2024-2025学年北京市某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市某中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−y+1=0的倾斜角为(

)A.30° B.45° C.120° D.150°2.如果向量a=(2,−1,3),b=(−1,2,−3)，则|A.2 B.6 C.23.已知α，β是两个不重合的平面，且直线l⊥α，则“α⊥β”是“l/​/β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E是DP的中点．已知DA=a，DC=b，DP=cA.a+b+12c

B.−5.已知A(1,0,−1)、B(4,3,2)，则线段AB上靠近A的三等分点的坐标为(

)A.(0,−1,−2) B.(2,1,0) C.(3,2,1) D.(5,4,3)6.设直线l的一个方向向量为v，平面α的一个法向量为n，平面β的一个法向量为m，则下列说法正确的是(

)

①若v,n=30°，则l与α所成的角为30°；

②若l与α所成角为60°，则v,n=30°；

③若m,n=60°，则平面α与β所成的锐二面角为60°；

④A.③ B.①③ C.②④ D.①③④7.若点(k,0)与(b,0)的中点为(−3,0)，则直线y=kx+b必定经过点(

)A.(1,−6) B.(1,6) C.(−1,6) D.(−1,−6)8.三棱锥S−ABC中，SA，SB，SC两两垂直，SA=1，SB=SC=2，则二面角S−AB−C的余弦值为(

)A.66 B.33 C.9.三棱锥A−BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB=23，BD=2，则三棱锥C−ABD的体积的最大值为(

)A.4 B.73 C.2 D.10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BCA.平面AB1F截正方体所得截面为等腰梯形

B.存在点P，使A1P⊥平面AEF

C.若A1P/​/平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[32二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线l过点P(1,2)，且它的一个方向向量为(2,1)，则直线l的一般式方程为______．12.若a=(1,0,−1)，b=(0,2,1)，c=(2,m,−1)为共面向量，则m的值为______．13.正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB14.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，M是AC的中点，PB=1，则EP⋅EM的最小值为______．15.如图，四棱锥S−ABCD中，底面是边长为2的正方形，△SCD是等边三角形，平面SCD⊥平面ABCD，M，N，P分别为棱BC，CD，DA的中点，Q为△SCD及其内部的动点，满足PQ//平面AMS，给出下列四个结论：

①直线SA与平面ABCD所成角为45°；

②二面角S−AB−N的余弦值为277；

③点Q到平面AMS的距离为定值；

④线段NQ长度的取值范围是[12,1]三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(−1,4)，B(−3,0)，C(1,3)．

(1)求边CD所在直线的方程；

(2)求四边形ABCD的面积．17.(本小题12分)

在△ABC中，b=27，B=2π3，从①c=2a；②sinA=2114；③a=2这三个条件中任选一个作为题目的已知条件．

(Ⅰ)求sinC的值；

(18.(本小题12分)

已知三棱锥P−ABC，平面PAC⊥平面ABC，点D是PC的中点，PA=PC=AC=2，AB=BC=2．

(1)求证：AC⊥PB；

(2)求直线DB与平面PAB所成角的正弦值；

(3)求点C到平面PAB的距离．19.(本小题12分)

在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E是线段CD上靠近点D的一个三等分点，点F是线段AD上的一个动点，且DF=λDA(0≤λ≤1).如图，将△BCE沿BE折起至△BEG，使得平面BEG⊥平面ABED．

(1)当λ=12时，求证：EF⊥BG；

(2)是否存在λ，使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为120.(本小题12分)

已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E，F，H分别为AB，BC，D1C1的中点，直线A1D1交平面EFH于点G．

(1)证明：G为A1D1中点；

(2)求异面直线D21.(本小题12分)

对于向量X0=(a0,b0,c0)，若a0，b0，c0三个实数互不相等，令向量Xi+1=(ai+1,bi+1,ci+1)，其中ai+1=|ai−bi|，bi+1=|bi−ci|，ci+1=|ci−ai|，(i=0,1,2,…)．参考答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

9.D

10.B

11.x−2y+3=0

12.2

13.2514.−115.②③④

16.解：平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(−1,4)，B(−3,0)，C(1,3)．

(1)因为直线AB的斜率为k=4−0−1+3=2，又平行四边形ABCD，

所以直线CD的斜率为2，

所以直线CD的方程为y−3=2(x−1)，即2x−y+1=0．

(2)因为|AB|=(−1+3)2+(4−0)2=25，

点17.解：(I)由题知，三角形为钝角三角形，

选①，由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac=a2+4a2−282a⋅2a=−12，解得a=2，c=4，

由正弦定理得：csinC=bsinB，所以sinC=csinBb=4×3227=217；

选②，因为sinA=2114，所以cosA=5714，

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2114×(−12)+5714×32=18.(1)证明：取AC的中点O，连接PO，BO，

因为PA=PC=AC=2，所以△PAC为正三角形，所以PO⊥AC，

因为AB=BC=2，所以BO⊥AC，

又PO∩BO=O，PO，BO⊂平面POB，

所以AC⊥平面POB，

因为PB⊂平面POB，所以AC⊥PB．

(2)解：由(1)知PO⊥AC，BO⊥AC，

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，

所以PO⊥平面ABC，

又OB、OC⊂平面ABC，

所以PO⊥OB，PO⊥OC，

所以OB，OC，OP两两互相垂直，

以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,3)，D(0,12,32)，

所以DB=(1,−12,−32)，AB=(1,1,0)，AP=(0,1,3)，

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，则AB⋅n=0AP⋅n=0，即x+y=0y+3z=0，

令z=−1，则x=−3，y=3，所以n=(−319.解：(1)当λ=12时，点F是AD的中点．

∴DF=12AD=1，DE=13CD=1．

∵∠ADC=90°，∴∠DEF=45°．

∵CE=23CD=2，BC=2，∠BCD=90°，

∴∠BEC=45°．

∴BE⊥EF．

又平面GBE⊥平面ABED，平面GBE∩平面ABED=BE，EF⊂平面ABED，

∴EF⊥平面BEG．

∵BG⊂平面BEG，∴EF⊥BG．

(2)以C为原点，CD,CB的方向为x轴，y轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系C−xyz．

则E(2,0,0)，D(3,0,0)，F(3,2λ,0)．

取BE的中点O，

∵GE=BG=2，∴GO⊥BE，

∴易证得OG⊥平面BCE，

∵BE=22，∴OG=2，∴G(1,1,2)．

∴FG=(−2,1−2λ,2)，EG=(−1,1,2)，DG=(−2,1,2)．

设平面DEG的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DG=−2x+y+2z=0,20.解：(1)证明：连接GH，GE，

因为平面ABCD//平面A1B1C1D1，EF⊂平面ABCD，

所以EF/​/平面A1B1C1D1，

又因为EF⊂平面EFHG，平面EFHG∩平面A1B1C1D1=GH，

所以EF/​/GH，

又因为EF/​/AC，AC/​/A1C1，所以GH/​/A1C1，

又因为H为D1C1的中点，所以G为A1D1中点；

(2)以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系：

设正方体的棱长为2，

则D1(0,0,2)，F(1,2,0)，E(2,1,0)，H(0,1,2)，

则D1F=(1,2,−2),EH=(−2,0,2)，

所以cos〈D1F,EH〉=D1F⋅EH|D1F|⋅|EH|=−63⋅22=−22，

设异面直线D1F与EH所成角为θ∈(0,π2],

则cosθ=22，所以θ=21.解：(Ⅰ)当X0=(5,2,1)时，

X4=(1,1,0)，X5=(0,1,1)，X6=(1,0,1)，X7=(1,1,0)；

(Ⅱ)证明：假设ai，bi，ci三个数中有2个为0，或三个数均为0，

当ai，bi，ci三个数中有2个为0时，由题意得i≥1，

设ai=bi=0，(i≥1)，ci≠0，

则ai=|ai−1−bi−1|=0，bi=|bi−1−ci−1|=0，即ai−1=bi−1=ci−1，

这与ci=|ai−1−bi−1|≠0矛盾；

(2)ai，bi，ci三个数均为0时，由题意得i≥1，

则ci=|ai−1−bi−1|=0，bi=|bi−1−ci−1|=0，ci=|ci−1−ai−1|=0，

∴ai−1=bi−1=ci−1=w(定值)，

由a0，b0，c0三个数互不相等，得i≥2，且ai−1=|ai−2−bi−2|=w，

bi−1=