2025年华师大新版九年级数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年华师大新版九年级数学上册阶段测试试卷942考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ=（k为常数，k≠0），其图象如图所示，那么当V≥6m3时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）的取值范围是（）A.ρ≤1.5kg/m3B.0kg/m3＜ρ＜1.5kg/m3C.ρ≥1.5kg/m3D.ρ＞1.5kg/m32、三角形ABC的三条内角平分线为AE；BF、CG；下面的说法中正确的个数有（）

①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等

②三角形的三条内角平分线交于一点

③三角形的内角平分线位于三角形的内部

④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，在同圆中，若∠AOB=2∠COD，则与的大小关系是（）

A.

B.

C.

D.不能确定。

4、关于x的一元二次方程的两根应为（）A.B.，C.D.5、边长为4的正方形ABCD中，点P在边AB上，DP与AC相交于点Q，且△ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则AP的长为（）A.1.5B.2C.3D.1.256、（2016•雅安）如图；在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P；Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）

A.2B.C.2D.3评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、根据如图所示的程序计算，若输入的x值为6，则输出的结果为____．8、配方x2+3x+____=（____）2．9、已知函数是关于x的二次函数，则m=____．

若抛物线y=2x2-mx+n向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到抛物线y=2x2-4x+1，则m=____，n=____．10、如下图，弦CD、FE的延长线交于圆外点P，割线PAB经过圆心，请你结合现有图形，添加一个适当的条件：____；使结论∠1=∠2能成立．

11、“十二五”期间，我市累计新增城镇就业人口147000人，147000用科学记数法表示为____．12、数5，2，10，7，15，x的平均数是8，则中位数是____．评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)13、三角形一定有内切圆____．（判断对错）14、圆的一部分是扇形．（____）15、到角的两边距离相等的点在角的平分线上.16、20增加它的后再减少，结果仍为20．____．（判断对错）17、如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数评卷人得分四、证明题(共1题，共5分)18、如图；在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分线交BC于E，连接ED．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）当∠ABC=60°，EC=BE时，证明：梯形ABCD是等腰梯形．评卷人得分五、解答题(共3题，共21分)19、在Rt△ABC中；∠C=90°．

（1）用尺规作图作Rt△ABC的重心P．（保留作图痕迹；不要求写作法和证明）；

（2）你认为只要知道Rt△ABC哪一条边的长即可求出它的重心与外心之间的距离？并请你说明理由．20、小红所在学校里的一处花坛是美丽的菱形图案，如图所示，小明发现，他沿着花坛的边走完一个菱形图案用了12秒钟，当他以同样的速度从A到B再到C（AB=BC），只用了6秒钟，小明说他知道了两个菱形间的夹角（即∠1）的度数了．你知道∠1的度数是多少吗？21、巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内（如图），测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°，若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．（结果保留两位小数，≈1.732）

评卷人得分六、综合题(共4题，共20分)22、如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA落在y轴的正半轴上，OA、OB的长是方程的两根；把△AOB折叠，使点B落在y轴正半轴上，折痕与AB边相交于点C．

（1）求A点的坐标．

（2）求折痕OC所在直线的解析式．

（3）点P是直线OC上一点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是一个菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23、如图；已知AB⊥BD，CD⊥BD

（1）若AB=9；CD=4，BD=10，请问在线段BD上是否存在P点，使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；

（2）若AB=9；CD=4，BD=12，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（3）若AB=9；CD=4，BD=15，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？24、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=5，cosB=，直线AC交y轴于点D，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向终点C匀速运动，同时，动点Q从D点出发，以每秒个单位的速度沿DA向终点A匀速运动；设点P；Q运动的时间为t秒．

（1）求点C的坐标；

（2）求△PCQ的面积S（点P在BC上）与运动时间t的函数关系式；并写出自变量的取值范围；

（3）当t=时，直线PQ交y轴于F点，求的值．25、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA；直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0））

（1）问：EF与抛物线y=有几个公共点？

（2）当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5），利用待定系数法求出函数解形式即可求得k值，然后根据V≥6m3求解即可．【解析】【解答】解：由图象可知；函数图象经过点（6，1.5）；

设反比例函数为ρ=；

则1.5=；

解得k=9；

所以解析式为：ρ=；

当V=6时；求得ρ=1.5；

故选B．2、B【分析】【分析】画出图形，设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可．【解析】【解答】解：

∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点；过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q；

∴ON=OQ；OQ=OM；

∴ON=OM=OQ；

∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等；∴①错误；

∵ON⊥AB；OM⊥BC，ON=OM；

∴O在∠ABC的角平分线上；

即O是△ABC的三个角的平分线交点；∴②正确；

∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部；∴③正确；

∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分；而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误；

故选B．3、C【分析】

作∠AOB的角平分线OE；

∵OE平分∠AOB；

∴∠AOE=∠EOB；

∵∠AOB=2∠COD；

∴∠AOE=∠EOB=∠COD；

∴==

∴=2．

故选：C．

【解析】【答案】根据角平分线的性质得出∠AOE=∠EOB；进而利用圆心角与弧的关系可直接求解．

4、B【分析】【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程即可．【解析】【解答】解：x2-3ax+a2=0；

△=（-3a）2-4××a2=a2；

x=．

所以x1=a，x2=a．

故选B．5、B【分析】【分析】过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则有S△ADQ=AD•QE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有=解得AP值．【解析】【解答】解：过点Q作QE⊥AD于E；QF⊥AB于F，则QE=QF；

∵在边长为4的正方形ABCD中；

∴S正方形ABCD=16；

∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=；

∴QE=；

∵EQ∥AP；

∴△DEQ∽△DAP；

∴=，即；

解得AP=2；

∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

故选B．6、D【分析】【解答】解：

设BE=x；则DE=3x；

∵四边形ABCD为矩形；且AE⊥BD；

∴△ABE∽△DAE；

∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2；

∴AE=x；

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=

∴AE=3，DE=3

如图；设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′；

则A′A=2AE=6=AD；AD=A′D=6；

∴△AA′D是等边三角形；

∵PA=PA′；

∴当A′；P、Q三点在一条线上时；A′P+PQ最小；

又垂线段最短可知当PQ⊥AD时；A′P+PQ最小；

∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3

故选D．

【分析】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案．二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【分析】根据运算程序列出算式，再进行计算即可．【解析】【解答】解：6+（-5）+（-3）+4=2；2+（-5）+（-3）+4=-2，故输出的结果为-2；

故答案为：-28、略

【分析】【分析】由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．【解析】【解答】解：∵所给代数式的二次项系数为1；一次项系数为3，等号右边正好是一个完全平方式；

∴常数项为（3÷2）2=；

∴x2+3x+=（x+）2．

故答案为；．9、略

【分析】

（1）由题意，得：m2-7=2；且m+3≠0；

由m2-7=2，得：m2=9；m=±3；

由m+3≠0；得：m≠-3；

综上可得：m=3；

（2）抛物线y=2x2-4x+1=2（x-1）2-1，将其向右平移2个单位，得：y=2（x-3）2-1；

再向下平移3个单位，得：y=2（x-3）2-4=2x2-12x+14；

∴m=12；n=14．

【解析】【答案】（1）根据二次函数的定义；可列出关于m的方程，即可求出m的值，注意二次项系数不为0的条件；

（2）将抛物线y=2x2-4x+1按题目给出的方法进行逆操作；将得出的抛物线解析式化为一般式即可得到m；n的值．

10、略

【分析】

使∠1=∠2能成立；则应有△COP≌△EOP，或△PDB≌△PFB，故可添加AC=AE或BD=BF当AC=AE时；

根据圆周角定理知；∠AOC=∠AOE，∵OC=OE，PO=PO，∴△COP≌△EOP，∴∠1=∠2．

【解析】【答案】本题答案有多种；根据三角形全等原理可填AC=AE或BD=BF，也可根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等”和三角形全等原理，填CD=FE或弧CD与弧EF相等．

11、1.47×105【分析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】【解答】解：147000=1.47×105．

故答案为：1.47×105．12、略

【分析】

由数5，2，10，7，15，x的平均数是8，有（5+2+10+7+15+x）=8．解得x=9；

∴中位数是（7+9）÷2=8．

故填8．

【解析】【答案】先根据平均数求出x；再确定中位数．

三、判断题(共5题，共10分)13、√【分析】【分析】根据三角形的内切圆与内心的作法容易得出结论．【解析】【解答】解：∵三角形的三条角平分线交于一点；这个点即为三角形的内心，过这个点作一边的垂线段，以这个点为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆；

∴三角形一定有内切圆；

故答案为：√．14、×【分析】【分析】根据扇形的定义是以圆心角的两条半径和之间的弧所围成的闭合图形，即可得出答案．【解析】【解答】解：可以说扇形是圆的一部分；但不能说圆的一部分是扇形．

严格地说扇形是以圆心角的两条半径和之间的弧所围成的闭合图形．

故答案为：×．15、√【分析】【解析】试题分析：根据角平分线的判定即可判断.到角的两边距离相等的点在角的平分线上，本题正确.考点：角平分线的判定【解析】【答案】对16、×【分析】【分析】根据题意列出算式，计算得到结果，即可做出判断．【解析】【解答】解：根据题意得：20×（1+）×（1-）=；

则20增加它的后再减少；结果仍为20（×）．

故答案为：×17、×【分析】【解析】试题分析：形如的函数叫正比例函数，形如的函数叫反比例函数.一个函数不是正比例函数，还可能是二次函数等，故本题错误.考点：函数的定义【解析】【答案】错四、证明题(共1题，共5分)18、略

【分析】【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义求出∠ABD=∠ADB；推出AB=AD，AB=BE，推出AD=BE，得出平行四边形ABED，根据菱形的判定推出即可；

（2）推出等边三角形ABE，得出AE=AB，推出平行四边形AECD，推出AE=CD，推出AB=CD即可．【解析】【解答】（1）证明：∵AD∥BC；

∴∠ADB=∠DBC；

又∵∠ABD=∠DBC；

∴∠ABD=∠ADB；

∴AB=AD；

同理：AB=BE；

∴AD=BE；

又∵AD∥BE；

∴四边形ABED为平行四边形；

又∵AB=BE；

∴平行四边形ABED为菱形．

（2）证明：∵AB=BE；∠ABC=60°；

∴△ABE为等边三角形；

∴AB=AE．

又∵AD=BE=EC；AD∥EC．

∴四边形AECD为平行四边形；

∴AE=DC；

∴AB=DC；

∴梯形ABCD是等腰梯形．五、解答题(共3题，共21分)19、略

【分析】【分析】（1）分别作AC；BC的垂直平分线；两线分别交AC、BC于R、H，再连接AH、BR，AH和BR的交点就是P点；

（2）利用直角三角形的性质以及重心的定义得出PO=，进而得出重心到外心的距离与AB的关系．【解析】【解答】解：（1）如图所示：

（2）知道Rt△ABC中AB的长即可求出它的重心与外心之间的距离．

理由：设AB的中点为O，则O为△ABC的外心，且CO=AB；

∵点P为△ABC的重心；

∴PO=；

∴重心到外心的距离PO=AB．20、略

【分析】【分析】从A到B再到C所走路程是两条对角线的长度，用时6秒，而走完一个菱形的周长用时12秒，说明菱形的边长等于AB的长度，所以∠1是等边三角形的内角，等于60°．【解析】【解答】解：∵A到B再到C（AB=BC）；只用了6秒钟，走完一个菱形图案用了12秒钟；

∴菱形的边长=AB；

∴△ABD是等边三角形；

∴∠1=60°．21、略

【分析】

设AB=x米．

Rt△ABD中；∠ADB=45°，BD=AB=x米．

Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°=x米．

CD=BD-BC=（1-）x=6；

解得x=9+3

即AB=（9+3）米．

∵BM=HM-DE=3.3-1.3=2；

∴AM=AB-BM=7+3≈12.20（米）．

答：这棵树高12.20米．

【解析】【答案】可在Rt△ABD和Rt△ABC中；利用已知角的三角函数，用AB表示出BD；BC，根据CD=BD-BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB-BM即可求出树的高度．

六、综合题(共4题，共20分)22、略

【分析】【分析】（1）求出已知方程的解得到OA与OB的长；确定出A的坐标即可；

（2）由OB的长为OA长的一半；得到∠BAO=30°，根据折叠的性质得到∠AOC=∠BOC=30°，设AC=OC=2x，则有BC=x，在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC的长，过C作CE垂直于x轴，利用锐角三角函数定义求出OE与CE的长，确定出C坐标，设直线OC解析式为y=kx，将C坐标代入求出k的值，即可确定出解析式；

（3）存在，分三种情况考虑：①当P与O重合时，C关于y轴对称点为Q，连接AQ，PQ，由AD=PD，CD=QD，且AC=PC，得到四边形ACPQ为菱形，求出此时Q的坐标；②以A为圆心，AC长为半径画弧，与y轴交于P′，延长EC到Q′，使CQ′=AC，连接P′Q′，此时四边形AP′Q′C为菱形，求出Q′坐标；③以A为圆心，AC长为半径画弧，与y轴交于P″，延长CE到Q″，使CQ″=AC，连接P″Q″，四边形ACQ″P″为菱形，求出Q″的坐标，综上，得到所有满足题意Q的坐标．【解析】【解答】解：（1）方程x2-6x+24=0；

分解因式得：（x-4）（x-2）=0；

解得：x=4或x=2；

∴OA=4，OB=2；

则A（0，4）；

（2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=2，即OB=OA；

∴∠BAO=30°；∠AOB=60°；

由折叠的性质得：∠AOC=∠BOC=30°；

∴∠BAO=∠AOC=30°；

∴AC=OC；

在Rt△BOC中；∠BOC=30°；

∴OC=2BC；

设BC=x；则有AC=OC=2x；

∴AB=AC+CB=OC+BC=3x==6；

解得：x=2；

∴OC=4；

过C作CE⊥x轴于E；

在Rt△OCE中；∠COE=60°；

∴∠OCE=30°；

∴OE=OC=2，CE==2；

∴C（2，2）；

设直线OC解析式为y=mx，将C坐标代入得：2=2m；

解得：m=；

则直线OC解析式为y=x；

（3）存在；有3种情况：

①由折叠的性质的：OD=OB=2；

∴AD=OA-OD=4-2=2；即AD=OD；

设Q为C关于y轴的对称点；即QD=CD；

连接AQ；OQ，此时P与O重合；

∵AD=OD；QD=CD，且AC=OC；

∴四边形ACPQ为菱形；

∵C（2，2）；

∴Q（-2，2）；

②以A为圆心；AC长为半径画弧，与y轴交于P′，延长EC到Q′，使CQ′=AC，连接P′Q′；

此时四边形AP′Q′C为菱形，Q′坐标为（2，2+4）；

③以AC为边时；P点在C点的上方，此时Q点坐标为（2，6√3）；

综上，Q的坐标为（-2，2）或（2，2+4）或（2，6√3）．23、略

【分析】【分析】（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；

（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；

（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；

（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可．【解析】【解答】解：（1）存在P点；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

理由是：设BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴当=或=时；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解；且符合题意．

方程②得：x（10-x）=36；

x2-10x+36=0；

△=（-10）2-4×1×36＜0；此方程无解；

∴当BP=时；以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；

（2）在BD上存在2个P点；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

理由是：设BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴当=或=时；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解；且符合题意．

方程②得：x（12-x）=36；

x2-12x+36=0；

△=（-12）2-4×1×36=0；

此方程的解为x2=x3=6；经检验x=6是方程②的解，且符合题意．

∴当BP=或6时；以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；

（3）在BD上存在3个P点；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

理由是：设BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴当=或=时；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解；且符合题意．

方程②得：x（15-x）=36；

x2-15x+36=0；

△=（-15）2-4×1×36=81；

此方程的解为x2=3，x3=12，经检验x2=3，x3=12是方程②的解；且符合题意．

∴当BP=或3或12时；以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

∴存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12；

（4）设BP=x；

∵AB⊥BD；CD⊥BD；

∴∠B=∠D=90°；

∴当=或=时；使以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似；

∴①=或②=；

解方程①得：x=；

方程②得：x（l-x）=mn；

x2-lx+mn=0；

△=（-l）2-4×1×mn=l2-4mn；

∴当l2-4mn＜0时；方程②没有实数根；

即当l2-4mn＜0时；存在以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；

∵当l2-4mn=0时；方程②有1个实数根；

∴当l2-4mn=0时；存在以P；A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；

∵当l2-4mn＞0时；方程②有2个实数根；

∴当l2-4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角