期天域联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，则实数（

）A． B． C．11 D．23．已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（

）A． B． C． D．4．已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最大值时，n的值为（

）A．5 B．6 C．5或6 D．6或75．如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（

）A． B． C． D．6．设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中的系数为m的选项是（

）A．B．C．D．二、多选题（本大题共3小题）9．一位植物学家想要研究某类植物生长1年之后的高度，他随机抽取了n株此类作物，测得它们生长1年之后的高度（单位：cm），将收集到的数据按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的植物生长1年之后高度低于60cm的有20株，则以下结论中正确的是（

）

A． B．此次检测植物生长高度的第80百分位数约为80C．此次检测植物生长高度的众数的估计值为80 D．此次检测植物生长高度在之间的有50株10．已知曲线C：，为C上一点，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．不存在点，使得 D．的取值范围为11．已知对于任意不为0的实数x，函数均满足，则（

）A． B．关于对称C．若为公比为4的正项等比数列，则 D．三、填空题（本大题共3小题）12．将半径为1的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥简的高为.13．已知，，则．14．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足：，满足且的排列有个，的概率为．四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足.(1)求角A；(2)若，边上的中线，求的面积．16．如图，三棱锥中，底面ABC，，D是平面ABC内的一点．(1)若平面PAB，求三棱锥的体积；(2)若，当直线PD与平面ABC所成角的正弦值为时，求二面角的正切值．17．已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有极值点，判断的零点个数．18．已知椭圆的上顶点为，设点轴上的两个动点和满足，且当位于椭圆的右焦点时，.(1)求椭圆的方程；(2)设直线和分别交椭圆于和两点，求证：直线经过定点.19．已知等差数列，若存在有穷等比数列，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值．

答案1．【正确答案】D【详解】因为，所以.故选：D2．【正确答案】D【详解】，因为，则，解得.故选：D.3．【正确答案】B【详解】由题意：当时，，因为，当时，，所以.所以，所以.故选：B4．【正确答案】C【详解】因为：，所以，所以.所以数列单调递减，又，所以，当时，.所以当或时，相等且最大.故选：C5．【正确答案】A【详解】由题意设三次函数的解析式为，即，，∴，解得，∴，故选：A．6．【正确答案】D【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为，由抛物线定义可知2，又，所以，解得，故，所以为原点，从而.故选：D.7．【正确答案】A【详解】因为.由.因为，且在上恰有4个零点.所以，.故选：A8．【正确答案】C【详解】一个砝码有9一种情况，方法有种；两个砝码有，，，几种情况，方法有种；三个砝码有，，，，，几种情况，方法有种；四个砝码有，，，几种情况，方法有种；五个砝码有一种情况，方法有种，所以总计方法总数种.对A，系数可为单独组成，其他为常数，则有种，系数为；由两项与或与或与或与组成，系数为；由三项、与或、与组成，系数为；所以选项系数为7，故不符合，所以A错误；对B，的系数可为10个因式中选个带的，剩下个因式选常数项组成，所以的系数为，故B错误；对C，，系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为，由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数为与组成，其他为常数，，系数为，同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为，同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数，同理由五项组成，其他项为常数，则系数为，综上系数为，故C正确；对D，，系数直接由一项组成，其他是常数项，可有种情况，系数为4，由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，系数还有两项与或与或与这几种情况组成，其他为常数；还有三项组成、四项组成、五项组成等等，所以系数大于m，故D错误.故选：C9．【正确答案】AD【详解】对于A，植物生长1年之后高度低于60cm的频率为，所以，解得.故A正确；对于B，设这组数据的第80百分位数为m，则，解得.故B错误；对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为85.故C错误；对于D，此次检测植物生长高度在之间的频率为，所以此次检测植物生长高度在之间的有株.故D正确.故选：AD10．【正确答案】BCD【详解】由题设得：曲线为，可得曲线图形，A：由曲线方程及图形可知，故A错误；B：因为，由图可知当在时，才能最小，，时等号成立，故B正确；C：因为直线与渐近线平行，由图可知与曲线没有公共点，即不存在点，使得，故C正确；D：因为表示点到直线距离的倍，又直线与渐近线平行且距离为1，故，由图可知当在时，到直线距离有最大值，设，则到直线距离为，当时等号成立，即，所以的取值范围为，故D正确.故选：BCD．11．【正确答案】ACD【详解】对A，中，令得，所以，故选项A正确；对B，令，则由得，①由得，②从而，即，所以亦即的图象关于点中心对称，但为了排除选项B，必须举出除之外的反例，这样的反例有无数个，比如，所以选项B错误；对C，由①②知即，故，所以，令，则，从而，C正确；对D，因为，结合选项C知，则，所以选项D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【详解】如图所示，由题意可知圆锥的母线，设圆锥的半径为，高为，则圆锥底面周长等于半圆形纸片弧长，故得，故.故13．【正确答案】/【详解】因为，且，，所以.所以.所以.故14．【正确答案】6【详解】根据题意，1，2，3，4的全排列有种，其中满足且的排列有：1243，1342，1432，2341，2431，3421，共6种；因为随机变量满足：所以当或时，；当或时，；当或时，；因为满足或，即满足的排列有：1234，1243，2134，2143，3412，3421，4312，4321，共8种；所以的概率；故6；15．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，，所以由正弦定理得，又因为B∈0,π，所以，所以，所以即，又因为，所以，所以，所以.（2）因为，所以即，所以，所以由余弦定理得，解得，所以.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）如图：在中，，，，所以为直角三角形，且.又平面，平面，所以，P平面，，所以平面.又平面，所以.所以，所以.（2）如图：因为底面，所以为直线与平面所成的角.因为，，所以，.又，，所以.取中点，连接，则又，平面，，所以平面.所以为在平面内的射影.在中，，，所以.在中，，，，因为，所以为直角三角形，且.设二面角为，则，所以.17．【正确答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【详解】（1）因为，（）所以，（）.当时，在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上单调递减；当时，由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.综上可知：当时，在0,+∞上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知，当时，有极大值点，.若，此时函数无零点；若，此时，函数有个零点；若，当时，，所以函数在上有个零点；当时，，所以函数在上有个零点.所以时，函数有个零点.综上：当时，函数无零点；当时，函数有个零点；当时，函数有个零点.18．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，所以，在当位于椭圆的右焦点时，中，有，即，所以，于是，所以椭圆的方程为；（2）设，则，因为，所以，即，设直线和的斜率分别为和，则（定值），（法一）因为直线的方程为，则，化简得，解得，于是，同理可得，又由，整理得，所以，于是直线的方程为，化简得，所以直线经过定点.（法二）设直线的方程为，因为椭圆方程为，即，所以，所以，整理得，于是，所以，解得，即直线的方程为，令，有，所以直线经过定点.19．【正确答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【详解】（1）因为，所以，因为，所以数列满足要求，所以数列的一个长度为的“等比伴随数列”为（答案不唯一）.（2）由题意可知，，所以，联立，所以，即，联立，所以，即，联立，所以，即，由上可知，，当时