2011-2016年第16-22届华罗庚杯少年数学邀请赛几何试题(小学高年级组)全解析

2011-2016年第16-22届几何试题（小学高年级组）华罗庚杯少年数学邀请赛目录基本几何单位基本几何图形基本几何关系基本几何模型华罗庚杯少年数学邀请赛历年题库几何单位长度周长面积体积序1：基本几何单位几何图形线三角形四边形多边形正方体圆柱体序2：基本几何图形几何关系平行垂直相交重合序3：基本几何关系几何模型一半模型蝴蝶模型燕尾模型沙漏模型金字塔模型鸟头模型等积变形模型序4：基本几何模型华罗庚杯少年数学邀请赛历年几何典型题库几何鸟头比例漏斗蝴蝶燕尾金字塔一半等积変换2011年第16届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D如图所示，AB∥CE，AC∥DE,且AB=AC=5，CE=DE=10。若三角形COD的面积为10，求四边形ABDE的面积。EDCBAO

如图所示，AB∥CE，AC∥DE,且AB=AC=5，CE=DE=10。若三角形COD的面积为10，求四边形ABDE的面积。EDCBAO2aa2a4a2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛D几何试题AB∥CE，

AC∥DE，且AB=AC=5，CE=DE=10，若三角形COD的面积为10，四边形ABDE的面积是（）。BAEDCOAB∥CE，

AC∥DE，且AB=AC=5，CE=DE=10，若三角形COD的面积为10，四边形ABDE的面积是（）。BAEDCO

2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的的面积是（）。ABFCGDE长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的的面积是（）。ABFCGDE

长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的的面积是（）。ABFCGDE解2：根据一半模型：三角形ADF是梯形AEGF的一半三角形ADF是长方形ABCD的一半长方形ABCD的面积等于梯形AFGE的面积，则梯形AFGE的的面积是70。2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0

˂a≤60，现将棱长尾10的长方体铁块放在容器底面，问放入铁块后水深是（）。一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0

˂a≤60，现将棱长尾10的长方体铁块放在容器底面，问放入铁块后水深是（）。123分析：无盖长方体容器盛有水情况有三种：1、水很满；放入铁块后，水溢出；2、水深很浅，放入铁块后，铁块一部分在水中，另一部分露出水面，水面也有升高。3、水很深，则放入铁块后，铁块全部沉入水中，水面升高；3、解：1、水很满；放入铁块后，水溢出；放入铁块后水刚要溢出时，容器水深a=[(40×25×60）-（10×10×10）]÷(40×25)=59当容器水深大于59时，放入铁块后水深是60。

3、水很深，则放入铁块后，铁块全部沉入水中，水面升高。放入铁块后水全部漫完铁块时，即当容器水深大于9小于59时，放入铁块后水深是h=[(40×25×a）+（10×10×10）]÷(40×25)=a+1。2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题已知某个几何体的三视图，如右图，根据图中标示的尺寸，求几何体的体积是（）。1010101055已知某个几何体的三视图，如右图，根据图中标示的尺寸，求几何体的体积是（）。101010105510解：由三视图可知该几何体为四棱锥；四棱锥底面为边长为10的正方形，棱锥的高为10；所以四棱锥的体积为：底面积×高÷3=10×10×10÷3=1000/32011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题如右图，两条线段将边长为10的正方形分为两个高度相等的直角梯形S1、S2和一个直角三角形，其中两个梯形的面积差为10,则直角三角形图示的边长是（）。ABCDEFS1S2x如右图，两条线段将边长为10的正方形分为两个高度相等的直角梯形S1、S2和一个直角三角形，其中两个梯形的面积差为10,则直角三角形图示的边长x是（）。ABCDEFS1S2xG解：x=CG=10－DGAE=AD=5S□ABEF－S□DGEF=10(AB+EF)÷2×AE－（EF+DG）÷2×DE=10(10+EF)÷2×5－（EF+DG）÷2×5=1010－DG=4X=42011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛几何试题ABCD是平行四边形，AE=2EB，若三角形CEF面积为1，那么ABCD是平行四边形面积=（）。ADCBFEABCD是平行四边形，AE=2EB，若三角形CEF面积为1，那么ABCD是平行四边形面积=（）。ADCBFE

2012年第17届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）第10题：正方形ABCD的面积为9，正方形EFGH的面积为64，如图所示，边BC落在EH上，已知三角形ACG面积为6.75，则三角形ABE面积为（）。ADCBHGFE第10题：正方形ABCD的面积为9，正方形EFGH的面积为64，如图所示，边BC落在EH上，已知三角形ACG面积为6.75，则三角形ABE面积为（）。ADCBHGFE解：正方形ABCD、EFGH的边长分别为3、8。连接EG，形成梯形ACGE。根据蝴蝶模型，三角形COG面积等于三角形AOE面积。三角形AEC面积为6.75。BE=EC-BC=6.75×2÷3-BC=4.5-3=1.5三角形ABE面积为：1.5×3÷2=2.25O2012年第17届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛A几何试题（小学高年级组）第9题：如右图，ABCD是平行四边形，E为AB延长线上的一点，K为AD延长线上一点，连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相等，请说明理由。EBADKCO解：S□BODA=S△ABD+S△DBK－S△ODKS□EOKC=S△CDE+S△CDK－S△ODK根据等积変换模型，S△ABD=

S△CDES△DBK=

S△CDKS△ODK=

S△ODK四边形ABOD与四边形ECKO的面积相等EBADKCOEBADKCOEBADKCO第9题：如右图，ABCD是平行四边形，E为AB延长线上的一点，K为AD延长线上一点，连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相等，请说明理由。2012年第17届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛网络版几何试题（小学高年级组）右图中，正方形ABCD的面积840，AE=EB，BF=2FC,DF与EC相交于G，则四边形AEGD面积为

。ADCBFEG右图中，正方形ABCD的面积840，AE=EB，BF=2FC,DF与EC相交于G，则四边形AEGD面积为

。

HPADCBFEG2013年第18届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛A几何试题（小学高年级组）第5题：如右图，ABCD是平行四边形，M为DC的中点，E、F分别位于AB和AD上，且EF∥BD，若三角形MDF的面积等于5，则三角形CEB的面积等于()。DCBAEMF第5题：如右图，ABCD是平行四边形，M为DC的中点，E、F分别位于AB和AD上，且EF∥BD，若三角形MDF的面积等于5，则三角形CEB的面积等于()。DCBAEMF解：EF∥BD,DE=BE，根据同底等高的等积変换模型：三角形BDE、CEB的面积相等根据蝴蝶模型：三角形BDE、BEF的面积相等根据AB=2DM三角形BDF是DMF的面积2倍三角形CEB的面积等于10。2013年第18届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题B（小学高年级组）第4题：如右图，P、Q是正方形ABCD边AD和对角线AC上的点，且AP:PD=1：4，AQ:QC=3：2。且EF∥BD，若三角形MDF的面积等于5，则三角形CEB的面积等于()。DABCQMP第4题：如右图，P、Q是正方形ABCD边AD和对角线AC上的点，且AP:PD=1：4，AQ:QC=3：2。如果正方形ABCD的面积等于25，则三角形PBQ的面积等于()。DABCQMP解：正方形ABCD边长为5，由金字塔模型：EQ:DC=AQ:AC=3：5EQ=3QF=2CF:BC=QF:AB=2：5BF=3PE=2四边形ABEF面积3×5=15三角形PQE、BFQ、ABP面积分别为：3、3、2.5。三角形PBQ的面积：15-3-3-2.5=6.5EF2013年第18届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题B（小学高年级组）第10题：右图中，三角形ABC中，AD=2BD=EC，BC=18,三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB长度是多少？ADBCEF第10题：右图中，三角形ABC中，AD=2BD=EC，BC=18,三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等，那么AB长度是多少？

MNADBCEF2014年第19届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题A（小学高年级组）第6题：如图所示，AF=7，DH=4，BG=5，AE=1，若正方形ABCD内四边形EFGH面积是78，则正方形的边长为

。ABGCHDEFABGCHDEF解：假设正方形的边长为

a正方形的面积=三角形AEF面积+三角形DEH面积+三角形CHG面积+三角形BFG面积+四边形EFGH面积=78+AE×AF÷2+DE×DH÷2+HC×CG÷2+GB×BF÷2=78+1×7÷2+(a-1)×4÷2+(a-4)×(a-5)÷2+5×(a-7)÷2=78+3.5+2a-2+(a×a-9a+20)÷2+2.5a-17.5=a×a求得：a=12正方形的边长为12第6题：如图所示，AF=7，DH=4，BG=5，AE=1，若正方形ABCD内四边形EFGH面积是78，则正方形的边长为

。2014年第19届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛几何试题A（小学高年级组）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB=8，BC=4,AD=5，DE=1，AC=12，AE=6。如果三角形EAB面积为24，则A到CD的距离为（）。EDACB平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB=8，BC=4,AD=5，DE=1，AC=12，AE=6。如果三角形EAB面积为24，则A到CD的距离为（）。解：由AE=6、AB=8，推出∠EAC=90°。CD2=AD2+AC2,CD=13,三角形ADC=30，A到CD的距离为30×2÷13=60/13EDACB2014年第19届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题B（小学高年级组）第12题：如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD，连接CF交DE于P点，则EP:DP=

。AECDBFP1213

1解：连接EF、DF三角形ABC中,DF\\AC,DP:AC=1:3CE=3/4ACDF:CE=4:9根据鸟头模型，在三角形DFP、CEP中：EP:DP=CE:DF=9:4第12题：如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD，连接CF交DE于P点，则EP:DP=

。AECDBFP2ADEBC2014年第19届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题B（小学高年级组）如图，长为4的线段AB上有一动点C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过AB的直线同侧

，AD=DC，CE=EB，则线段DE的长度最小是（）。ADEBCFG如图，长为4的线段AB上有一动点C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过AB的直线同侧

，AD=DC，CE=EB，则线段DE的长度最小是（）。解：作两垂线DF、EG。平行线间垂线最短。DE=4÷2=2。2014年第19届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛A几何试题（小学高年级组）边长为12的正方形池塘的周薇是草地，池塘边A、B、C、D处个有一根木桩，且AB=BC=CD=3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为使羊在草地上活动区域面积最大，应将绳子拴在（）处木桩上。ABCD边长为12的正方形池塘的周薇是草地，池塘边A、B、C、D处个有一根木桩，且AB=BC=CD=3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为使羊在草地上活动区域面积最大，应将绳子拴在（）处木桩上。ABCDABCDABCDABCDABCD解：如图所示，将绳子拴在B处木桩上，羊在草地上活动区域面积最大。2014年第19届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题（小学高年级组）在直角三角形ABC中，F在AB上，且AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD:EF=（）。AEBCDF在直角三角形ABC中，F在AB上，且AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD:EF=（）。AEBCDF解：在三角形BEF、ADF中,AD∥BE,根据沙漏模型，：FD:EF=AF:BF=2:12015年第20届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题（小学高年级组）第8题：如图，过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D、E、F，连接AP、BP、CP，若正三角形ABC面积为2028，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192，则三角形PCF面积=

。ABCEFDP第8题：如图，过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D、E、F，连接AP、BP、CP，若正三角形ABC面积为2028，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192，则三角形PCF面积=

。解：过P点分别作正三角形ABC三边平行线，分割正三角形ABC面积为12份。根据等积変换模型：分割的平行四边形、等腰三角形内各三角形面积分别相等。三角形PCF面积=2028÷2-192×2=630。efaabbeddccfABCEFDP2015年第20届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛A几何试题（小学高年级组）第11题：ABCD是平行四边形,

且AM=MB，DN=CN，BE=EF=FC，四边形EFGH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积。ADBCNEFHGM第11题：ABCD是平行四边形,

且AM=MB，DN=CN，BE=EF=FC，四边形EFGH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积。ADBCNEFHGMP

第11题：ABCD是平行四边形,

且AM=MB，DN=CN，BE=EF=FC，四边形EFGH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积。ADBCNEFHGMP

2015年第20届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛几何试题B（小学高年级组）第7题：如图，三角形ABC的面积为1，DO:OB=1:3，

EO:OA=4:5，则三角形DOE的面积为=

。CBADEO解：根据等积変换模型，设单位面积为m。a=5mb+e=4mf=12mh+g=15m4×（a+b+c）=

5×（e+d）3×（b+c）=

1×（d+e+f）11d=108m-11e11c=80m-11b11(c+d)=144m

第7题：如图，三角形ABC的面积为1，DO:OB=1:3，

EO:OA=4:5，则三角形DOE的面积为=

。cdefghabF1345CBADEO2015年第20届华罗庚杯少年数学邀请赛几何试题B（小学高年级组）第13题：如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC=1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交与点G，若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。CFBADEGM第13题：如图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM：MC=1：2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交与点G，若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。解：运用蝴蝶模型，梯形BCDE内各三角形面积与梯形上下底边长成关系比例。梯形BFCM中，三角形FCG的面积与三角形MBG、MGC的面积之比分别9:4、9:6，即三角形FCG与三角形BCM的面积比为9:10。a=13÷2.6=5平行四边形ABCD的面积=12×5=60CFBADEGM2a2aa4a2015年第20届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题B（小学高年级组）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果三角形DEH、三角形BEH、三角形BCH的面积依次为56、50、40，

则三角形CEH的面积为=

。ADHCBE如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果三角形DEH、三角形BEH、三角形BCH的面积依次为56、50、40，

则三角形CEH的面积为=

。解：连接AH,正方形ABHD中，三角形ABH+BEH+AEH的面积是正方形面积一半。根据一半模型，三角形ABE+DEH的面积是正方形面积一半。三角形AEH的面积是:(S△ABE+S△DEH)－（S△ABE+S△BEH）=

S△DEH－S△BEH=6根据等积变换模型，S△AHC=S△BCHS△CEH=S△ACH-S△AEH=40-6=36ADHCBE2015年第20届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题（小学高年级组）ABCD是平行四边形，F在AD上，三角形AEF的面积为8，三角形DEF的面积为12，四边形BCDF的面积为72，则三角形CDE面积=（）。ABCDFEABCD是平行四边形，F在AD上，三角形AEF的面积为8，三角形DEF的面积为12，四边形BCDF的面积为72，则三角形CDE面积=（）。ABCDFE

2016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题（小学高年级组）第5题：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6,CD=14,∠AEC是直角，CE=CB，则AE2=？AEBCD第5题：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6,CD=14,∠AEC是直角，CE=CB，则AE2=？解：AF2=AD2-[(CD-AB)÷2]2=AD2-16AE2=AC2-CE2=AC2-BC2

={[(CD-AB)÷2+AB]2+AF2}-BC2=100+AF2-BC2=100+AD2-16-BC2

=84hFAEBCD2016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题（小学高年级组）第4题：如下图所示，有一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE,已知∠ABE=74，∠DAB=70，∠CEB=20，那么∠CDA=

。BCFEDA第4题：如下图所示，有一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE,已知∠ABE=74，∠DAB=70，∠CEB=20，那么∠CDA=

。解：根据题意：四边形ABED中，123++=360-74-70=216三角形CDE中，23+=180-36-20=124可得：1=216-124=92∠CDA=

9274°70°36°20°123BCFEDA2016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题（小学高年级组）第6题：如下图所示，正方形ABCD的边长为5，E、F为正方形外两点，满足AE=CF=4，BE=DF=3，那么EF2=

。ABCDFE第6题：如下图所示，正方形ABCD的边长为5，E、F为正方形外两点，满足AE=CF=4，BE=DF=3，那么EF2=

。ABCDFE解：延长AE、DF和BE、FC，形成正方形的边长为7。那么EF2=7×7+7×7=98。2016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题（小学高年级组）第11题：如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，BD=2，EC=4，则直角三角形ABC的面积为=

。ABCFDE第11题：如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，BD=2，EC=4，则直角三角形ABC的面积为（）。ABCFDE解：如图平移等腰直角三角形，CE=6，AC∥EF,BE:BC=BF:AB，根据等腰直角三角形面积为斜边平方的四分之一，则BC2-(BC-6)2=80，BC=29/3。直角三角形ABC的面积为BC2÷4=841÷36=841/36。2016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题（小学高年级组）第11题：正方形ABCD的面积为1，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC，M是DC的中点，连接AE，交BM于H，连接DF交BM于G，求四边形EFGH的面积。ADCBEFHGM第11题：正方形ABCD的面积为1，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC，M是DC的中点，连接AE，交BM于H，连接DF交BM于G，求四边形EFGH的面积。

ADCBEFHGNM第11题：正方形ABCD的面积为1，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC，M是DC的中点，连接AE，交BM于H，连接DF交BM于G，求四边形EFGH的面积。

ADCBEFHGMPOQN2016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题（小学高年级组）ABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E为CD上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则直角梯形ABCD面积为（）。ABCEDABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E为CD上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则直角梯形ABCD面积为（）。解：以AB、BC为边作长方形ABCF,根据一半模型：三角形ABE、CEF面积之和是长方形ABCF面积的一半三角形ADE、DEF、BCE面积之和是长方形ABCF面积的一半因AD:DF=2：6=1：3，则S△ADE:S△DEF=1：3。S△DEF=14.4S□ABCF=2×（S△ABE+S△CEF）S□ABCD=S□ABCF-S△DEF-S△CEF=2×（S△ABE+S△CEF）-S△DEF-S△CEF=

2S△ABE+S△CEF

-S△DEFABCEDF2016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题（小学高年级组）如图，AB=AD，∠DBC=21°，

∠ACB=39°，则∠ABC=（）。CBAD如图，AB=AD，∠DBC=21°，

∠ACB=39°，则∠ABC=（）。CBAD解：三角形ABC中:

∠ABC=21°+∠ABD三角形ABD中:

AD=AB∠ADB=∠ABD∠ADB=∠ACB+∠CBD=21°+39°=60°∠ABC=21°+60°=81°2139120602016年第21届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛A几何试题（小学高年级组）三角形ABC中，AB=180，AC=204，D、F是AB上的点，连接CD、DE、EF、FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG=（）。CBADFEG三角形ABC中，AB=180，AC=204，D、F是AB上的点，连接CD、DE、EF、FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG=（）。CBADFEG

2017年第22届华罗庚杯少年数学邀请赛初赛几何试题（小学高年级组）第9题：ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，

AC和BD的交点为G,四边形EHGF的面积为15,求四边形ABCD的面积。ABCDEFGHP第9题：ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，

AC和BD的交点为G,四边形EHGF的面积为15,求四边形ABCD的面积。ABCDEFGHP

2017年第