8年级奥数真题及参考答案

第1周三角形的基础知识(001)第2周全等三角形(002)第3周等腰三角形(1)(003)第4周等腰三角形(2)(004)第5周全等三角形中常用的辅助线(005)第6周与角度有关的问题(006)第7周三角形中的不等关系(007)第8周最短路径问题(008)第9周整式的乘法(1)(009)第10周整式的乘法(2)(010)第11周整式的乘法(3)(011)第12周因式分解(1)(012)第13周因式分解(2)(013)第14周因式分解(3)(014)第16周整式的除法(016)第17周分式的基本运算(017)第18周分式的化简求值第19周二次根式(019)第20周二次根式的常用方法(020)2第21周基本不等式(021)第22周直角三角形(1)(022)第23周直角三角形(2)(023)第24周平行四边形(024)第26周梯形与中位线(026)第27周一次函数及其应用(027)第28周整除(028)第29周质数与合数(029)第30周最大公因数与最小公倍数(030)第31周算术基本定理(031)第32周同余(032)第33周完全平方数(1)(033)第34周完全平方数(2)(034)第35周不定方程(035)第36周取整函数(036)第37周配方法(037)第38周待定系数法(038)第39周放缩法(039)第40周算两次(040)第1周三角形的基础知识3(全国初中数学联赛七年级)如图，在△ABC与CE交于点F,则∠BFC=().1(北京市中学生数学竞赛八年级)如图，已知2(四川省初中数学联赛决赛八年级)如图，已满足AC=AD,AB=AE,∠BAE+∠BCE=3(全国初中数学联赛八年级)已知四边形第3周等腰三角形(1)1?(全国初中数学竞赛)如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC=3(全国初中数学邀请赛)如图，在四边形ABCD直角三角形.第4周等腰三角形(2)(第54届荷兰数学奥林匹克)在直线的同侧取点D,E,使得△ABD,△BCE为正三角ABCD满足∠CBD=2∠ADB,∠ABD=2∠CDB,AB=CB.求证AD=CD.2(欧拉数学奥林匹克决赛)在凸四边形ABCD边形对角线BD上，使BK=BC.证明∠KAD=第5周全等三角形中常用的辅助线(第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决使得线段AF交中线BD于点E,且AE=BC.第6周与角度有关的问题T(克罗地亚数学竞赛)在凸四边形ABCD中，3(青少年数学国际城市邀请赛)P为△内∠PAC=22°.求∠APC.27(上海市初中数学竞赛)在△ABC中，∠B=44°,D为BC上一点，∠BAD=24°,CD=2AB,求∠C的度数.T(青少年数学国际城市邀请赛)在凸四边形3(第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛七年级)长为4的线段AB上有一动点C,等第8周最短路径问题1(第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决3和4,则线段DF长度的最大值等于___3(第十九届“五羊杯”初中数学竞赛九年级)在标轴上有一动点P,当点P移动到点Q的位的坐标是.23(四川省初中数学联赛决赛八年级)在菱形中点.则对角线BD上的动点P到E,C两点第9周整式的乘法(1)已知2°=8°=64(a≠0),则3(第二十届“五羊杯”初中数学竞赛八年级)27(“数学花园探秘”科普活动决赛七年级)设(4x-1)⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴,那么第10周整式的乘法(2)第11周整式的乘法(3)(全国初中数学联合竞赛八年级)已知实数3(第55a,b,c满足a+b+c=1,数x,y满足x³+y³+3x²y²=x³y³.求2(全国初中数学联合竞赛)已知实数满第12周因式分解(1)1(第二十二届希望杯全国数学邀请赛七年级)若a=2009,b=-2010,则a²+2b3(第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛八年级)已知a,b是有理数，x是无理数，如果是有理数，且b≠0,则2<(第二十届“五羊杯”初中数学竞赛八年级)在第13周因式分解(2)第14周因式分解(3)全为0,满足a+b+c=0,a³+b³+c³=0,称使得a"+b"+c"=0恒成立的正整数n为“好第15周因式分解的应用27(上海市初中数学竞赛)使得n⁴-3n²+9是质第16周整式的除法,则代数式10+第17周分式的基本运算1(第二十五届“五羊杯”初中数学竞赛八年级)3(第二十届俄罗斯数学奥林匹克九年级)证明2(四川省初中数学联赛决赛八年级)若则代数的值的整数部第18周分式的化简求值17(全国初中数学联合竞赛八年级)已知实数3(第二十一届“五羊杯”初中数学竞赛八年级)27(北京市中学生数学竞赛八年级)已知√x+,则的值为().第19周二次根式x=√ab+√cd,y=√ac+√bd,z=√ad+C.x<y<z第20周二次根式的常用方法1(全国初中数学竞赛)若的最大值为a,最小值为b,则a²+b²3(全国初中数学竞赛)设函数y=(√4+x+是().1(全国初中数学联赛四川赛区决赛)设为 第22周直角三角形(1)B.2√3D.63(第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决第23周直角三角形(2)(美国数学竞赛八年级)如图，在凹四边形3,AD=13.则凹四边形ABCD的面积S为2(全国初中数学联赛四川赛区决赛)在△ABC3(全国初中数学邀请赛)若直角三角形的三条边长为正整数，且其周长与面积的数值相直角三角形有()个.3(北京市中学生数学竞赛)如图，已知在等腰 第25周1(上海市初中数学竞赛)如图，在Rt△ABCPEIBC,PF⊥CA,则线段EF的最小值为_ ·37(青少年数学国际城市邀请赛)在正方形GH//AD;EF与GH交于点K.若矩形KFCH的面积等于矩形AGKE的面积的两倍，求2(全国初中数学联赛)如图，在菱形ABCD中，FG⊥BC,则AE=·第26周梯形与中位线CH⊥AB于点H,连接DH,则∠CHD=37(全国初中数学联赛)如图，ABCD为平行四边27(全国初中数学联赛四川赛区决赛)在△ABC=().第27周一次函数及其应用1(“数学花园探秘”科普活动初赛)在平面直,则在l上与点A距离最近的与直线x=1围成一个等边三角系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是0(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是的正整数n共有()个.3(全国初中数学联赛)设a,b,c都是大于1的27(第十届北方数学奥林匹克邀请赛)是否存在无穷多个不相等的正整数x,y,使得x+y²|x²+y?证明你的结论.7pg²+p=g³+43p³+1,则p+g=3(第64届捷克和斯洛伐克数学奥林匹克)求27(全国初中数学竞赛)设a,b,c是质数，记x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,当z²=y,长?证明你的结论.第30周最大公因数与最小公倍数11y]=72,[x,z]=600,[y,z]=900,[m,n]表倍数的和为1463,那么,这两个正整数是_第31周算术基本定理(美国数学竞赛八年级)正整数23232的正因3(青少年数学国际城市邀请赛)正整数n恰好有四个正因数(包括1和n).已知n+1是其他两个正因数之和的四倍.则n=(上海初中数学竞赛)设2014²的所有正因数第32周同余1(青少年数学国际城市邀请赛)若整数n<3(中国香港代表队选拔考试)求所有的正整2(北京市中学生数学竞赛)设N=I³+2³+…+第33周完全平方数(1)A的值.个1和任意个0组成的自然数不是完全平(2)试说明，存在最左边2009位都是1的形*…**的自然数(*代表阿拉伯数2(第64届捷克和斯洛伐克数学奥林匹克)求第34周完全平方数(2)332(第40届俄罗斯数学奥林匹克)已知a2),(a+2)b,(a+2)(b+2),b(b+2)这六第35周不定方程1(青少年数学国际城市邀请赛)设正整数m,n满足m(n-m)=-11n+8.则m-n的所有=34的整数解(x,y)的组数为().3(北京市中学生数学竞赛八年级)关于m,n的方程5m²-6mn+7n²=2011是否存在整数明理由.第36周取整函数整数)3(第十九届“五羊杯”初中数学竞赛七年级)(其中[x]表示不超过x的最大整数)C.20070032(第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛八年级)用[x]表示不超过x的最大整数，__第38周待定系数法1(第二十五届“五羊杯”初中数学竞赛八年级)3(美国数学竞赛十二年级)设P(x)是一个三则多项式f(x)=_D.7k27(第二十届“五羊杯”初中数学竞赛八年级)B+C=(全国初中数学联赛)设的整数部分是().3(全国初中数学联赛)若正整数a,b,c满足第40周算两次1(北京市中学生数学竞赛)两张大小相同的另一张纸的分割线上.若BC=√28,则AB的长是27(克罗地亚数学奥林匹克)一个大三角形可被若干个小三角形划分，其中小三角形的顶点为大三角形的顶点及内部点，且每个顶点处均有相同数量的线段，则称此划分形式为“魔幻三角测量”.若一个大三角形可被魔幻3(全国初中数学邀请赛)在一串数a₁,a₂,…,续九项之和均为正数.n的最大值是多少?证明你的结论.参考答案第1周三角形的基础知识且c<24-c,解得8≤c<12.当c=8时，三边为(8,8,8);当c=9时，三边为(6,9,9),(7,8,9);当c=10时，三边为(4,10,10),(5,当c=11时，三边为(2,11,11),(3,∴符合条件的三角形共有12个.∠ACP的平分线，交于点E,第2周全等三角形BC=AE=6,∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1.AC=KC,第3周等腰三角形(1)角形.则∠ADC=180°-2β,即β+γ=60°.第4周等腰三角形(2)1.证明：由已知得∠ABD=∠CBE=又∵AB=DB,BE=BC,=120°-∠EAB-∠DAS=120°-60°=60°.AB,连接AP,CP,则∠CPD=∴四边形APCD为平行四边形，∴PD平分AC.∴BD是∠ABC的平分线，∴DB是∠ADC的平分线.常用的辅助线△DBI,故AI=A₁I=DI,AD'=AD,则△ADC≌△AD'B.故D'B∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°,且AD'=AD,∴△AD'D是正三角形.又∵∠BD'D=∠AD'B-∠AD'D=∴△D'DB是直角三角形，且D'B=DC,D'D=AD.三角形.∴AD为△ABC的外角平分线.又∵BD为∠ABC的平分线，△ADB,则∠FDC=∠ADF-∠ADC=112°-68°=44°=∠B.截取DE=AB,连接EF,AE,则△DEF≌△BAD.∴BC垂直平分PQ,∴点Q在线段AC的延长线上.第7周三角形中的在△ABC与△ACD中，∠DCA=∠BCD.即∠A>∠C.可证∠B>∠D.2.>角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角),同理∠DCE>∠B.EG,垂足分别为点F,G,H,则F,G分别为AC,BC的中点，且DE≥DH.当点H重合时，DE有最小值2.第8周最短路径问题DF=BF≤AB+AF=7,因此当点A,C分别在边BF,BD上时，线段DF有最大值7.称轴，∴E₁是边AB的中点.∴等号在点P与P₁重合时成立.∴△ABC为正三角形，B'(4,-2),点A关于y轴的对称点为A'(-2,3),线段AB'与x轴交于点P₁,线段A'B与y轴交于点P₂.则对在x轴上移动的点P,必有PA+PB=PA+PB'≥AB'=P₁A+P₁B'=PA+PB=PA'+PB≥A'B=P₂A'+∴点Q应是点P1.P₁的横坐标x应满解得,故A(-2,3)3P₂21A(2,3)B(4,2)B'(4,-2)第9周整式的乘法(1)解：由题意可知，2⁴=2³=26°,=(1²+1-2)⁶=0.ao=f(0)=(O²-0-2)⁶=64.第10周整式的乘法(2)2(c²-6c+9)≤0.第11周整式的乘法(3)yz+zx)=100.b³+c³)-[a²(b³+c³)+b²3.1或-2或第12周因式分解(1)=2011.(x²+5x)=(x²+5x)²+11(x²+5x)+24=(x²+5x+3)(x²+5x+8).t为有理数),第13周因式分解(2)b)=(b-c)(a-b)(a+b)-(a-b)(b-=(a-b)(b-c)(a-c)=0.∴a-b,b-c,a-c中至少有一个等于0,即a,b,c三个数中至少有两个相等.x+6).则原式=(y-4)(y+3)+10=(x²+2)(x+1)(x-1)(x²+x+第14周因式分解(3)=3(x-y)(y-z)(z-x).解：原式=x²+3x-y²-y+2=x²+(y-1)=(x+y+2)(x-y+1).c=0,a³+b³+c³=0.∴a,b,c中至少有1个为0.∵a,b,c不全为0,∴a,b,c中只有一个为0,另外两个互为相反数.∴不超过2007的正整数中好数共有1004个.第15周因式分解的应用(n²-3n+3).这是两个大于零的数，故只可能为值为7或者13,均为质数.3.23,13,3或23,7,5解：设所求的三个质数为p,q,r,则pqr=23(p+q+r).由此可见，p,q,r中必有一个为23.设p=23,且q≥r.则23qr=23(23+q+r),qr=(q-1)(r-1)=24.解之得，质数q为13或7,质数r为3或5.ax²+1的值为0,因此1+a+1=0,即a=-2.解：显然a,b,c都不为零，则,同理可即10*×10*×10÷=10÷+÷=1,,去分母即得ab+bc+ca=0,原式=10.解：依题意可设x的多项式有g(x),使得f(x)=2(x+1)g(x)+1;①注意到x²-x-2=(x+1)(x-2).由①得f(-1)=1,由②得f(2)=-2.代入③得5f(-1)=-a+b,解得a=-5,b=0,从而余式为-5x.第17周分式的基本运算解第18周分式的化简求值乘=-3.y-z=(Ja-√b)(Ve-√d)>0,第20周二次根式的又∵-4≤x≤4,第21周基本不等式∴等号恒成立.∴a+b+c的最小值为10.解得直角三角形(1)的延长线于点H,则HD=HB,HC=∴HC-HD=(√3-1)HB=3,股定理的逆定理知∠ACB=90°.又由勾股定理知AM=√AC²+CM²=2√3=2AC.设CD=x,则AC=x,EC=16-x.BC=BD-CD=32-12=20.直角三角形(2)解得经整理可得(a-4)(b-4)=8.∴∴或∴标准直角三角形有2个.第24周平行四边形由举一反三1第3题可知，∠EFD==84°.BD,则四边形BDPQ是平行四边形.∴CD=BC=BD,△BCD是等边三角∵AP=PQ,PQ//BD,∴△FHE是等腰直角三角形，HE=FH=√3,AB=AD,BM=DH.如图，设正方形边长为a,AG=m,BF由题意得(a-m)(a-n)=2mn,FH²=(a-n)²+(a-m)².②即FH²=(m+n)²,FH=m+n=DH+BF=BM+BF梯形与中位线DE.易知AD//BE.则HE=BE=AB=DE且DE⊥CH,DF//BE,又∵H为DF的中点，一次函数及其应用解：直线l的解析式为,故与A距离最近的整点为(2,1),横、纵坐标之和为3.接OB,AF;连接CE,DF,且相由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又∵点N(5,2)是矩形CDEF的中心，∴过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.∴直线MN即为所求的直线l.设直线l的函数表达式为y=kx+b,∴所求直线l的函数表达式为y=解：如图，注意到等边三角形的一条边经过坐标原点，另两边在直线x=1上，则第三边的直线方程为∴正三角形边长为,周长为个木y=1+号x∵n为正整数，∴30-n为正整数.x+y²|x²+y恒成立.∴存在无穷多个不相等的正整数x,∴4c|3,无整数解.∴6c|30c+30.又∵6c|30c,再由a,b,c的对称性知，所有可能的数组(a,b,c)共有6组，即(2,3,5),3),(5,3,2).奇数.(1)若p=2,则14q²+2=q³+31,即q³-14q²=-343.组解.(2)若q=2,则28p+p=8+43p³+1.∴原方程的唯一解为(p,q)=(2,2.不能得=16.∴b=9,c=10,与b,c是质数矛盾；∴a,b,c不能构成三角形的三边长.pq(a∈N*),则(a-p-2q)(a+p+∵p,q为质数，若为后两者之一，则q=a+p+2q>q(p-4,q-2)=(1,9),(3,3),(9,经检验，均符合题意.第30周最大公因数与最小公倍数∴d=1或13.又∵(1²+3,2²+3)=(4,7)=1,1)²+3的最大公因数.解：设这两个正整数为x,y(x>y),它们的最大公因数为d,且x=dx₁,y=dy,,则它们的最小公倍数是dx,y₁,且x,₁+y₁=√6289,与x₁,y,为正整数矛盾.∴这两个正整数是112,91.解：72=2³×3²,600=2³×3×5²,900=2²×3²×5².设x=2⁴×3⁶×5°,y=2⁴×3°×5',z=max(a,g)=3,max(b,h)=1,mi)=2,max(d,g)=2,max(e,h)=2.∵[x,y]=72不被5整除，max(a,g)=3,知a=3;由max(b,h)=1,知(b,h)=(1,0∴满足条件的有序数组(a,b,c,d,e,f,g,h,i)有5×3=15(组).算术基本定理解：∵23232=2⁶×3×11²,∴其正因数个数为(1+6)×(1+1)×2∴2014²的正因数共有3×3×3=27(个),第一种情形中全部正因数为1,p,p²,p³,则1+p³=4(p+p²),p无满足条件的质数解.第二种情形中全部正因数为1,p,q,(q-4)=15.0(modn-1).∴n-1最大为2⁵×3×7=672,n的最大值为673.N=I³+2³+…+1005³+(-1005)³+…+(-2)³+(-1)³+2012³+又∵(2012,2013)=1,n²-2=(n+3)(n-3)(mod由于任意七个连续整数中必含有一个7的倍数，故当n>7时，题中五个7,59,47,349,16843,均为质数，符合题意.∴符合题意的正整数n只有7.完全平方数(1)解：设A=10a+b,a,b为正整数且则B=10b+a,∵A²-B²是完全平方数，如果a-b=1,结合a+b=11可求得a=6,b=5.如果a-b=4,结合a+b=11可知没有正整数解.2.(p,q)=(5,11),(7,5)则(a-p-2q)(a+p+2q)=p∴(a-p-2q,a+p+2q)矛盾.即(p-4,q-2)=(1,9),(3,3),(9,3.证明：(1)任意自然数可被表示为4),即r²被3除余0或1,这意味着整数的平方被3除的余数为0或1,也就是被3除余2的数一定不是完全平方数.设由2009个1和任意个0组成的自然数为A,A的数字和为2009,被3除余2.则A被3除余2.(2)注意到数则是最左边2009位则都是1的完全平方数.∴存在最左边2009位都是1的完全平方数.完全平方数(2)与x²-2y²=5矛盾，∴原方程无正整数解.2.至多有两个完全平方数(如a=2,b=16).∴a(a+2),b(b+2)不可能为完全∴ab,a(b+2)中至多有一个为完全平方数.多有一个为完全平方数.∴这六个数中至多有两个完全平方数.3.证